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任意角、弧度
任意角

1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按______________所形成的角

负角
按______________所形成的角

零角
一条射线______________，
称它形成了一个零角

2.象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

一、填空题
1．经过10分钟，分针转了________度．
2．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．
3．若α是第四象限角，则180°－α是第____象限角．
4．－2011°是第________象限角．
5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是第________象限．
7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________________．

8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.

9．集合M＝，P＝，则M、P之间的 关系为____．

10．已知α是小于360°的正角，如果7α角的终边与α的终边重合，则角α的集合是________．

二、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°； (2)650°； (3)－950°15′.

12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

13． 如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．

14．设α是第二象限角，问是第几象限角？

答案解析
知识梳理
1．(1)一条射线　端点　旋转　(2)逆时针方向旋转　顺时针方向旋转　没有作任何旋转
2．第几象限角
3．α＋k·360°，k∈Z
作业设计
1．－60　2.x轴的正半轴　3.三
4．二
解析　∵－2011°＝－6×360°＋149°，且149°是第二象限角，∴－2011°是第二象限角．
5．－135°　225°
解析　－495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.
6．二或四
解析　由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，
得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．
7．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
8．－110°或250°
解析　∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
9．MP
解析　对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．
10．{60°，120°，180°，240°，300°}
解析　∵7α角的终边与角α的终边重合，
∴7α＝k·360°＋α(k∈Z)，
∴α＝k·60°，又∵0<α<360°，k∈Z，
∴α＝60°，120°，180°，240°，300°.
∴角α的集合是{60°，120°，180°，240°，300°}．
11．解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
12．解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．
13．解　终边落在y＝x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．解　当α为第二象限角时，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z.
当k＝3n时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角．

弧度制

1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．
2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．

1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________ rad
2π rad＝________
180°＝________ rad
π rad＝________
1°＝________rad
≈0.017 45 rad
1 rad＝________
≈57°18′
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝________
l＝________
扇形的面积
S＝________
S＝________＝________

一、填空题
1．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．
2．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
3．集合A＝与集合B＝的关系是________．
4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．
5．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其圆心角的弧度数是________．
6．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝________.
7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝－，则β角的集合是________．
8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则角α的集合为________________．
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.
10．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．
二、解答题
11．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

12．如图，动点P，Q从点A(4,0)同时出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转弧度，点Q按顺时针方向每秒转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧度数．

13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

1．1.2　弧度制
知识梳理
1．(1)　(2)半径长　1 rad　(3)|α|＝　终边的旋转方向　正数　负数　0
2．2π　360°　π　180°　　°
3.　αR　　αR2　lR
作业设计
1．－π
解析　∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.
2．25
解析　216°＝216×＝，
l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.
3．A＝B
4.
解析　r＝，∴l＝|α|r＝.
5．1或4
解析　设扇形半径为r，圆心角为α，
则，
解得或.
6．{α|0≤α≤π}
解析　集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．
7．{β|β＝2kπ＋，k∈Z}
解析　由对称性知，β角的终边与的终边相同，
∴β角的集合是{β|β＝2kπ＋，k∈Z}
8.
解析　由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π.
9.π或π
解析　－π＋π＝π＝π，
－π＋π＝π＝π.
10．2∶3
解析　设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a.
∴a＝3r，∴S内切＝πr2.
S扇形＝αr2＝××a2
＝××9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.
11．解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad.
12．解　设第一次相遇所用的时间为t秒．
∵圆的半径为R＝4，∴4(t＋t)＝2π×4，
解得t＝4，
故P点走过 rad，Q点走过－ rad.
答　P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒，P，Q点各自走过的弧度分别为 rad，
－ rad.
13．4
解析　设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.
14．解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°
＝50 (cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R
＝－R2＋cR＝－(R－)2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.