Projector简明教程1.doc

教制图的老师
您还带木模型去上课吗？
学制图的同学
您还捏橡皮泥来解题吗？

我们竭诚推出
“捷图”（Projector）软件，可以帮助您
化抽象为具象，
给教师一个集成二三维的电子投影箱
融构形于解题
给学生一盒组合线面体的电子橡皮泥

PROJECTOR简明教程（未定稿）
第一章 概论 ……………………………………………………………2
第二章 Projector的安装 ………………………………………………4
第三章 注册 (略) ………………………………………………………5
第四章 Projector的开发简介……………………………………………5
第五章 Projector的操作要点…………………………………………10
第六章 画法几何实例……………………………………………………12
第七章 组合体投影与视图表达………………………………………….20
第八章 各类轴测投影图的创建与反求…………………………………26
第九章 Projector中的试卷跟踪和自动判题功能………………………34
第十章 讨论制图与设计中的几个问题………………………………37
一、 AutoCAD中的1：1打印……………………………………37
二、 Projector环境中多媒体制图课件的制作……………………38
三、 曲面展开………………………………………………………42
四、 空间倾斜面的定位控制………………………………………44
五、 空间曲柄滑块机构……………………………………………45
六、 正多面体的求解………………………………………………49
第十一章 结语…………………………………………………………56
附录一
命令指南…………………………………………………………………57
附录二
习题集与解题指导………………………………………………………69
附录三
波尔克定理与轴测图的程序求解…………………………………69

第一章 概论
2004年，在第11届国际几何与图形学研讨会上，作者介绍了一种二、三维集成的图形教学软件Projector。 在画法几何与投影制图的教学过程中应用Projector，操作者可以方便地构建空间点、线、面、体，并且得到相应的平面投影，也可以从已知平面投影出发，求解空间几何元素。
一． Projector的基本功能
Projector 是一种基于VLisp开发的AutoCAD的插件，适用于投影制图、特别是画法几何与视图表达的教学。
1． Projector 集成了2D,3D环境下，点、 线、面、体的构建、投影，以及2D、3D之间的转换功能。
2． Projector 集成了计算机环境下的模拟仪器绘图与CAD绘图两种绘图方法。
3． Projector 集成了用于点、线、面、体的操控、定位、测量以及布尔运算的功能。 可以用于在2、3D环境下求解画法几何的综合问题。
4． Projector最新版本中增加了对制图试卷和计算机绘图试卷的自动判题功能，用以减轻教师的教学工作强度。
Projector 可以有两种实际用途。
首先 ，作为辅助演示工具，可以应用于目前的画法几何和投影制图的教学与研究，完全模拟现有的仪器作图方式， 在二、三维集成的环境中向学生演示例题和习题的求解，不必对现有的课程设置和内容作任何改动。
其次，也可以在AutoCAD Projector的环境下，重组有关投影基本概念、点线面、几何体、截交与相贯、组合体、投影表达方法，以及定位、测量与综合问题的内容和习题，直接应用综合2D、3D的软件功能来讲授与解题。
Projector 不仅仅为教师提供了适用于教学的辅助工具; 同时也为学生提供了易学易用的与投影制图学习过程完全贴合的制图课程计算机实验平台。
因此，可以大幅度提高教学效率，顺畅地同后续的机械制图与CAD部分的内容衔接。
二．实际应用情况
Projector系统制作完成后，在11届国际几何与图形学讨论会上，作了相关介绍和操作演示，并向各国专家赠送了资料光盘。
2005年5月， 2006年5月，两次与美国BYU的机械工程学院师生考察团进行了交流。 同年，在教育部委托召开的华东六省一市图学教学研讨会上，2006年8月,在第15届全国图学教育研讨会上, 2007年8月，在第8届中日图学研讨会上, 分别向与会学者作了介绍。
在所有的演示交流中，都得到了各国专家的肯定性评价。
近年来，在作者所在学校实施了三轮应用Projector的投影制图课程教学,每轮约使用32~36学时。学生对这种新颖的学习方法非常有兴趣, 而且很快就掌握了Projector的操作，应用于练习和测试。
目前，已经有一些学校在投影制图教学中应用Projector，如华东理工大学使用Projector制作了制图习题集解题指导的视频文档，并上传到网络上帮助学生自学；上海电力学院使用Projector制作制图课件中的例题讲解；上海海事大学、江南大学、上海第二工业大学、上海应用技术学院在投影制图课堂教学中使用Projector，在二、三维集成的图形环境中训练学生的空间思维能力、读图和绘图能力。

第二章 Projector的安装
目录1-程序与安装指南：
1- projector软件的安装.wmv
2- 简单组合体的视图创建.wmv
3- 简单组合体的视图创建.wmv
4- 简单组合体的视图创建.wmv
一、 先查明您使用的AutoCAD的安装路径。( Projector适用于AutoCAD2007，在AutoCAD2004中虽然也能运行，但是会丢失几个辅助功能。)
二、 运行安装程序“捷图_tu_Setup.exe”，
注意安装路径必须与AutoCAD的安装路径相同。安装过程中唯一需要用户改动的设置是： 当系统提示：“必须改为您的 AutoCAD 的安装目录!!! ”时， 点开“浏览”， 找到您的AutoCAD的安装路径，例如“"D:\Program Files\AutoCAD 2007"，双击确认。继续安装过程。
三、 启动AutoCAD。
四、 加载程序
在下拉菜单中单击“投影工具（P）”或按快捷键Alt+P, 然后选择加载第一角程序或第三角程序。由于国家标准规定采用第一角画法，因此我们一般选择加载第一角程序。
五、 定位投影轴
在下拉菜单中单击“进入绘图环境”，这时命令行提示输入用户名（用户名机制是为了防止学生互相拷贝作业而特别设置的），输入自己的用户名（中英文皆可，如Alvin），回车. 进入Projector绘图环境。

第四章 Projector的开发简介
一 .引言
画法几何是在平面上用投影图形表达形体和解决空间几何度量与定位问题的实用方法，它的优点是空间思维性强，表达直观，但由于作图的大误差与低效率使其在现代工业背景下逐渐失去了使用价值。为了保留画法几何的精髓，克服其不足，以计算机图形学为手段构建计算机画法几何求解系统是一项有实际意义的工作。

二. 计算机画法几何基本框架
计算机画法几何基本框架主要由下列若干功能组成：
1. 投影系的建立与投影面的旋转。
模仿投影体系的建立过程，设计三投影面形成与旋转投影面的功能。
2. 实体设计功能。
提供三维的立体环境中构建点、线、面、体实体的功能。
3. 互逆显示功能。
设计基本几何元素(点、线、面、体)由投影到空间，由空间到投影的互逆显示功能。
4. 空间测量功能。
提供三维空间中诸如[线线距离] [点面距离] [线面夹角][面面夹角]等测量功能
5. 布尔运算功能。
设计意图是利用空间线、面、体在空间求并、差、交，求得符合限定条件的交线、交点和基本几何体，以求解画法几何的综合问题。

三. 投影工具程序Projector的建立
基于对上述基本框架的研究，我们以AutoCAD2000i作为图形支撑环境，用VLISP语言编写了一组计算机画法几何求解的投影工具程序Projector。
为了设计计算机图解画法几何问题的算法，先从解题过程中归纳出几种基本的作图步骤，然后把这些基本作图步骤定义为算子，对应每一个算子编写绘图程序。这样在图解空间几何定位和度量问题时,解题过程变为算子程序的调用，而不同问题的区别仅在于各个算子的调用次数和顺序的不同。作图者只需根据问题的已知条件和要求确定调用算子的类型、次数和顺序，具体作图由计算机完成。
绘图程序的编写过程中，需要解决的一个核心技术问题是如何实现线面求交、面面求交。已知的CAD系统都不涉及处理类似问题，也未提供解决方法。EDS公司的UG中，提及一种厚度为零的“片体”，可以用来缝合或加厚成实体。这给我们解决上述问题提供了某种启示。为此，程序中设计了微直径的线实体和微厚度的面实体，用以实现线面求交、面面求交的功能。
图1 显示两条半径为0.00001图形单位的实体线相交，实体线的截面为水滴状，棱与棱相交可以确保达到CAD系统本身提供的精度，精度等级大约在10-12。图2 表示实体线与厚度为0.00001图形单位的实体面相交，其精度也已经能满足画法几何与一般构形问题的要求。对于极高的精度要求，还可以用加大实体面厚度的方法来解决。

图1 实体线相交 图2 实体线与实体面相交

到目前为止，已经编写的基本算子有：作点、作线、作面、作体、标注、旋转和展平、投影和逆射共八组三十四条，与之配套的工具算子有: 定位、观察、测量、布尔运算共四组十六条。
投影工具程序Projector以及下文讨论的空间曲柄滑块机构的图解计算程序sm.lsp及其附件sm.mnu、sm.dwg,可以从 zhangyunfei@ 获取。

四. 几个典型题解
应用Projector方法与传统画法几何方法在解题思路上有较大的差异，在三维的立体环境中操作点、线、面、体，可简明直观地建立投影概念，理解点、线、面、体的空间关系，事实上，对于本科教学中涉及的大部分画法几何问题，都能利用Projector求得解题方法，演示解题过程。以下是几个典型解题实例：
1.已知直线AB 的端点坐标为(60,40,20) (20,10,70)， 直线CD的端点坐标为(40,60,40) (30,50,25),求两直线间距离。

图3 图示传统解法，应用了两次换面法，对初学者来说，比较抽象。
图4图示了Projector解法，首先在投影箱里根据坐标值作出四个点，用Projector的“直线”命令连出两条直线，然后执行“线线距离”命令，“线线距离”命令会用红线自动作出所求的直线间距离，并标注出长度。最后把所有点线投影到三个投影面上展平。
两种解法的实质都是求两条直线间公垂线的长度，Projector的解法比较直观，形象。

图3 换面法 图4 Projector解法
2.已知等腰三角形△ABC的正面投影和A点的水平投影，底边BC上的高实长为35mm,求三角形△ABC。
空间分析:设等腰三角形△ABC底边BC上的高线为AD,则D点应在以A为球心,半径为35mm的球面S上,同时又应在过d′的V面垂直线d′D上,所以D点为垂线d′D与球面S的交点。由于高线AD垂直于底边BC，BC边必在过D点且垂直于高线AD的平面P内，因此过bˊ,cˊ作V面的垂线bˊB, cˊC与P平面交于B，C两点即为等腰三角形△ABC的另外两个顶点，将A，B，C三点连线构成△ABC，在求得空间△ABC后再将其投影到H，W面上即可得△ABC的水平和側面投影。
根据空间分析，运用Projector投影工具解题时,可依次使用作线，作面，旋转，逆射，求交，投影，展平等算子，算子调用的顺序与过程即为三维空间中的模型化算法，取代了在二维平面中进行抽象的投影变换。
解题步骤如下：
“旋转” 本题给定的投影图，得图5, “逆射”a与a’ ，得到空间点A
以A为球心，35为半径，作一空间圆球。 以b’c’上的中点d’为起点，作正垂线穿过圆球。
“求交”后得一空间线段，连接空间点A与该线段任一端点，即得空间等腰三角形的高AD。同时注意到本题有二解。
过高上的垂足点D作高的垂直面P，过b’、c’两点作正垂线穿过高的垂直面P，“求并”后，两条正垂线上各得一交点，即空间点B、C。如图6。
连接空间点A、B、C，令其自动向三个基本投影面作投影，展平。

图5 解题步骤之一 图6 解题步骤之二

3.
第五章 Projector的操作要点
一、 解题开始时，操作者可以选择加载用于第一角投影或第三角投影的程序，然后进入绘图环境， 系统自动作出原点，X、Y、Z投影轴及H、V、W投影面，操作过程中，如果需要，图形和程序都可以重新加载。
为了加大显示线宽.  可以右键点开右下方的"线宽"--"设置"--移动"调整显示比例"到合适位置.
二、 一般先在投影图状态下（即在XOY平面中）作点线，也可以直接由XYZ坐标值作点线，系统将自动区分对象位于哪个投影面。
三、 使用 [投影箱] 命令可以将三个投影面连同上面的投影旋转成由H面、V面、W面构成的三投影面体系。使用[投影图] 命令可以将三个投影面连同上面的投影展平到同一平面，[旋转投影面] 命令提供了慢旋转功能。
四、 使用[点投影]命令可以由空间点求点的三面投影，使用[逆交点]、 [逆交直线]命令可以由点、线的两面投影求空间点、线。空间面可以由空间点确定。空间几何体可以用创建基本几何体命令来创建。使用[刷新面或体投影]命令, 可以自动创建正确的三面投影。
五、 由Projector生成的空间线、面、体将是3D实体，设计意图是利用它们在空间求并、差、交，以求得符合条件的交线、交点和基本几何体。
六、 与此同时，AutoCAD的所有命令都能配合使用。例如常用的有“显示控制”、“查询”、“标注”以及“line”、“trim”、“fillet”、“erase”等。
七、 Projector运行中会自动设置“中心线”、 “虚线”，自动生成“基本投影面”、“空间图素”等图层。用户可以根据需要应用这些线型，开关指定图层。
八、 二维图形应该精确绘制。操作中，选择对象上的特殊点时应该保持光标在特殊点位置上悬停片刻, 待特殊点捕捉的文字标记显现时再按键确认,以保证获得最高精度。
九、 拉伸、旋转操作时，应该确保操作对象在屏幕上可见。
十、 拉伸、旋转操作中，选择初始轮廓时，遇到有嵌套（孤岛）的图形，宜用“边界拉伸”、“边界旋转”，比较方便。
十一、 拉伸对象的两面投影中有一面投影在一个视图上等距，可用指定两点来定距、定位。
拉伸对象的两面投影在两个视图上都不等距，可用“拉伸相交”命令，直接求得组合体。
十二、 对组合体执行布尔运算时，先加后减。
十三、 普通线、普通面，一般用来测量、定位。
实体线、实体面，一般用来执行布尔运算。
十四、 可以用ACAD命令绘制二维图形，作为Projector的对象。
但是要注意，不宜用图层来控制对象的线型、线宽、颜色。 层设置另有重要用途。可以在二维图形绘制结束后，统一用“对象特性” 来控制对象的线型、线宽、颜色。
十五、 “Help”中的“Check”命令可检查操作者输入的信息，防止学生互相复制作业。
十六、 在第三角投影环境中标注尺寸、文字， 需先执行“Help”中的“Dim3angle”。
十七、 需要在两个图形文件之间复制图形时，可用“编辑(edit)”中的“带基点复制”. 然后在新图中”粘贴”。

关于Projector在投影制图教学中的各种应用实例, 拟在工程制图课程的教材中详细讨论, 故略过. 有兴趣的读者,可以从以下网址下载资料和视频作参考。
网址1：
> 进入后，点开“学习指引”，里面有若干习题解题指导的有声视频文件，可供参考。
网址2： 按户名”zhangyunfei” 搜索
或者直接联系： zhangyunfei@

另外.有关Projector的安装程序,命令指南,本教程涉及的实例, 也已一并上载, 需要的话, 也可下载参考使用。
Projector的最新版本提供了有关各类轴测投影的创建与反求的功能，不过反求功能还不够快捷、不够智能化，有待进一步开发。

第六章 画法几何实例
应用Projector方法与传统方法在解题思路上有较大的差异，以下是两种解题过程的几个对照实例：
一、 已知直线AB 的端点坐标为(20,30,70) (60,60,20)， 直线CD的端点坐标为(20,60,30) (30,70,20),求两直线间距离。

图1-1 图1-2

图1-1 图示传统解法，应用了两次换面法，对初学者来说，比较抽象。
图1-2 图示了Projector解法，
在投影箱里根据坐标作出四个点，用AutoCAD的标准”line”命令连成两条直线，
用“线线距离”作出红线所示之直线间距离。
两种解法的实质都是求两条直线间公垂线的长度，Projector的解法比较直观，形象。
二、 作出倾斜面上的一条正平线，与V面距离为k。
传统解法极其简洁，但依然抽象。Projector解法正好为之作一直观、形象的补充。
“旋转”到投影箱，由倾斜面上三点的两面投影，用“逆射”求三个空间点，作出空间面。
与V面距离为k， 作一正平面。
用“求交”命令，求空间面与正平面的交线，
用“投影”命令，求交线的三面投影。
三、 补全空间垂直线的两面投影，并在空间验证。

图 3-1 图 3-2
如图3-1所示，根据直角投影定理补全正面投影。
“旋转”—“逆射”— 用标准“line”命令连出空间直线。
用[线线角度],标出直角度数（图3-2）。

四、 已知等腰三角形ABC的正面投影和A点的水平投影，底边BC上的高实长为35,求三角形ABC。

图4-1 图4-2
在图4-1所示图中, “旋转”—“逆射”，得到空间点A
以A为球心，35为半径，作一空间圆球。 以b’c’上的中点为起点，作正垂线穿过圆球（4-2）。

图4-3 图4-4
“求交”后得一空间线段（图4-3），连接空间点A与该线段任一端点，即得空间等腰三角形的高。同时注意到本题有二解。
过高上的垂足点作高的垂直面（图4-4），

图4-5 图 4-6
过b’、c’两点作正垂线穿过高的垂直面（图4-5），
“求并”后，两条正垂线上各得一交点（图4-6），即空间点B、C。

五、 已知A(0,0,100),B(100,0,50),C(0,100,50),求原点到平面ABC的距离。
在投影箱中作空间点A、B、C, O.
调用“点面距离”作出红线所示之点面距离（图5-1）。注意到长度标注值
81.6497，与解析值
计算结果相同。

图5-1
六、 以下六个图形演示了切割五棱锥的作图过程

图6-1 图6-2
图6-1.要求切割五棱锥，补全投影。
图6-2.旋转，逆射顶点，上移五边形

图6-3 图6-4
图6-3．作五棱锥，两次拉伸切割区域。
图6-4.执行布尔减运算

图6-5 图6-6
图6-5. 投影组合体上相关的点线。
图6-6. 展平成投影图，连出W面投影。

七、 以下四个图形演示了切割圆锥体的作图过程

图7-1 图7-2
图7-1. 要求切割圆锥体，补全投影。
图7-2.在V面上直接旋转出圆锥

图7-3 图7-4
图7-3.移动圆锥，从A到B。
图7-4.以下步骤同6-3.6-4.6-5

八、 以下四个图形演示了求直线上与两空间点等距离点的作图过程

图8-1 图8-2
图8-1.求直线L上与A,B两点等距离点。
图8-2.旋转，逆射得空间A,B点，L直线。

图8-3 图8-4
图8-3.连接AB，过AB中点作垂直面。
图8-4.对L直线与垂直面求并，得M点（可用圆心或象限点捕捉到）。连接AM,BM, 查询它们的三维长度是否相等。
另外，在光盘的“dwg”目录中，收录了若干用Projector绘制的工程制图例题。
用户可以使用这些例题，也可以参照这些例题来练习。例如

图3-6线面关系.dwg 图8-2切割五棱锥.dwg

注意到这些图形都是在片刻间绘成，而且可以在轴测图与投影图之间变换，因此“捷图”的应用将与教材的种类、版本无关，换种说法，“捷图”可以与各种教材、习题集配套使用。

第七章. 组合体投影与视图表达
一、 逆射与相交的概念
逆射是从投影平面上的已知投影出发，向空间作与投影面正交的几何元素的过程。逆射投影平面上的点，得到空间的逆射线；逆射投影平面上的线，得到空间的逆射面；逆射投影平面上的面，得到空间的逆射体。在以下的表述中，逆射线、逆射面、逆射体都将简称“逆射”。
逆射类似投影的逆向过程，但不宜直接称为“反向投影”或“反投影”，因为投影线一般终结在投影面上，而逆射元素没有终止面。逆射的后续过程一般是相交。
二、 逆射与相交的分类
投影制图中的逆射相交分两类：同一几何形体的相邻逆射相交；逆射与其他空间形体相交。同一几何形体的相邻逆射相交可以得到几何形体本身；逆射与其他空间形体相交可以得到符合相关条件的几何元素；逆射线、逆射面与其他空间形体表面的交点、交线也称为落影。
2.1 同一几何形体相邻投影的逆射相交
同一几何形体相邻投影的逆射相交可以有六种结果，如表1。
作法1，通常用于点的空间定位，其余5种作法用于线、面、体的空间构形与定位。
作法1、2、3、4、5，要求初始投影条件充分，即相邻面上的投影必须完全，才能实现精确的空间构形与定位。第6种作法可以适当消减若干初始投影线，例如图中所示的1’ , 2’ , 3’’ 三条直线，以便简化构形与定位的步骤。这种作法简洁灵活，可以在基本几何体与组合体的三维构形中应用。
表1. 同一几何形体相邻投影的逆射相交结果

点的逆射(逆射线)
直线的逆射 (逆射面)
线框的逆射(逆射面)
边界为积聚线的面域
的逆射(逆射体)
点的逆射
(逆射线)
1．空间点

积聚点的逆射
(逆射线)

2．空间直线

直线的逆射
(逆射面)

3．空间直线

积聚线的逆射
(逆射面)

4．空间线框

线框的逆射
(逆射面)

5．空间线框

边界为积聚线
的面域的逆射
(逆射体)

6．空间形体

灵活应用以上基本方法，可以在Projector环境中简明直观地实现线面分析与形体分析等过程，帮助学生尽快掌握读图、绘图与三维构形基本技巧。
2.2 逆射与其他空间形体相交
逆射与其他空间形体相交可以得到符合相关条件的几何元素。例如表2中的7，9，11三种作法，可以用来求解这样一类问题：已知几何元素的一面投影，以及该元素在某一空间面上，求该元素的空间实形及其余投影。作法8得到的C1，C2点距球心O的距离等于球半径。作法10用来求解演示剖面的生成。作法12可以从已知的投影出发，与其他空间形体逆射相交，简洁地一步实现几何体的构形与定位。

表2. 逆射与其他空间形体相交结果

其他空间平面
其他空间实体
点的逆射
(逆射线)
7．空间平面上的点（落影点）

8．空间实体内的直线

直线的逆射
(逆射面)
9．空间平面上的直线

10．空间实体内的平面

面域的逆射
(逆射体)
11．空间平面上的平面

12．逆射体与其他空间实体的交集

三、 几个实例
1 补全组合体的三面投影，作组合体的空间实体。
已知条件如图1，
(1). 切换到投影箱,作作三个投影面上的逆射体。如图2
(2). 对三个投影面上的逆射体作布尔交运算，得空间组合体。如图3
(3). 从空间组合体出发，向三面投影，并可展平投影面。
本题取自机械制图教材，原题已知条件中组合体的三面投影线比本题更完整，根据表1中第6种作法，适当消减了原题中若干初始投影线，以便简化构形与定位的步骤。

图2作三面逆射体
图3布尔交运算
图1已知条件
图4向三面投影

2 已知腰长为60的等腰三角形ABC的V 面投影，顶点A的H面投影，求等腰三角形ABC。
已知条件如图5
(1). 切换到投影箱,作逆交点A，以A为球心作SR=60的圆球。如图6
(2). 从V面出发，作△ABC中b’、c’两个角点的逆射线。如图7
(3). 对逆射线和圆球求交，连接A点与两条交线上的相应两点，得△ABC。如图8，注意到本题有两解。

图8对逆射线和圆球求交，连接△ABC
图7作两个角点的逆射线
图6逆交A点，作SR=60的圆球
图5已知条件

3　已知直角三角形ABC的V 面投影，直角边AB的H面投影，求直角三角形ABC。
已知条件如图9
(1). 切换到投影箱,作ab，a’b’两个投影的逆交线。如图10
(2). 过B点作AB的垂直面，与c’的逆射线求交，得空间交点C。如图11
(3). 连接BC，CA，得空间直角三角形△ABC。如图12，调用“线线夹角”验证角B是否直角。

图12连接空间直角三角形
图11作AB的垂直面，与c’的逆射线相交
图10作逆交线
图9已知条件

本题也可以在projector中模拟传统解法，通过变换投影面来求垂直线的方法，验证空间解法的正确性。
4　已知迹线平面P，以及迹线平面P上圆O的V 面投影，求圆O的其它两面投影
已知条件如图13
(1). 切换到投影箱,逆射V面上的椭圆。如图14
(2). 转换迹线平面成实体面，与椭圆的逆射体求交，得空间圆。如图15
(3). 投影空间圆到三个投影面，展平投影面。如图16
本题可以在projector中模拟传统解法，通过作迹线平面上最大斜度线来求椭圆的方法，验证空间解法的正确性。

图16投影后展平

图15相交得空间圆

图14逆射椭圆

图13已知条件

四、 结论
由于表达工具与技术手段的限制，在传统的教学中，几何元素的逆射与相交的概念，只是隐含在解题的空间分析过程中，需要学生有良好的空间思维能力来配合理解。在二、三维集成的图形教学环境中，这些概念、分析、变换过程将清晰地凸现出来。
明确并提升逆射与相交的概念和方法，将有助于学生对画法几何与投影制图的基本理论和概念的理解，也有助于学生对空间几何关系和三维构形能力的掌握，从而为后续的机械制图和三维设计课程打下坚实的基础。
必须指出，上述作法并非从二维向三维转换过程中的全部手段，在三维定位与重建过程中，还频繁应用其它重要技巧，例如，坐标系的变换、回转、拉伸、布尔并与布尔差运算、面切割等等，用以构建复杂的空间几何形体，这些方法超出了本文讨论范围，通常在后继的机械制图与三维设计部分的教学中讲授。
参考文献
[1] 田 凌 童秉枢 冯 涓 机类机械制图新课程体系的研究及实践[J].工程图学学报, 2005. 26(5):120-132
[2] 张云飞 林大钧，计算机画法几何解题系统的初步探索，工程图学学报, 2004. 25(3):134-139.

第八章 各类轴测投影图的创建与反求的实例
目录2-教程与实例演示：
1-快捷创建组合体.wmv
2-自动投影.wmv
3-反求三视图.wmv
4-自动创建建筑物的立面图和斜二测.wmv

一、 用拉伸相交法创建组合体
文献1讨论了用拉伸相交法来创建组合体,在Projector中实现过程如下:
1 . 启动AutoCAD, 进入Projector环境. 作出组合体主视图、俯视图的外形轮廓, 如图1-1。
2 . 调用“转折线”命令,依次点击1、2、3, 修剪多余的作图线后，作出左视图的外形轮廓, 如图1-2。

图1-1 图1-2
3 . 在左视图上添加V形槽的截面轮廓, 如图1-3。
4.调用“拉伸相交”命令,依次点取1、2、右键; 3、4、右键; 5、6、右键; 如图1-4。

图1-3 图1-4
5 . 此时,图形如图1-5, 已经获得三个面域, 准备在旋转后再拉伸相交
6 . 最后 再次单击鼠标右键, 创建组合体. 如图1-6。

图1-5 图1-6
7 . 调用“刷新面或体投影”命令,创建正确的三面投影, 如图1-7。
8 .调用“投影图”命令,展平三面投影, 如图1-8。

图1-7 图1-8
二、 用旋转法创建组合体的任意观察角度的轴测投影图
1 .先按图2-1所示，以视线O为基准，以偏转角θ、俯视角ω,定义新的视线方向S，然后沿视线S正向投影；或者换一种说法, 保持视线方向O（主视图方向）不变，准备把组合体转动一个角度-θ（向右）,转动一个角度-ω（向下）, 然后沿视线O正向投影，来创建组合体的轴测投影图。
2 .调用“各向正轴测”命令,系统提示“指定组合体：”时，点击图2-2所示位置1；系统提示“键入偏转角θ角的数值：”时，键入“45”，回车；系统提示“键入俯视角ω角的数值：”时，键入“30”，回车；系统提示“指定轴测图放置位置：”时，点击图2-2所示位置2。

图2-1 图2-2
3 . 现在，如图2-3，在位置2上应该出现倾斜的组合体。系统又提示“再指定一下组合体：”时，再次点击组合体。
4 . 现在，如图2-4，在位置2上应该出现组合体的轴测投影图。

图2-3 图2-4
5 . 以 θ=90，ω=30； θ=135，ω=30；重复上述过程，得到结果如图2-5。

图2-5
三、 根据任意观察角度的轴测投影反求三视图
现在，根据任意观察角度的轴测投影反求三视图。 ，
1 .先清理组合体实体和其他投影图，只留下θ=45，ω=30的轴测投影图，移动到靠近坐标区域的右下角。.调用“反求正轴测”。
首先按提示依次输入：“偏转角θ角的数值:” 45，右键；“俯视角ω角的数值:” 30，右键；“指定该轴测投影的所有边界:选择对象:” 框选该轴测投影的所有对象，右键；
“指定轴测投影的一个轮廓表面[键入h/v/w]:” v, 右键.
“指定该轮廓面的内部点:” 依次点击图3-1所示1、2位置，右键。
“指定该轮廓面的基点：”点击图3-1位置3所示的交点，右键。现在，V投影面上得到了主视图的截面轮廓。如图3-2
不用退出命令，继续按提示操作。

图3-1 图3-2
2 . “指定轴测投影的一个轮廓表面[键入h/v/w]:” h, 右键.
“指定该轮廓面的内部点:” 依次点击图3-3所示黑色面域中各点，右键。
“指定该轮廓面的基点：” 点击位置8所示的交点，右键。现在，H投影面上得到了俯视图的截面轮廓。如图3-3
3 .继续重复以上操作，得到左视图，如图3-4。

图3-3 图3-4
操作中重复提到：“指定该轮廓面的基点：”，其中的“基点”是指：该轮廓面与某条基本坐标轴的正交点。
小结一下， 现在我们完成了从三视图轮廓图----组合体----三视图----轴测投影图----三视图轮廓图，得出一个组合体表达的完整循环。
考虑到任意角度正轴测投影各轴向变形系数较难确定，“各向正轴测”命令及其反求命令“反求正轴测”没有处理轴向变形。因此轴测投影标注时不能直接获得真实尺寸。这个问题可以调用 “轴测参数转换”命令来作进一步处理。不过比较原始三视图与反求得到的三视图，二者之间保持了极高的尺寸精度，可以保证数据的可靠性。
Projector的另外几条命令,“面与体投影”中的“正等测投影图”，“正二测投影图”，“斜二测投影图”，考虑了轴测图各轴向变形系数，因此可以直接在轴测图上标注实际尺寸。
复杂组合体上有一些附加小结构和内部形腔，形成的交线不会直接求得，可以通过改变指定轴测图的原点的方法得到。不过，建议初学者用编辑修改组合体实体的方法来求，更为简便。

四、 正等测、正二测和斜二测投影图
正等测、正二测和斜二测投影图的创建步骤比较简单，只要调用命令后，按照系统提示，做三次点击即可完成。图4-1是组合体的正等测投影图和斜二测投影图，图形由程序自动绘制，可以直接在轴测图上标注实际尺寸，尺寸精度与ACAD系统精度一致。

图4-1
用正等测投影图表达建筑物效果不够理想，建筑物会有向前倾斜的感觉，因此工程上常用斜二测投影图来增强建筑图的立体表达效果。
图4-1是建筑物的前、后、左、右立面图，俯视图和两个斜二测投影图，区别在于斜投影轴与X轴之间交角不同。