正交变换法和配方法化二次型标准形.doc

正交变换法和配方法化二次型标准形
的优劣研究

摘 要

二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.
本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论．总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.

关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法

Abstract

Quadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.
Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square.

Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation

目 录

摘 要……………………………………………………………………………Ⅰ
Abstract……………………………………………………………………………Ⅱ
目 录……………………………………………………………………………Ⅲ
1．引 言………………………………………………………………………… 1
2．定 义………………………………………………………………………… 1
3．定理及其证明………………………………………………………………… 2
4．方法步骤及例题……………………………………………………………… 5
4.1 配方法化二次型标准形…………………………………………………… 5
4.2 正交变换法化二次型标准形……………………………………………… 7
4.3 两种方法的比较研究……………………………………………………… 9
5．小 结…………………………………………………………………………10
致 谢……………………………………………………………………………12
参考文献……………………………………………………………………………13

1. 引 言

线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.
文献[1]-[3]具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献[4]-[6]提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用．文献[7]-[8]提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用.
本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.

2. 定 义

定义 1：设P是一数域，一个系数在数域P中的的二次齐次多项式
=+2+…+2++…2+…
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.
定义 2：设； 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
(1)称为由到的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 ，那么，线性替换(1)就称为非退化的.
定义 3：在n维欧式空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

3. 定理及其证明

定理 1：数域P上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和的形式.
证明：对变量的个数n作归纳法.
对于n=1，二次型就是，已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设 （）
分三种情形来讨论：
1）（）中至少有一个不为零，例如，这时
=
=
= -+
= +
这里 =-+是一个的二次型.
令 即
这是一个非退化线性替换，它使 =
由归纳法假定，对有非退化线性替换

能使它变成平方和
于是非退化线性变换
就使变成=， 即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.
2）所有，但是至少有一（j>1）,不失普遍性，设
令 它是非退化线性变换，
且使 =
=
= ，
这时上式右端是的二次型，且的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.
3)
由于对称性，有
这时=是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.
定理2：对于任一个n级实对称矩阵，都存在正交矩阵，使得== 其中是的n个特征值.
定理 3：对于n维欧式空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使L=L，.
证明：设是一组基，我们来逐个地求出向量.
首先，可取.一般地，假定已经求出，它们是单位正交的，具有性质 L=L，.
下一步求
因为L=L，所以不能被线性表出.
作向量.显然，，且，
令 ，就是一单位正交向量组.
同时 L=L由归纳法原理，定理得证.
定理 4：任意一个n元二次型=(实对称)，总可以经过正交变换（为正交矩阵）化为标准形 ，式中，是矩阵=()的全部特征值，称为二次型在正交变换下的标准形.
证明：因为矩阵是实对称阵，由定理4可知，一定存在正交矩阵，
使得 === 其中是矩阵的全部特征值.作正交变换,则===
=

4. 方法步骤及例题

4.1配方法化二次型标准形
用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：
情形1: 如果二次型含某文字例如的平方项，而,则集中二次型中含的所有交叉项，然后与配方，并作非退化线性替换
（）
则,其中是的二次型。
对重复上述方法直到化二次型为标准形为止.
情形2: 如果二次型不含平方项，及 ,但含某一个 ，则可先作非退化线性替换

把化为一个含平方项的二次型，再用情形1的方法化为标准形.
例4.1.1：用配方法化二次型
=
为标准形，并写出所用的非退化线性替换.
解：先对配方消去所有含有的项，，：
=++--
=-+--
=--
再对配方消去所有含的项；：
=-
=-
作线性替换
把二次型化为标准形 =

注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为

或
则二次型化得标准形是=
例4.1.2：用配方法化二次型=+- 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.
解：作非退化线性替换
则 =+-
=
先对配方，=-+
=-+-
再对配方，=--
=-+
作线性替换
把二次型化为标准形：=

4.2正交变换法化二次型标准形
正交变换法化二次型标准形的一般步骤：
(1)写出的特征方程,求出的全部特征值.
(2)对于各个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化.
(3)把上述求得的n个两两正交的单位特征向量作为矩阵的列向量，就是使二次型化为标准形的正交变换.

例4.2.1：用正交变换化二次型=++++
为标准形，并求所作的正交变换.
解: 二次型的矩阵, 求出的特征值:
由 = =
得特征值 ，
其次，求属于-1的特征向量 把代入
（1）
求得基础解系
把它正交化，得
再单位化，得
再求属于8的特征向量，把代入（1），求得基础解系
把它单位化得
于是正交矩阵为
作非退化线性替换,二次型的标准形为=

4.3 两种方法的比较研究
例4.3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.
=
解：方法1) 用配方法
作非退化线性替换
=++
=
=
令
则二次型的标准形为=

方法2) 用正交变换法
二次型的矩阵 =
由 = =
得特征值 ，
把代入
（1）
求得基础解系
正交化，得
再单位化，得
把代入（1），求得基础解系
把它单位化得
令,则为正交矩阵，且
作非退化线性替换,二次型的标准形为=

5. 小 结

将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用配方法，或者使用其他方法解答，这取决于题目的要求.如果题中要求找出一个正交矩阵，无疑应该使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么使用两种方法
解答都可以.
在计算方面，若二次型中变量个数较少，那么使用配方法是比较简单的，不易产生错误；正交变换法虽然有固定的步骤，但是计算量通常较大，容易产生错误.
在空间结构方面，同一个二次型通过不同的非退化线性替换所得到的标准形可以不同，所以用配方法所化得的标准形不是唯一的，它会改变图形的几何形状；正交变换有保持线段的长度不变的特点，它是对坐标轴的旋转、平移，即不改变坐标轴的其他性状，所以用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状不变的优点,最大限度的保证了函数图形的几何特征,此方法在工程方面的应用更加广泛.

致 谢

本论文自始至终是在蔡老师的悉心指导下完成的，蔡老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨.正是蔡老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成.同时蔡老师一丝不苟的工作态度，积极进取的精神，敏锐的洞察力，诲人不倦的高贵品质都将激励和鞭策我在今后的学习工作中更上一层楼，在此谨向蔡老师致以最真挚的敬意和由
衷的感谢.
同时也感谢培育过我的数学学院的各位老师以及各位亲爱的同学们，是他们陪伴了我四年的大学生活，特别感谢电子阅览室的各位老师和文献检索汤老师的指导，您们给予的帮助和支持，给了我最大的鼓励和信心，正是这些给了我继续努力的动力，使我最终顺利完成了论文.
我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关心、帮助和支持过我的所有领导、老师、同学、和朋友.值此论文完成之际，祝福各位身体健康，万事如意.

参考文献

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