证明最佳包络矩形.docx

两个五边形组成的包络矩形中，随着x(x为两个五边形的最长边左下角点的距离差)的变化，整个包络矩形的面积也会发生变化。
一个包络矩形的面积由多边形的实际面积和构成多边形成为矩形的构成面积组成。

对于一个样件而言,它的利用率为

是一个确定的值，它等于两个五边形的面积之和，因此的大小直接影响到利用率。若增大，将减小；若减小，将增大。所以为了使板材的利用率最大，就是为了使每个样件的利用率最大，也就是使得包络矩形的最小。

通过绘图我们发现，如果只将一个五边形构成一个包络矩形(如图所示)，在包络矩形的右下角有一大部分面积没有充分利用，这种包络矩形的利用率只有。。。

因此我们打算利用多个五边形并靠在一起构成一个最佳的包络矩形，充分利用样件的利用率。通过多个图形的并靠和不同的并靠方式的组合，我么最终确定两个五边形并靠在构成一个包络矩形(如图所示)的方式可以使得整个包络矩形的利用率最大，从图形上我们可以看出，这种包络矩形的利用率显然高于单个五边形构成的包络矩型的利用率。

我们定义五边形A和五边形B的M、N两点之间的距离为x，我们可以根据这个x的值来讨论两个图形在错位时的情况。

对于x变化时，产生的每一种包络矩形而言，它们的在上图中的阴影部分面积否是不会发生改变的，在每种包络矩形中，这些面积都是无法消去的。所以我们可以认为通过改变等效面积(图中空白部分的面积)的大小，就能直接反映样本的利用率。

情况1.

如上图所示，当x一定大时，两个图形会因为高度差使得等效面积增加。x减小时，这种高度差将会减小到0，这时等效面积最小。

高度差为0
情况2.

当x大于某一个数值时，两个图形的将在上下两端产生错位，这会使得有新的高度差产生。由图形的对称性可知，等效面积就是图中的的两倍，为了方便计算，我们就可以认为等效面积就是图中的。

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X变化时，出现的两种极限情况

其中M，L，a，b都是确定的值，。
因为，所以这是一个开口向下的二次函数，对称轴为，此时在或者时，使得的面积最小，包络矩形的利用率最大。通过计算我们得出在，图形并靠得到的包络矩形的利用率最大。

情况3.
当X继续减小，减小至小于0时，两个图形交错产生的等效面积又将减小。

时，包络矩形图
通过观察时的矩形包络图和时的矩形包络图发现，随着X的减小，等效面积又将减小。当时，S的面积减小为0，达到最小。若X继续减小，这时又将产生新的S又会因为错位而增加。

时的矩形包络图 时的矩形包络图
图中，M，L，a，b都是确定值。
综合所述：当两个五边形并靠成为如下图所示的包络矩形时,包络矩形将达到最优，此时最小，此时样板的利用率最大。所以选择这种并靠方式将使得样板在板材优化下料时最佳。

五边形的最佳包络矩形