高中数学奥赛系列辅导资料：数学学习中的学法指导.doc

数学学习中的学法指导
【内容综述】
　　本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵……第四，其它

【要点讲解】
　　§1. 武器精,巧解题
　　若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。
　　1．等差数列中，
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　①
　　　　证明

　　例1.设等差数列满足且Sn为其前n项之和，求Sn中最大者。 （1995高中全国数竞赛题）
分析：若等差数列中，满足

　　则Sn最大。或当Sn=Sm时，取最大值
　　解：　
　　由题设： 得

　　故由等差数列前n项和是二次函数，可见是最大和
　　说明 本题若用常规解法，就需由题设，求得再去解

　　求得n=20.计算量较大。
　　例2.等差数列，的前n项和分别为Sn与Tn，若
　　（1995年全国高考试题）
　　分析 本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单
　　解

　　 　∴
　　例3.设等差数列的前n 项和为Sn,已知 , 求公差d的取值范围.
　　解:

　　即

　　又∵

　　故
　　2．三面角余弦公式
　在如图三面角O—ABC中。设面角∠AOB=Q,
　　∠AOC=Q1，∠BOC=Q2, 二面角A—OC—B
　　大小为，则有公式
　　，②

称为三面角余弦公式或三射线定理。当时，就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的基础上，作CA、CB分别垂直OC、于C、连AB，分别在△AOB、△AOC、△BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用Q、Q1、Q2及OC的关系表出，最后再在△ABC中利用余弦定理求得公式②
　　本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。
　　例4.已知二面角M—AB—N是直二面角，P是棱上一点，PX、PY分别在平面M、N内，且。求大小?(1964,北京赛题)

　　解:利用三面角余弦公式
　　得

　　∴
　　例5.已知四面体S—ABC中，，，设以SC为棱的二面角为，求与、β关系。

　　解：由三面角余弦公式及题设，得
　　　，
　　，故有

　　解之，得

　例6.已知正四棱锥P—ABCD的侧面与底面夹角为L，相邻两侧面的夹角为β,求证：
　　　 （1981 上海竞赛题）
　　证：设PO是棱锥的高，O是底面ABCD的对角线交点
　　　　作OE⊥AD，
　　　　则PE⊥AD，
　　　　从而∠PEO是侧面与底面所成角；
　　　　作BF⊥PC，连DF，易证∠DFB即两侧面间所成二面角的平面角β.
　　　　设侧棱长为a，底面边长为b。则侧高为，则由三面角余弦公式有

　　　　　　　　 =
　　　　　　　　 =
　　　　　　　　 =
　　　　又由三面角P—BCD知

　　　　 ∴

　例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦是_____________。（1996年全国高考试题）

　　解 ∵AD，BF所成角，即BC与BF所成角，由三面角余弦公式，有

　　说明：由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多
　　这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力，

§2 大概念 小计算
　　要学好数学，一定要重视概念的学习
　　例8.已知集合
　　的值。（1987．全国赛题改编）
　　分析：根据集合元素的互异性，由N知X，Y皆不为0，又由M=N，故知可见，从而xy=1，进而x、y可求
　　解：由题设知x、y≠且xy=1，∵且M=N，∴解方程组

　　得x=y=-1，舍去x=y=1(∵与元素互异矛盾)
　　代入原式=-2+2-2+…-2= -2.
　　说明：这时重在概念分析，计算量较小。
　　也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002
　　或；进而去求x、y的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。
　　例9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，求的值
　　 （2000年全国高考）
　　分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。
　　解 令p=q，则
　　由抛物线，可见，根据通径长为，应选C。
　例10 如图, OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。求母线与轴的夹角的余弦值

　　分析 若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程

　　解 设原圆锥母线长为1，则底半径经，（为圆锥顶角之半），高，，设AD⊥PO于D，则于是

由 　，得
　　解得 ，

　　应选C
　　说明：在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知识的数学概念和方法，希望大家能够认真学习，掌握各类问题的解法。

§3 反客为主，欲擒故纵
数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。

例11.若
　　试求的值
　　分析 欲求有关的下弦，要先去求有关β的函数关系β(),然后再消去β从而得出的欲求值,这种策略,不妨称之为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合这种策略行之有效。
　　解 由①得

　　　 由②得
　　 　　.
　　于是

　　化简得

　　　∴ (已舍绝对值>1的另根)
　　例12.已知
　　求证：
　　分析 题设中有的三角函数，并有参数a、b、c。但题断中不含的三角函数，可见应设法消去，为此应先求出关于a、b、c的关系，再设法消去。
　　证：由已知易得

　　 由①可见

　　代入②，再化简即得

　　说明：这一节，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。
　　例13.当x=-1, x=0, x=1, x=2时，多项式取整数值，求证：对于所有整数X，这个多项式都取整数值。（1988 俄）
　　证：注意到 （★）
　　由题设知
　　　d=p(0), a+b+c+d=p(1),
　　 都是整数，故a+b+c也是整数。又
　　　p(-1)=2b-(a+b+c)+d
　　是整数，故2b也是整数，而
　　　p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d
　　是整数，可见6a也是整数。又易证是整数，从而由（★）可证各P(x)是整数。
　　说明 为证P（x）是整数，就需证明a、b、c、d是整数系数，这里借助于构造★式,转证6a、2b，a+b+c，d为整数，从而证出p（x）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家认真,能认真坚持学习。

【同步达纲练习】
　　1．①试通过已知锥体,台体公式，概括出一般的拟柱体公式

　　其中分别表示上、下底面积，表示中截面积。
　　　 ②用上述公式求解
若三棱柱ABC—中，若E、F分别为AB，AC中点，平面EF将三棱柱分成体积为，的两部分,则：=________.（1990年全国高考题）
★★2.设|m|≤2，试求关于x的不等式

　　恒成立的x取值范围
★★3.关于x的方程

　　有实根,求实数a的取值范围.

参考答案
【同步达纲练习】
　　1．①注意利用；
　　　 ②特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得，代入拟柱体公式，得
　　2．构造函数，求系数x范围。
　　　(Ⅰ)当|x|>1时,
　　　(Ⅱ)当|x|<1时,
　　　(Ⅲ)|x|=1 时, X=1
　　综上，，原命题成立。
　　3．解关于a的方程，得
　　　(Ⅰ)当
　　　(Ⅱ)时,
　　　　　　 当
　　　(Ⅲ)又由
　　可见时 故

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