机械能及其守恒定律.doc

第二章 机械能及其守恒定律
第八节 机械能守恒定律
【知能准备】
1．物体由于 而具有的能叫动能，动能与物体的 及运动的 有关。
物体由于被 而具有的能叫 ，重力势能与物体的 及被举高的 有关。
物体由于发生 而具有的能叫弹性势能，弹性势能与形变的 有关。
2．动能和势能统称为
3．机械能的性质：机械能是 量，具有 性。
重力势能具有相对性，所以要取参考平面；动能具有相对性，所以要取参考系。因此只有在选取参考平面和参考系后才可确定物体的机械能。通常情况下，我们选取地面为参考平面和参考系。
4．机械能守恒的条件：只有 或只有 做功；
5．机械能守恒定律：
在只有 的条件下，物体的动能和重力相互转化，但机械能的总量保持不变。
在只有弹力做功的条件下，物体的动能和 相互转化，但机械能的总量保持不变。
6．机械能守恒定律的数学表达式：
第一种：+=+从守恒的角度：物体运动过程中，初状态和末状态 相等
第二种：△Ek =-△EP 从转化的角度 的增加量等于 减小量
第三种: △E1=-△E2 从转移的角度 的机械能增加量等于物体2的机械能的

【同步导学】
1．如何判断机械能是否守恒
（1）对于某个物体，若只有重力做功，而其他力不做功，则该物体的机械能守恒。
（2）对于由两个或两个以上物体（包括弹簧在内）组成的系统，如果系统只有重力做功或弹力做功，物体间只有动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统与外界没有机械能的转移，系统内部没有机械能与其他形式能的转化系统的机械能守恒。
（3）如果物体或系统除重力或弹力之外还有其他力做功，那么机械能就要改变。
（4）所谓物体只受重力与只有重力做功有什么不同。
第一种情况：物体只受重力，不受其他的力。第二种情况：物体除重力外还受其他的力，但其他力不做功。
（5）所谓只有弹力做功，包括哪几种情况？
第一种情况：物体只受弹力作用，不受其他的力；第二种情况：物体除受弹力外还受其他的力，但其他的力不做功
例1：关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒；
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒；
C．外力对物体所做的功等于0时，机械能一定守恒；
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒。
解答：做匀速直线运动的物体是动能不变；势能仍可能变化，选项A错；做匀变速直线运动的物体，动能不断增加，势能仍可能不变，选项B错；外力对物体所做的功等于0时，动能不变；势能仍可能变化，选项C错；机械能守恒条件是物体只有重力做功或只有弹力做功，D对。
例2：在下列实例中运动的物体，不计空气阻力，不守恒的是( )
A．起重机吊起物体匀速上升，
B．物体做平抛运动，
C．圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动，
D．一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物在竖直方向上做上下振动（以物体和弹簧为研究对象）。
解答：起重机吊起物体匀速上升，动能不变势能增加，机械能增加；物体做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒；圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动，没有力做功，；一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物在竖直方向上做上下振动，只有重力和弹力做功机械能守恒。不守恒的是A
2-8-1
例3：如图2-8-1所示,一轻质弹簧固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放,让其自由摆下,不及空气阻力,重物在摆向最低点的位置的过程中( )
A．重物重力势能减小
B．重物重力势能与动能之和增大
C．重物的机械能不变
D. 重物的机械能减少

解答： 物体从水平位置释放后,在向最低点运动时,物体的重力势能不断减小,动能不断增大.弹簧不断被拉长,弹性势能变大.所以物体减少的重力势能一部分转化为自身的动能,另一部分转化为弹簧的弹性势能.对整个系统机械能守恒,而对重物来说,机械能减少.答案:AD
2、应用机械能守恒定律解题的步骤：
（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）；
（2）分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；
（3）确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；
（4）根据机械能守恒定律列出方程进行求解
注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性。
例4：如图2-8-2所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动?
解答：在整个过程中，小球只受到重力做功,绳中的拉力不做功.所以在整个过程中小球的机械能守恒. 设最低的速度为v,取最低点为零势能平面.则
2-8-2
最低点的机械能E1=mv2
小球能够通过离心轨道最高点，应满足mg≤
小球要在竖直平面内完成整个运周运动,在最高点的速度起码为
则在最高点的机械能E2=EK+EP=m()2+mg×2R
根据机械能守恒定律E1=E2 mv2=m()2+mg×2R
代入数据得v=

3．机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用
对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中。
例5：如图2-8-3所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）
解答：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得
K
2-8-3

A
B
O
2-8-4

例6：如图2-8-4所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。
解答：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得
⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37,α=16°
⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)
A
B
O
v1
v1/2
O
A
B
α
B
O
θ
α
θ
A
=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得
⑴ ⑵ ⑶

【同步检测】
1．在下列物理过程中，机械能守恒的有（ ）
A．把一个物体竖直向上匀速提升的过程
B．人造卫星沿椭圆轨道绕地球运行的过程
C．汽车关闭油门后沿水平公路向前滑行的过程
D．从高处竖直下落的物体落在竖直的弹簧上，压缩弹簧的过程，对弹簧，物体和地球这一系统。
2-8-5
2．如图2-8-5从离地高为h的阳台上以速度v竖直向上抛出质量为m的物体，它上升 H后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是（不计空气阻力，以地面为参考面）（ ）
A．物体在最高点时机械能为mg(H+h);
B．物体落地时的机械能为mg(H+h)+ mv2/2
C．物体落地时的机械能为mgh+mv2/2
D．物体在落回过程中，经过阳台时的机械能为mgh+mv2./2
3.在离地高为H处以初速度v0竖直向下抛一个小球,若与地球碰撞的过程中无机械能损失,那么此球回跳的高度为( )
A、H+； B、H-； C、； D、。
2-8-6
4．如图2-8-6所示,质量为m和3m的小球A和B,系在长为L的细线两端,桌面水平光滑,高h(h<L),A球无初速度从桌边滑下,落在沙地上静止不动,则B球离开桌边的速度为( )
A. B.
C. D.
5.如图2-8-7所示,一斜面放在光滑的水平面上,一个小物体从斜面顶端无摩擦的自由滑下,则在下滑的过程中
2-8-7
下列结论正确的是( )
A. 斜面对小物体的弹力做的功为零
B. 小物体的重力势能完全转化为小物体的动能
C. 小物体的机械能守恒
D. 小物体，斜面和地球组成的系统机械能守恒
2-8-8
6. 如图2-8-8所示，一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块动 能大小和对轨道最低点的压力，下列结论正确的是（ ）
A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D．轨道半径变化时，滑块动能、对轨道的正压力都不变
7.水平抛出的一个物体,物体落地时速度的方向与水平方向的夹角为θ,取地面为零势能面,则物体刚被抛出时,其重力势能和动能之比为( )
A .tanθ B .cotθ C .cot2θ D. tan2θ
2-8-9
8.如图2-8-9所示,将小球拉紧,悬线在水平位置无初速释放,当小球达到最低点时,细线被与悬点在同一竖直线上的小钉P挡住,则在悬线被钉子挡住的前后瞬间比较( )
A．小球的机械能减少
B.小球的动能减小
C. 悬线上的张力变小
D.小球的向心加速度变大
9.如图2-8-10所示长度相等的三根轻质竿构成一个正三角形支架,在A处固定一质量为2m的小球,B处固定一质量为m的小球,支架悬挂于O点,可饶O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动,开始时OB与地面相垂直,放手后开始运动,不计任何阻力,下列说法正确的是( )
2-8-10
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C. B球向左摆动所达到的最高点位置应高于A球开始时的高度
D. 当支架从左向右回摆时,A球一定能回到原来的高度
2-8-11
10. 如图2-8-11所示，倾斜轨道AC与有缺口的圆轨道BCD相切于C，圆轨道半径为R，两轨道在同一竖直平内，D是圆轨道的最高点，缺口DB所对的圆心角为900，把一个小球从斜轨道上某处由静止释放，它下滑到C点后便进入圆轨道，要想使它上升到D点后再落到B点，不计摩擦，则下列说法确的是 （ ）
A．释放点须与D点等高
B．释放点须比D点高R/4
C．释放点须比D点高R/2
D．使小球经D点后再落到B点是不可能的

11.气球以10m/s的速度匀速上升，当它上升到离地15米高处，从气球上掉下一个物体，不计空气阻力则物体落地时的速度为 。
12．一根长为L的均匀绳索一部分放在光滑水平面上，长为 L１的另一部分自然垂在桌面下，如图2-8-12所示，开始时绳索静止，释放后绳索将沿桌面滑下，则绳索刚滑离桌面时的速度大小为 ．

2-8-13
2-8-12

13. 半径为R的半圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，A点是最低点，B点是最高点，如图2-8-13所示，质量为M的小球以某一速度自A点进入轨道，它经过最高点后飞出，最后落在水平地面上的C点，现测得AC=2R，求小球自A点进入轨道时的速度大小？

第八节 机械能守恒定律练习题
1、如图2-8-14所示，两质量相同的小球A、B，分别用线悬线在等高的O1、O2点，A球的悬线比B比球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（悬点为零势能）（ ）
2-8-15
A．A球的速度大于B球的速度
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能

B
2-8-14
A

2．如图2-8-15所示，小球自高为H的A点由静止开始沿光滑曲面下滑，到曲面底B点飞离曲面，B点处曲面的切线沿水平方向．若其他条件不变，只改变h，则小球的水平射程s的变化情况是 ( )
A．h增大，s可能增大 B．h增大，s可能减小
C．A减小，s可能增大 D．A减小，s可能减小

3．用平行斜面向下的拉力将物体沿斜面拉下，拉力的大小等于摩擦力，则（ ）
A.物体做匀速运动 B．合外力对物体做功为零
C．物体的机械能守恒 D．物体的机械能减小
4．如图2-8-16所示，用长为L的绳子一端系着一个质量为m的小球，另一端固定在O点，拉小球至A点，此时绳子偏离竖直方向为θ角，空气阻力不计，松手后小球经过最低点的速率为（ ）
A． 2glcosθ　　　　B． 2gl（1—sinθ） C． 2gl（1—cosθ） D． 2gl

2-8-17
θ
L
A
O
2-8-16

5．细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球绕绳的固定点在竖直面内做圆周运动，细绳在小球的最低点和最高点的张力之差 为（ ）
A．mg B．2mg C．4mg D．6mg
6．如图2-8-17所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上。在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（ ）
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和不断增加
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
7．人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ ）
A．人对小球做的功是
B．人对小球做的功是
C．小球落地时的机械能是
D．小球落地时的机械能是
8．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是（ ）
Ａ．用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动
Ｂ．细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动
Ｃ．物体沿光滑的曲面自由下滑
Ｄ．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动
2-8-18

2-8-19

9．如图2-8-18所示，长为L1的橡皮条与长为L2的细绳的一端都固定在O点，另一端分别系两球A和B，A和B的质量相等，现将两绳都拉至水平位置，由静止释放放，摆至最低点时，橡皮条和细绳长度恰好相等，若不计橡皮条和细绳的质量，两球经最低点速度相比 ( )
A．A球大
B．B球大
C．两球一样大
D．条件不足，无法比较
10．一根全长为L、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，如图2-8-19所示，当受到轻微扰动，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间铁链速度大小为 （提示：利用E1=E2分析）。
11．从地面以40m/s的初速度竖直上抛一物体，不计空气阻力，经过T时间小球的重力势能是动能的3倍，则T= ，这时小球离地高度为 。
2-8-20
12．如图2-8-20所示，光滑圆柱O被固定在水平平台上，质量为m的小球用轻绳跨过柱体与质量为M(M>m)的小球相连，开始时，m与平台接触，两边绳伸直，然后两球从静止开始运动，M下降，m上升，当上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m恰好做平抛运动，则M是m的多少倍？

13．如图2-8-21，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r<<R，有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管，
（1）若要小球能从C端出来，初速度v0多大？
2-8-21
（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？

L
A
O
O/
2-8-22

14．如图2-8-22所示，质量为m的小球由长为L的细绳（质量不计）固定在O点，今将小球水平拉至A点静止释放，在O点正下方何处钉一铁钉O/方能使小球绕O/点在竖直平面内做圆周运动（设细绳碰钉子时无能量损）

2-8-23

15．如图2-8-23所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定有一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：
(1)当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
(2)A球转到最低点时的线速度是多少？
(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

16．质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8米，如图2-8-24所示。若所有摩擦力均不计，从静止开始放手，让它们运动起来。试求：
2-8-24
（1）物体A着地前一瞬的速度；
（2）物体A着地后，物体B沿斜面上滑的最大距离。

17．如图2-8-25所示，重物A、B、C质量相等，A、B用细绳绕过轻小滑轮相连接，开始时A、B静止，滑轮间细绳长0.6m，现将C物体轻轻挂在MN绳的中点，求：
2-8-25
(1)C下落多大高度时速度最大?
(2)C下落的最大距离多大?

2-8-26
18．如图2-8-26所示，跨过同一高度处的光滑滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B.A套在光滑的水平杆上，定滑轮离水平杆高度为h=0.2 m.开始让连A的细线与水平杆夹角θ=53°，由静止释放，在以后的过程中A所能获得的最大速度为_____.(sin53°=0.8，cos53°=0.6)

第八节 机械能守恒定律知能准备答案
1、运动 、 质量、速度，举高、重力势能、质量、高度，弹性形变、程度
2、机械能
3、标量、相对性
4、重力、弹力
5、重力做功、弹性势能
6、机械能、动能、重力势能、物体1、减小量
第八节 机械能守恒定律同步检测答案
1． BD
2． ACD
3． A
4． A
5． D、
6． B、
7．D、
8．D、
9．B、C、D、
10．D
11．20m/s、
12．ｖ＝
13．
第八节 机械能守恒定律练习题答案
1.ABD
2.ABCD
3.C
4.C
5.D
6. CD
7.BC
8.B
9.B
10.
11. 2s或6s、 60m
12. 5/(π+1)
13. ；N=0 vO=、N＞0 vO＞、N＜0 ≤ vO＜
14. 3L/5
15. mgr/2 、 、 37°
16. 2m/s、1.6m 　　　　　　　　　　
17． m、0.4m
18．1m/s

9