第 36 讲 双曲线.doc

第 36 讲 双曲线
（第课时）
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准确记忆！

双曲线

重点难点
好好把握！

重点：1．双曲线的定义和标准方程；2．双曲线的几何性质；3．直线和双曲线的位置关系。
难点：1．渐近线的正确理解；2．直线和双曲线的位置关系的讨论。

考纲要求
注意紧扣！

1．掌握双曲线的定义、标准方程；2．掌握双曲线的几何性质及应用；3．了解双曲线的一些实际应用。

命题预测
仅供参考！

一是用选择题或填空题考查定义、标准方程、焦点、准线、渐近线等几何性质；二是用以双曲线为依托的综合题，考查轨迹、直线和双曲线相交以及双曲线的实际应用。
考点热点
一定掌握！

1．双曲线的定义
⑴ 第一定义
如果一个动点到两个定点的距离的差的绝对值等于定长，那么这个动点的轨迹叫做双曲线。两个定点叫焦点，两个焦点间的距离叫焦距。
即 （），其中为动点，、为定点，为常数。
⑵ 第二定义
到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比等于一个大于1的常数的动点的轨迹叫做双曲线。
即 （），其中为动点，为直线外一定点（焦点），为动点到定直线（准线）的距离，（离心率 ）为大于1的常数。
图1

2．双曲线的标准方程以及求法
⑴ 双曲线的标准方程
① （），
焦点在轴上。如图1。
② （），
焦点在轴上。如图2。
图2
其中，动点到两个定点的距离的差等于，叫实轴，叫虚轴，叫半实轴， 叫半虚轴；两个定点的坐标为 或 ，焦距为 ，其中 。
特别地，实轴与虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率。 与 互为共轭双曲线，它们的渐近线相同，焦距也相同。
注意：对于一个实际的双曲线方程，哪一项为正，焦点就在
哪一项所示的轴上（记为“实轴跟正项”）。
例． 的焦点在哪条轴上？
分析：因为项为正，所以实轴在轴上。

⑵ 双曲线方程的求法
求双曲线方程，一般使用待定系数法，首先根据焦点位置设出相应的方程形式，再根据题给条件确定系数。当焦点位置不能确定时，方程可能有两解。
例（2003年高考理科题）．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。
解：设双曲线的方程为 ，把 和 代入得
，
则 ，解之得 ，故应选D。
例．一双曲线中心在原点，两轴都在坐标轴上，并且过和两点，求双曲线方程。
分析：如果无法判别焦点在那一条坐标轴上，可以把方程设为不需要考虑焦点位置的通用形式，其中的是待定系数。
解：设所求的方程为 ，
把、的坐标代入得 ，
即 ，解之得 ， ，
故所求的方程为 。

3．双曲线的图形和性质
①截距：是椭圆在轴上的截距，如图1和图2。
②顶点：实轴的端点叫做双曲线的顶点，双曲线有二个顶点。
③中心：实轴、虚轴的交点叫做双曲线的中心。
④对称：双曲线关于实轴、虚轴以及中心对称。
⑤范围：双曲线在过它的二个顶点且垂直于它的实轴的二条平行线之外的两支无限伸张的曲线。
⑥离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记为， 。
⑦准线：直线 （实轴在轴）或 （实轴在轴）叫做双曲线的准线。双曲线上的点到焦点与到同侧准线的距离的比等于定值。
⑧焦参数：双曲线的焦点到相应准线的距离称为焦参数，通常用表示， 。
⑨通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的弦称为双曲线的通径，通径 ，通径是过焦点且与一支相交的弦中最短的一条。
例（2000年高考广东理科题）．如图，已知梯形ABCD中
|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过
C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线
离心率e的取值范围。
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴。
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，
依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，
由定比分点坐标公式得
设双曲线的方程为，则离心率，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程得

由式得
将式代入式，整理得，
由题设得， ，解得，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[] 。

4．双曲线的渐进线
⑴ 渐近线
对于双曲线 （或 ），过双曲线的实轴、虚轴的端点分别引实轴、虚轴的垂线，共四条垂线，围成一个矩形，这个矩形的两条对角线所在的直线叫做双曲线的渐近线。渐近线的方程为 （或 ）。也可以写为 （或 ）。
当无限增大时，双曲线无限接近它的渐近线。
⑵ 双曲线的方程与渐近线的关系
① 若双曲线的方程为 （或 ） ，要求它的渐近线，只要令其常数项等于零，即 （或 ），然后分解因式即可。
② 若渐近线的方程为 （或 ），则双曲线的方程为 （或 ）（）的形式，再根据其它的条件确定的值。对于不知焦点在那一条坐标轴上时，使用这一方法，有它的长处。
例（1995年高考理科题）．双曲线 的渐近线方程是 （ ）
A．y＝±3x； B．y＝±1/3x ； C．y＝±x ； D．y＝±/3x
解：令 得 ，故应选。
例．已知双曲线上一个点(10, )和渐近线方程，求双曲线的标准方程。
解：渐近线方程化为 故设双曲线的方程为 ，
把点的坐标代入得 ，解之得 ，
故所求双曲线的方程为 。
点评：从题给条件不易看出焦点在哪条轴上，所以把双曲线的方程设为 还是 ，无法确定。此时设为 即可避开这一问题。
例．一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。
分析：设双曲线方程为 ，它的渐近线方程是 ，
如图，一直线交双曲线的两支及其两渐近线
从左到右依次为、、、
四点。
要证，当直线平行于轴时，只要证
；当直线不平行于轴时，过、
分别作水平线，过 、分别作铅垂线，此时可
得两个小三角形，如图，仍然只要证 。
故只要证 ，而 可由直线
方程与双曲线方程消去后得到，可由直线方程与渐
近线方程联立解出。
解：设同前，此处略。
由方程组 消去得 ，
又解 和 得 ， ，
易见 ，即 。
若，结论显然成立；若，过作轴的平行线，过作轴的平行线，设此两平行线交于；同时过作轴的平行线，过作轴的平行线，设此两平行线交于。
则由 得 ，又 ，
∴ ，结论成立。
点评：本题利用韦达定理 。

5．直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系类似于直线与椭圆的位置关系，唯一的不同点是当直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。因为当直线与渐近线平行而与双曲线相交时，直线与双曲线也只有一个公共点。

能力测试
认真完成！

参考答案
仔细核对！

JJ
02
04-06
双曲线
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

第一定义

第二定义

方程

√

√

√

√

等轴双曲线

√

共轭双曲线

性质
离心率
√
√
√

√

准线

渐近线

√

√

直线与双曲线的位置关系

√

综合题

√
√

√

1（1996年高考理科题）．设双曲线 ()的半焦距为，直线过（，0）、 (0, )两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为 （ ）
. 2； . ； . ； . 。
答案： 。
2（2003年高考文科题）．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
答案： 。
3（2004年高考理科题）．设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）
A、 B、 C、 D、
答案： 。
4． 的实轴在 坐标轴上， 。
答案：在轴上，。
5．经过(1，-3)点，并且两对称轴都合于坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
答案： 。
解题错误：多出一解 。
点评：本题为等轴双曲线。
6（1992年高考理科题）．焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是___________。
答案： 。
7（1998年高考理科题）．设圆过双曲线 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_____。
答案： 。
8（2001年高考理科题）．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 。
答案： 。
9．过曲线 上一点(-4，1)的切线方程为 。
答案： 。
10．一双曲线中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，渐近线为 且经过(6，9)点，求双曲线的方程。
解：∵ 渐近线为 ，故设所求双曲线的方程为 ，
把点坐标代入求得 ，
故所求双曲线的方程为 。
点评：本题使用 求方程。
11（1991年高考理科题）．双曲线的中心在坐标原点0，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，│PQ│＝4，求双曲线的方程。
解法一：设双曲线的方程为：x2/a2－y2/b2＝1
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组

将②式代入①式,整理得
　　(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. 　　　　　　　③
设方程③的两根分别为x1和x2，若5b2－3a2＝0，则，即直线②与双曲线①的渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0。
根据根与系数的关系,有

由于P、Q在直线上，可记为：
由OP⊥OQ得：
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, (a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,
所以由│PQ│＝4得：
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.
故所求双曲线的方程x2－y2/3＝1
解法二:④式以上同解法一.
解方程式③得　　　　　　④
由于P、Q在直线上，可记为：
由OP⊥OQ得：　　　　　　　　　　⑤
将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.
由│PQ│＝4得：即 (x2-x1)2=10.　　　⑥
将④式代入⑥式并整理得 (5b2-3a2)2-16a2b4=0.将b2=3a2代入上式,得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为：x2－y2/3＝1 。