二次插值法无约束最优化.doc

Matlab实践
1、 二次插值法无约束最优化
算法说明：在包含f（x）极小值x0的区间【a b】，给定三点x1、x2、x3，其对应的函数值分别为f1、f2、f3，且满足x1<x2<x3。可以构造二次函数q（x），使其在三点处的函数值等于f（x）对应的函数值。可以根据q’（x）=0，求得该二项式取最小值时的点x0，如下所示：

根据求出x0的大小情况确定取代三点中的某一点，直到|x3-x1|<ε1,|f3-f1|<ε2时停止迭代，并令x0为对应最小值的点。
算法步骤：
步骤一：比较x0和x2的大小，如果x0>x2，转步骤二；否则转步骤三；
步骤二：如果f0<f2，则令x1<=x2，x2<=x0，转步骤四；否则令x3<=x0，转步骤四；
步骤三：如果f0<f2，则令x2<=x0，x3<=x2，转步骤四；否则令x1<=x0，转步骤四；
步骤四：区间收缩完毕，在新的[x1，x2]内计算x0。
流程图：
|x00（1）-x00（3）|<xw或者|f00（1）-f00（3）|<fw?
开始
|x00（1）-x00（3）|<xw或者|f0-f00（2）|<fw?
输入原函数f，搜索区间x，允许误差xw，fw。
x0>x00（2）？
f0<f00（2）？
f0<f00（2）？
结束
输出x0，f0
在x内确定初始的三个值x00，f00=f(x00)
计算x0，f0

x00（1）=x00（2）
x00（2）=x0

x00（3）=x0

f00=f（x00），计算x0，f0

x00（1）=x0

x00（3）=x00（2）
x00（2）=x0

是
否
是
是
是
否
否

否
输出“搜索区间太小”
是

算法举例：
f（x）=（x2-2）2/2-1，x∈[0,5]

2、拉压杆系的静不定问题。求各杆的轴力Ni及节点C的位移，已知桁架结构如图所示，各杆横截面积分别为Ai，材料的弹性模量为E。

算法说明：假设各杆均受拉力，C点因各杆变形而引起的x方向位移△x，y方向位移△y，由几何关系，的变形方程：
i=1，……，n
令Ki=，
故，
再加上平面共点力系的两个平衡方程

共有n+2个方程，其中包括n个轴力和两个待求位移△x，△y，方程组可解。
线性方程组，可用矩阵除法直接解出。
流程图：
开始
输入外力P，外力方向角a，各杆杨氏模量E，杆1的初始长度l1
输入各杆的方向角ai和横截面积si
计算各杆原长度li=l1*cos(ai(1))./cos(ai)，
计算各杆的刚度的倒数ki=li./E./si
构建部分矩阵系数m=[cos(ai);sin(ai)]
构建矩阵系数n=[m,zeros(2);diag(ki),-1*m']，
k=length(ai)，构建结果向量t=[p*cos(a),p*sin(a),zeros(1,k)]
输出包含未知轴力Ni和节点C位移△x、△y的X
结束
计算未知数
X=n\t'

算法举例：
P=1000，a=pi/2，l1=0.5，a1=pi/4，a2=pi/2，a3=3pi/4，s1=s2=s3=1e-3，E=100e9，
求Ni，△x，△y。
容易算出
2.92893218813452e002
5.85786437626905 e002
dx =0
dy== 2.071067811865475e-006