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中南民族大学硕士研究生无线通信课

2014—2015学年第一学期
课程论文（实践报告）

m序列及其在通信中的应用

课程名称： 数 字 通 信
学 院： 电子与信息工程学院
学生姓名： 高云飞
专 业： 电子与通信工程
学 号： 2014120219
任课教师： 陈 少 平 老 师

m序列及其在通信中的应用

m序列又叫做伪随机序列、伪噪声(PN)码或伪随机码。可以预先确定并且可以重复实现的序列称为确定序列;既不能预先确定又不能重复实现的序列称为随机序列。m序列是目前广泛应用的一种伪随机序列,其在通信领域有着广泛的应用,如扩频通信,卫星通信的码分多址,数字数据中的加密、加扰、同步、误码率测量等领域。主要应用于通信领域中的扩频和加密。频谱的展宽是通过将待传送的信息数据被高速率的伪随机序列(也称扩频序列)调制来实现的,在接收端采用相同的扩频码进行解扩。加密则是利用m序列使信号在携带原始信息的同时具有伪噪声的特点,以达到在信号传输的过程中隐藏信息的目的。

1、m序列的产生
m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称,它是最常用的一种伪随机序列。由n级串接的移位寄存器和反馈逻辑线路可组成动态移位寄存器,带线性反馈逻辑的移位寄存器设定初始状态后,在时钟触发下,每次移位后各级寄存器状态会发生变化。其中任何一级寄存器的输出,随着时钟节拍的推移都会产生一个序列,该序列称为移位寄存器序列。以图1所示的4级移位寄存器为例。

图中线性反馈逻辑服从以下递归关系式:an= an-4 an-3即第3级与第4级输出的模2和运算结果反馈到第一级去。假设这4级移位寄存器的初始状态为0001,即第4级为1状态,其余3级均为0状态。随着移位时钟节拍,各级移位寄存器的状态转移流程如表所示。由表1可以看出,对于n=4的移位寄存器共有2^4-1=15种不同的状态。上述序列中出现了除全0以外的所有状态,因此是可能得到的最长周期的序列。只要移位寄存器的初始状态不是全0,就能得到周期长度为15的序列。
利用matlab可以生成如下m序列
X1=1;X2=0;X3=1;X4=0; %移位寄存器输入Xi初T态（0101）， Yi为移位寄存器各级输出 m=60; %置M序列总长度
for i=1:m
Y4=X4; Y3=X3; Y2=X2; Y1=X1;
X4=Y3; X3=Y2; X2=Y1;
X1=xor(Y3,Y4); %异或运算
if Y4==0 U(i)=-1;
else U(i)=Y4;
end
end
M=U
%绘图
i1=i k=1:1:i1;
plot(k,U,k,U,'rx')
xlabel('k')
ylabel('M序列')
title('移位寄存器产生的M序列')

M = Columns 1 through 19
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1
Columns 20 through 38
1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1
Columns 39 through 57
-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
Columns 58 through 60
-1 1 1
i1 =60

将上例中的线性反馈逻辑改为:
an等于an-2与an-4的异或运算，则对应的4级移位寄存器如图2所示

如果4级移位寄存器的初始状态仍为0001,可得末级输出序列为:a(n4)=000101其周期为6。如果将初始状态改为1011,输出序列是周期为3的循环序列,即:an-4=011当初始状态为1111时,输出序列是周期为6的循环序列,其中一个周期为:an-4=111100不同的输出序列说明,n级线性反馈移位寄存器的输出序列是一个周期序列,其周期长短由移位寄存器的级数、线性反馈逻辑和初始状态决定。但在产生最长线性反馈移位寄存器序列时,只要初始状态非全0即可,关键要有合适的线性反馈逻辑。n级线性反馈移位寄存器如图3所示。

图3中:Ci表示反馈线的两种可能连接状态,Ci=1表示连接线通,第n-i级输出加入反馈中;Ci=0表示连接线断开,第n-i级输出未参加反馈。
一般形式的线性反馈逻辑表达式为:
an= C1*a(n-1)+C2*a(n-2)+…+Cn*a0=Ci*a(n-i) (mod 2)(i=1、2、3、4……n)
将等式左边的an移至右边,并将an= C0*an(C0=1)代入上式,则上式可改写为:
0=Ci*a(n-i)定义一个与上式相对应的多项式:F(x) =Ci*xi(i取值1到n)
其中:x的幂次表示元素相应位置。式F(x)称为线性反馈移位寄存器的特征多项式,特征多项式与输出序列的周期有密切关系。

1.2 m序列的本原多项式

当F(x)满足下列三个条件时,就一定能产生m序列:
(1)F(x)是不可约的,即不能再分解因式。
(2)F(x)可整除xp+1,这里p=2n-1。
(3)F(x)不能整除xq+1,这里q<p,即F(x)不能是xq+1的一个因式。
满足上述条件的多项式称为本原多项式。
例如4级移位寄存器产生m序列,m=24-1=15。
将x^15+1因式分解:
x^15+1= (x^4+x+1)(x^4+x^3+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2+x+1)(x+1)式中:次数为4的有3项,但(x^4+x^3+x^2+x+1)是x5+1的因式,不算本原多项式。本原多项式只有两项,(x^4+x+1)和(x^4+x^3+1)。只要找到本原多项式,就能够由它构成m序列发生器。如果在设计中不方便查找本原多项式表,可以根据下面的几条语句来实现。
n=3;
x=gfprimfd(n,′all′) %求出n=3的所有本原多项式的系数序列,对变量x是升序
for i=1:size(x); %将系数序列写成解析式,循环语句是依次写出所有的本原多项式
gfpretty(x(i,:));
end
x=1 1 0 1
1 0 1 1
1+X+X^3
1+X^2+X^3
x=
1 1 0 0 1
1 0 0 1 1
1+X+X^4
1+X^3+X^4
经过验证所得的本原多项式正确。另外,需要说明的是对于不同的n,可能会得到一个或者多个本原多项式,为了在实际应用中m序列发生器尽量简单,通常选用只有三项的本原多式。

1.3、m序列的性质

m序列有如下性质:
(1)由n级移位寄存器产生的m序列,其周期为2n-1。
(2)除全0状态外,n级移位寄存器可能出现的各种不同状态都在m序列的一个周期内出现,而且只出现一次。因此,m序列中1和0的出现概率大致相同,1码只比0码多1个。
(3)在一个序列中连续出现的相同码称为一个游程,连码的个数称为游程的长度。m序列中共有2n-1个游程,其中长度为1的游程占1/2,长度为2的游程占1/4,长度为3的游程占1/8,以此类推,长度为k的游程占2-k。其中最长的游程是n个连1码,次长的游程是n-1个连0码。

2、m序列的应用
2.1在扩频通信中的应用

2.1.1 扩频通信简介

扩频通信是近年发展非常迅速的一种技术,它与光纤通信、卫星通信,一同被誉为进入信息时代的三大高技术通信传输方式。它不仅在军事通信中发挥出了不可取代的优势,而且广泛地渗透到了社会的各个领域,如通信、遥测、监控、报警和导航等。图4是信号在接收端解扩前后信噪比情况,由此可以看出扩频通信的抗干扰能力强,误码率低。另外,扩频通信还具有隐蔽性好、频率利用率高、易于数字化等特点。

2.1.2 m序列在扩频通信中应用

在扩频通信中通常的做法是用一扩频序列与信号相乘从而得到频谱的扩展或压缩,因而扩频序列的性能直接决定着通信质量。伪随机序列中的m序列最常用作扩频序列。之所以采用m序列作为扩频码,是因为其具有良好的自相关性。对于一个周期为P=2n-1的m序列{an}(an取值1或0),其自相关函数如下式所示,令P=A+D=2n-1:R(τ) =A-DA+其中:A为“0”的位数;D为“1”的位数,则:R(τ) =1,τ=0-1/P,τ≠0依据公式画图,由图5可见,当τ=0时,m序列的自相关函数Rα(τ)出现峰值1;当τ偏离0时,相关函数曲线很快下降;当1≤τ≤P-1时,相关函数值为-1/P;当τ=P时,又出现峰值;如此周而复始。当周期P很大时,m序列的自相关函数与白噪声类似。这一特性很重要,除了应用于扩频,在相关检测中也有应用,利用“有”或“无”信号相关函数值的基础上识别信号,检测自相关函数值为1的码序列。

2.2、在通信加密中的应用
数字通信的一个重要优点就是容易做到加密,在这方面m序列应用也很多。数字加密的基本原理如图6(a)所示。这种加密的序列在信道中传输,被他人窃听时不能理解其中的内容,达到保密目的。设信源发出的序列X为1100001011;m序列为1011010011。模二加运算得到的序列为Z。假设信道传输中没有发生误码,序列Z到达接收端再与m序列进行模二加运算,即可恢复原信息X。上述过程如图6(b)所示。

3、结语
m序列是目前应用广泛的一种伪随机序列。本文详细地介绍了其产生方法,并通过举例说明其产生的关键。分析了它在扩频和通信加密中的应用,以公式和图示的方式验证了其正性。