页码问题三种题型解析.docx

页码问题主要有三种题型：
一、一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；比如126页,1994页
方法一：
个位：1—9 ：只有9个数字；
10位：10—99 ：是90×2 =180个数字
百位：100—999，是900×3=2700个数字；
如果页数超过1000页（1994页），数字总数就是
总数字=9+180+2700+（1994-1000+1）×4
=2889+3980
=6869字
如果页数大于100，但小于1000（126页），数字总数就是
总数字=9+180+（126-100+1）×3
=189+81
=270
方法二：
假设这个页数是X页：因为每个页码都有个位数（比如第5的个位数是5, 第56页的个位数是6,第389的个位数是9，第1273的个位数是3），所以总计个位数的数字有X个。
在十位数上，除了（1,2,34,5,6,7,8,9）外，每个数字都有十位数，（比如第10页的十位数是1,第56的的十位数是5，第389的十位数是8，第1273的十位数是7），因此总计十位数的数字有X-9个；
同理，在百位上，总计百位的数字数量就是有X-99个；
计算公式就是X+（X-9）+（X-99）+（X-999）……
如果页数超过1000页（1994页），数字总数就是
总数字=1994+（1994-9）+（1994-99）+（1994-999）
=1994×4-（10+100+1000-3）
=7976-1107
=6869字
如果页数大于100，但小于1000（126页），数字总数就是
总数字=126+（126-9）+（126-99）
=126×3-（10+100-2）
=378-108
=270字
反之，如果知道一本书有多少个字，比如270字，或者6869字，问有多少页，最简便的方法是如果字数小于2889（9+180+2700），也就是说页数在1000页以内的，按以下规则：
总字数= X+（X-9）+（X-99）
总字数= 3X-108
页数X=总字数÷3+36，或者X=（总字数+108）÷3
如果是4位数，那么就是以下规则。
总字数=X+（X-9）+（X-99）+（X-999）
总字数=4X-1107
页数X=（总字数+1107）÷4
二、已知一本X页的书中，求某个数字出现多少次；以5为例
个位数出现次数：每10个数里的个位上有一个5，个数就有X÷10个。（每10个数里，必然是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0各出现一次）
十位数出现次数：每100个数里的十位上有10个5，分别是50,51……,59，共有(X÷100) ×10个
百位数出现次数：每1000个数里的百位上有100个5，分别是500,501,502,……,599，共有(X÷1000) ×100

比如：问320页书，数字4共出现多少次？
先算300页有几个数字4，再算20页有几个数字4，两者相加。
个位4的数量=300÷10=30个
十位4的数量=（300÷100）×10=30个
20页共有2个4，分别是4，14，因此
总的数量=30+30+2=62个

比如：问408页书，数字2共出现多少次？
先算400页有几个数字2，再算8页有几个数字2，两者相加
个位2的数量=400÷10=40个
十位2的数量=（400÷100）×10=40个
百位400大于200，共有100个数字2；
8页有1个数字2
总的数量=40+40+100+1=181个

，每一千个数里的百位上会有300到399，100个3所以(5000/1000)乘100=500个3，在千位上的3就有3000到3999，1000个3，所以500+500+500+1000=2500个3
5.一本书有4000 页，问数字1 在这本书里出现了多少次？
解析：我们看4000分为千，百，十，个四个数字位置
千位是1 的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0--9 共计10个数字。就是10*10*10=1000
百位是1 的情况，千位是（0 , 1 , 2 , 3 ) 4个数字可以选择。十位，个位还是0--9，10个数字可以选择即4*l0*10=400
十位和个位都跟百位一样。那么答案就是1000+400*3=2200
总结：因为在页码1-99 中，l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 均会出现20 次；在页码100-999 中，l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 均会出现20*9+100次。
上面两题均可以用公式,关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10 乘以（数字位-1 )，再加上10 的（数字位数-l）次方。
如三位数：总页数的1 / 10 乘以（3 -l ) + 10 的（3-1) 次方
四位数：总页数的l / 10 乘以（4 -l ) + 10 的（4-l) 次方
那么第4题： (5000/10)*3+1000=2500；
第5题：(4000/10)*3+1000=2200

三、已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页
3 ．王先生在编一本书，其页数需要用6869 个字，问这本书具体是多少页？
A.1999  B.9999  C.1994  D.1995
方法一：假设这个页数是A页，A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869 ，求出A=1994
方法二：6869>2889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添0补足4位，l , 2 , 3 , … 9 记为0001 , 0002 , 0003 , ..0009 这样增加了3 * 9 = 27 个0，10 , 11 , 12 , … 99 记为0010 , 0011 , 0012 ，..0099 增加了180 个0，100 , 101 ，… 999 记为0100 , 0101 ，… 0999 增加了900 个0，(6869+27+180+900)/4 =1994
总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，N<2889时，用公式：N/3+36；N>2889时,用添加0计算。
6．在1-5000页中，含3的页数有是多少？
在页码1-99中，数字3出现了20次，即有19个含3的页码(33页要去掉一次）；在页码100-999 中，分两种情况考虑：（1）首位数字是3 ，那么，后面两位就不用管了，一共有含3的页码100页；（2）首位数字不是3，那么必须考虑后两位数字含3，而前面知道，1-99中，有19个含3的页码，由于首位数字这时有l 、2 、4 、5 、6 、7 、8 、9 这么8种可能性，所以应该是19 * 8个含3的页码。
本题，在1-999中，含3的页码一共19+19*8+100=19*9+100页；再引申到1000-5000，也分两种情况：( l ) 千位是3，则有1000页：( 2 ）千位不是3，则只可能是l 、2 、4 ，只考虑后3位，有（19*9+l00)*3 个含3 的页码。所以，合计是：19 * 9 + 100 + ( 19 * 9 + 100 ) * 3 + 1000 =2084 页
7. 99999 中含有多少个带9 的页面？
答案是40951，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式:
[ (19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951
规律很简单：19*9+100，代表l-999里含l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数；
(19*9+100)*9+1000，代表1-9999 里含l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数；
[ (19*9+100)*9+1000]*9+10000，代表l-99999 里含l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数。
2位数是19页，然后每多一位数就乘以9，再加上10的N次方，N=位数减1。
8.一本300页的书中含“l”的有多少页？
19*2+100=138页
9．将所有自然数，从1 开始一次写下去得到
12345678910111213… … ，试确定第206786 个位置上出现的数字？
A.3  B.0    C.7    D.4
解析：
方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位数了。
l , 2 , 3 , … 9 记位00001 , 00002 , 00003 , ..00009 这样增加了4 * 9 = 36 个0
10 , 11 , 12 , … 99 记为00010 , 00011 , 00012 ，..00099 增加了270 个0
100 , 101 ，… 999 记为00100 ,00101 ，… 00999 增加了1800 个0
1000,1001，，… ,9999记为01000 ,01010 ，… 09999 增加9000 个0
(206786+36+270+1800+9000)/5 =217892/5=43578余2,
说明206788 位置上的数就是第43579 的第2个数字3
方法二设有A页，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=206788
5A-(9+99+999+9999)=206786
A=43578余数是2
说明206786 位置上的数就是第43579 的第2个数字3
10、 一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？
解析：共有1989/3+36=699 页。
即出现：(700/10)*(3-1)+100=240次
11.印刷一本书用了1992个数字，在这本书中出现数字2的页码有多少页？  
A.214  B.226  C.230  D.240   
解析：有1992/3+36=664+36=700页，含有数字2的页码：6*19+100=214选A