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利用集合的包含关系解题
张振华 潘美芬

集合的包含关系是一重要知识点和高考考查点，它在题目中或明或暗，特别是“暗”（综合型题目）的。如果你对集合的包含关系没有一个深刻的认识与理解，往往就很难捕捉到，也就很难解决问题。如何准确把握与深入挖掘这一关系，利用这一关系解题呢？
例1. （2005年全国卷III第22题）
已知函数
（I）求的单调区间和值域；
（II）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围。
解析：（I）利用导数法易得在上是减函数，在上是增函数，所以的值域为。
（II）因为
所以时，是减函数
所以
而
即当时，有
对于任意，总存在
使得
则
所以且
解得
点评：关键是把“若对于任意……成立”转化为“”这种集合的包含关系。

例2. 已知不等式（1）和不等式（2），若满足（2）的x值也满足（1），求a的取值范围。
解析：设不等式（1）、（2）的解集分别为A、B，则由题意知，且。这相当于方程的两异根在区间（1，3）内，其充要条件为：

且
且
由此可得
变式：已知不等式和不等式的解集分别为A、B，若，求a的取值范围。
解析：当时，有，得，此时，
当时，同例2，可得
综上，所求a值范围为

例3. 已知p：，若的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。
解析：

因为的必要而不充分条件
所以其等价命题为：p是q的充分而不必要条件
即若设，
则
所以，且
求得。
集合与三角、函数、不等式、解析几何等知识结合，形成多知识点的综合型问题，符合“考纲”在知识交汇点处命题的指导思想，其解题的关键在于灵活运用有关知识，特别是捕捉到集合的包含关系，居高临下解决问题。

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