2015版 线性代数 第一章 行列式 答案.doc

第一章 行列式
第一节 数域与排列 第二节 行列式定义
一、 填空
1.（1）0；（2）5；（3）；（4）；（5）
3.和； （由n阶行列式的定义）
4. 正 （，注意将行标写为标准次序）；
5. ； 6. （将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）；
7. （只有主对角线上的元素相乘为）； 8. ；
9. ； （提示：一元次方程个根之和为次项的系数，本题次项为，其系数为0，也即，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）；
10.
二、1. （直接利用对角线法则，也可用性质计算）；
2. （按n阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 ）。

第三节 行列式的性质 第四节 行列式按行（列）展开
一、1. A（B,C,D为充分条件）； 2 . C（由教材P23定理1.4.1可得）； 3. C；
4. A（）
二、1、（各列都加到第一列则第一列元素全为0） ；
2、；
（,而,每行提公因子）；
3、（由n阶行列式的定义）；
4、（）；
5、， （）；
6. ，（，可解得）。

第五节 克拉默法则
一、 D （A,B,C充分非必要）
二、
提示：所需计算的5个行列式恰好都是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式计算可得，系数行列式，另
所以，
三、且
提示：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式，即
，解得。
四、
解法一：（高数）点法式方程
法向量
解法二：设平面方程为 ，且平面过点
则有：
方程组有非零解系数行列式等于零
即

故得，平面方程为
综合题
一、1、C、（B应为正，D应为负）
2、B、（第二列加第一列，再第三列加第二列；第二列提公因子2，第三列提公因子3；交换一、三行）
3、B、（即）
4、A（元素-3的代数余子式为）
二、1、 和 ；（由n阶行列式的定义）
2、，；
提示：第一、三行，
3、；（将做逐行互换得到，共做次相邻的行互换）
4、；（提示：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式）
5、；（将D的最后一行换为-1,1，-1,1；注意余子式与代数余子式的关系）
6、；（出现的项有两个，系数分别是1和-2）
7、（提出第二列公因子）；（每行提公因子）；
（拆分第二列；或；第一列提公因子，第二列提公因子。）；
8、 （展开有）
三、1、； （提示：n阶行列式定义）
2、； （提示：n阶行列式定义）
3、；
(提示：（1）定理
（2）
)
4、；（提示：先按第一列拆分、再按第三列拆分或）

注：由于技术原因，本章出现的符号应为 ，请注意！
5、160；

6、； (展开降阶)

7、0；

8、； （由n阶行列式的定义）
9、；（参考教材P19例1.3.4）
10、（1）当时，
（2）当时，由得第二行与第三行对应成比例，所以.
11、 (利用性质和按行（列）展开直接计算可得)
12、
(提示：类例1.6.2，例1.6.3)
(按第一行展开)
四、错。 正确答案为
五、；（第一行元素与第三行元素的代数余子式乘积之和为0）
六、提示：系数行列式 ，得只有零解。
七、1、提示：利用加边法，得到范德蒙德行列式。
一方面，，而所求四阶行列式为元的余子式。另一方面，由范德蒙行列式知， ，整理成的多项式。比较的系数即得所求四阶行列式。
2.（课本例1.4.2）

八、解：；（定理）
另：法1：按最后一行展开。法二：第一行加最后一行的-1倍，再将第一列加到最后一列。方法有很多，自己总结。
九、解：

或者：
。
十、
提示：