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,*,正弦定理,第1页,5.9 正弦定理、余弦定理,回想一下直角三角形边角关系?,A,B,C,c,b,a,两等式间有联络吗？,这就是我们今天要学习,正弦定理,，实际上定理对,任意三角形均成立,下面我们来证实正弦定理对任意三角形均成立。,一、,复习与引入,第2页,方法一,：设三角形,ABC,外接圆圆心为,O,，,则如图所表示，,=2R,同理,:,=2R,即,:,连,CO,交圆与,D,，连,BD.,二、正弦定理证实,第3页,方法二,：,用向量知识证实正弦定理,向量数量积定义,中,两向量夹角是余弦关系而非正弦关系，这二者,之间能否转化呢？,可用由诱导公式：,sin=cos(90,),转化。,这一转化产生了新角,90,，为了方便证实，,就需要添加垂直于三角形一边单位向量,j,。,j,A,C,B,这时,j,与 垂直，,j,与 夹角为,90,A,，,j,与 夹角为,90,C,，,这就为结构,j,与 数,量积打下了基础,.,(,图中三角形为锐角三角形,),AC,第4页,1,、在锐角三角形中证实 正弦定理,则有,j,与 夹角为 ，,j,与,夹角为 .由向量加法可知：,怎样建立三角形中边和角间关系？,即,同理，过,C,作单位向量,j,垂直于 ，可得,在锐角 中，,过,A,作单位向量,j,垂直于 ，,j,A,C,B,b,a,c,第5页,2,、在钝角三角形中证实正弦定理,则有,j,与 夹角为 ，,j,与,夹角为 .又向量加法,可知,：,一样可证得：,在钝角 中，不妨设,A,为钝角，,过,A,作单位向量,j,垂直于 ，,j,A,C,B,a,c,b,即,同理，过,C,作单位向量,j,垂直于 ，可得,第6页,三、正弦定理及应用,正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角正弦比,相等，即,正弦定理能够解什么类型三角形问题？,2,、已知,两边,和其中,一边对角,，能够求出三角形其它边和角。,其中,R,为三角形外接圆半径,1,、已知,两角,和,任意一边,，能够求出其它两边,和一角。,第7页,三、,正弦定理应用,例题讲解,例,1,在 中，已知 ，求,b,（,保,留两个有效数字）.,解：且,第8页,例在,ABC,中，已知,a20，b28，A40，,求,B（,准确到1）和,c（,保留两个有效数字）。,解：,B,1,64，B,2,116，,当,B,1,64,时，,C,1,180（B,1,A）,180（6440）76,当,B,2,116,时，,C,2,180（B,2,A）,180（11640）24,第9页,例在,ABC,中，已知,a60，b50，A38，,求,B（,准确到1）和,c（,保留两个有效数字）。,解：已知,ba，,所以,BA，,所以,B,也是锐角。,B31,C180（AB）180（3831）,111,三、,正弦定理应用,第10页,四、练习,练习：,（,1,）在 中，一定成立等式是（,）,C,（2）在 中，若 ，则 是(),A,等腰三角形,B,等腰直角三角形,C,直角三角形,D,等边三有形,D,（,3,）在任一 中，求证：,第11页,五、小结,1,、正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角正弦比,相等，即,2,、正弦定理能解什么类型三角形问题,。,谢谢！再见！,第12页,
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