初三数学平行四边形导学案.doc

第19章 四边形
第1课时——平行四边形及性质（1）
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、掌握平行四边形的概念和对边相等对角相等的性质，根据概念和性质进行有关的计算和证明.
2、让学生学会用分析法和综合法解决问题
【重点难点】
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：平行四边形的概念；平行四边形边、角性质的证明过程中蕴含的基本思想方法
学习过程：
一、复习导入
平行四边形的定义：
的四边形叫做平行四边形。
记作：，连AC和BD，则AC，BD叫四边形的对角线
二、探究新知
通过观察或者度量填写下列空格
1.平行四边形的性质1:
边的性质:AB‖ ; BC‖
AB= ; BC=
即:平行四边形对边平行且 。
2.平行四边形的性质2: 角的性质:∠A= ,∠B=
即:平行四边形对角 。
3．小结：平行四边形的性质：用几何语言描述平行四边形的性质，

①∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥ ，AD∥
AB = ， AD =
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠
4．例题：例1：如图，在中，已知∠B＝40，求其他各个内角的度数。

解：∵在中，∠B＝40
∴∠ =∠B＝40（平行四边形对角 ）
∵AD∥ (平行四边形 )
∴∠A+∠ =
∴∠A=
∴∠ =∠A= (平行四边形 )
答：其他各个内角分别为 、 、 和 。
D
A
例2：如图：小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中AB边长为8cm，其他三条边的长各是多少？
C
∵在中，
∴CD=AB= ，AD= （平行四边形 ）
C
B

∵的周长是24，
AB＋ ＋ ＋ =24
∴
答：其余三条边的长分别为 、 和 。
5．跟踪练习：如图，在 ABCD中，根据已知你能得到哪些结论？为什么？
D
8
A

C
B

60°

10

【课堂练习】
1、如图，在 ABCD中，AB=3㎝，AD=5㎝，
∠A=43°,∠B=137°,
则DC= ，AD= ∠C= ,∠D= .
2、在▱ABCD中∠A=50°
则∠B= ，∠C= ，∠D= .
3、如图，已知在中，AB=5，BC=3，则它的周长是 。
4．在中，AB=4cm，BC=5cm，∠B=30o,则的面积为_______
5.已知的周长是50cm，并且AB=AD。则AB的长度是（ ）
A.15cm B.12cm C.10cm D.25cm
6、如图，在 ABCD中，已知AD=10，周长等于36，求其余三条边的长。
解：∵在中，

7、如图，在中，若，求和的度数。

8.如图，已知，交于，交的延长线于，
且，求的度数。

反思：

第2课时——平行四边形的性质（2）
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1. 探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。
2. 会运用平行四边形的性质进行推理和计算。
【重点难点】
重点：会用平行四边形的性质解决简单问题，并能进行有关的论证．
难点：培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
一、学前准备
复习导入
平行四边形的定义： 的四边形叫做平行四边形。
平行四边形对边平行且 ；
平行四边形对角 。
二、探究新知
通过观察或者度量填写下列空格
1.平行四边形的性质3：对角线的性质
已知：如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O
求证：OA=OC，OB=OD
证明: ∵▱ABCD是平行四边形
∴ ‖ ; = ;
∴∠ =∠ ，
在△ 和△ 中，

∴△ ≌△
∴

即平行四边形的对角线互相平分。
用几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO= = ，
BO= = ，
2．例题：在中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及的面积。

【课堂练习】
1、如图，已知AB=5㎝，AD=8㎝，AC=6㎝， BD=12㎝，则AO= = ㎝，BO= = ㎝，△AOB的周长是 ㎝

2.平行四边形的对角线把平行四边形分成了 对全等的三角形。

3.在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段。

4．如图，在中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为20，AB=8，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：∵△AOB的周长为20（已知）
∴ ＋ ＋AB=20，

∵AB=8
∴AO＋BO=
∵在中，
∴AO = = ，，BO= = ，（平行四边形对角线 ）
∴AC＋BD = 2 +2 =2( )=
国王听说阿凡提非常聪明，召他进宫，说，我有一块平行四边形的花园（如上图），想在里面种四种不同的花，并且所占的面积一样，你给我设计几个方案.

答：对角线AC和BD的和是 。

5解答题：

（六）反思

第3课时—— 平行四边形的判定（1）
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、明确平行四边形的判定方法。
2、能运用平行四边形的判定，解决简单的实际问题。
【重点难点】
重点：平行四边形的判定方法。
难点：平行四边形的判定条件和方法的寻找。
一、复习导入
1、平行四边形的定义：
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。
-------定义就是平行四边形的一种判定方法
用几何语言表示：∵_________//___________
_________//____________
∴四边形ABCD是____________
2、平行四边形的性质：
（1）边的性质：平行四边形的对边 ；
几何语言：在中，AD BC，AB DC；
（2）角的性质：平行四边形的对角 ；
几何语言：在中，∠A= ，∠B= ；
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线 ；
几何语言：在中，OA= = ；OB= = ；
二、探究新知：
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形 A D
证明：连结AC，
在∴△ABC和△CDA中
B C

∴△ABC≌△CDA（ ）
∴∠ =∠ ，∠ =∠ （ ）
∴ ∥ ， ∥ （ ）
∴四边形ABCD是平行四边形
归纳：判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵_________=___________
_________=____________
∴四边形ABCD是____________
2、类似地，我们还可以得出几个平行四边形的判定定理：
判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵∠_________=∠___________
∠_________=∠____________
∴四边形ABCD是____________
判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵_________＝___________
_________=____________
∴四边形ABCD是____________
例3：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点 E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形

【课堂练习】
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
例3变式（1）若E、F移至OA、OC的延长线上，且AE=CF，结论有改变吗？为什么？

变式1图

反思：
变式（2）若E、F、G、H分别为AO、CO、BO、DO的中点，四边形EGFH为平行四边形吗？为什么？

变式2图

变式（3）若变式（2）件成立，那么EF、GH有什么位置关系？

变式（4）上题中，以图中的顶点为顶点，尽可能多地画出平行四边形

第4课时——平行四边形的判定（2）
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、明确平行四边形的判定方法。
2、能运用平行四边形的判定，解决简单的实际问题。
3. 学习“平行线间的距离”，会用该结论解决相关面积问题；
【重点难点】
重点：平行四边形的判定方法。
难点：平行四边形的判定条件和方法的寻找。
一、复习导入 平行四边形的判定方法：
1．（定义法）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4．对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、探究新知
1、判定定理四：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
用几何语言表示：∵_________//___________
_________=____________
∴四边形ABCD是____________
2．例：如图，在 ABCD中，E、F分别是对边BC和AD上的两点，且AF＝CE，
求证：四边形AECF为平行四边形。

3．按要求画图：
（1） 在直线AB上任取两点E、M；
（2） 过点E作EF⊥CD于F；过点M作MN⊥CD于N
（4）观察并猜想：线段EF和MN有什么关系。
（5）再画一条垂线段，那么它与线段EF和MN有什么关系，
如果是画无数条垂线段，你的结论会改变吗？为什么？
4．平行线的性质：平行线之间的 。
5、应用：在中，点E、F分别是AD上两点，判断△EBC与△FBC的面积关系？
解：过点E作EH⊥BC于H，过点F作FG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是
∴AD∥
∴EH FG（ ）
∵△EBC的面积=
△FBC的面积=
∴△EBC的面积 △FBC的面积
【课堂练习】
1．如图，∥，点A、B、C在上，且AB=BC，
点D、E在上，则△ABD的面积 △BCE的面积。
（填“>”、“<”或“=”）
2、如图，在平行四边形ABCD中，已知M和N分别是AB和DC上的中点，
求证：四边形BNDM是平行四边形。
证明：

3、如图，已知A、B、E在同一条直线上，AB=DC，∠C=∠CBE，
四边形ABCD是平行四边形吗？说明理由。
证明：

反思

第5课时——平行四边形的判定练习
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
能熟练运用平行四边形的五种判定方法。
一、复习导入
已知四边形ABCD，
①若AB= ，BC= ，则四边形ABCD为平行四边形，
②若AB∥ ，BC∥ ，则四边形ABCD为平行四边形，
③若 ∥ ， = ，则四边形ABCD为平行四边形，
④若∠A= ，∠B= ，则四边形ABCD为平行四边形，
⑤如图，对角线AC、BD相交于点O，若AO= ， BO= ，则四边形ABCD为平行四边形，
二、讲授新课
例：如图，在平行四边形ABCD中，已知∠BAE＝∠FCD，
求证：（1）∠FAE＝∠FCE，∠AFC＝∠AEC
（2）四边形AECF为平行四边形

【课堂练习】
1、下列说法正确吗?
（1）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形( )
（2）有两个角相等的四边形是平行四边形( )
（3）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形( )
（4）有两条边相等的四边形是平行四边形( )

2、如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD的角平分线，求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：

3、如图，ABCD中，AF＝CH， DE＝BG，
求证： EG和HF互相平分．
证明：

4、如图，ABCD中，点E、F分别是边AB、DC的中点，
求证： EF=BC

5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O, E、 F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF, BG=DH
求证：四边形EGFH是平行四边形

6、已知：如图，在平行四边形ABCD中， E，F分别是AB，CD上的两点，且AE=CF，求证：BD，EF互相平分.

反思

第6课时——三角形中位线
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1．掌握中位线的概念和三角形中位线定理。
2． 能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算。
【重点难点】

重点：三角形中位线定理及应用。
难点：三角形中位线定理的证明。
一、复习导入
1．平行四边形的性质：
2．平行四边形的判定：
二、讲授新课
1、例1：如图，点D、E分别是的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC , 且DE=BC.
（提示：添加辅助线，通过三角形全等，把要证明的问题转化到一个平行四边形中，然后利用平行四边形的性质使问题得以解决。）（观察右边两个图形，选择其中一个图形写出证明过程）
证明：

2、知识归纳：
①三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线．
②三角形中位线定理：三角形中位线______于三角形第三边，且等于它的_____．
③请在图1中画出△ABC的中位线，在图2中画出△ABC的中线

图2
图1

回答：一个三角形有______条中位线，中位线和三角形的中线有什么区别吗？

例 2 ：．已知：如图在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
（提示：添加辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，并利用三角形中位线解决问题。）
证明：

归纳：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形
【课堂练习】 　
1、如图1，DE是的中位线，若BC=12,则DE= .
2、如图2，在中，∠B=，DE分别是AB、AC的中点，DE=4，AC=9，则AB= .
图3
图1
3、如图3，在中，点D、E、F分别是边AB，BC，AC的中点，若　的周长为24ｃｍ，则 的周长是　　　　ｃｍ．

图2

4、如图，∥BA，∥CB, ∥AC,∠ABC与∠ 有什么关系？
线段 与线段呢？并证明所得的结论.

5、如图，在中，点D在BC上，DC=AC，CEAD于点E，点F是AB的中点.求证：EF∥BC.

4. 如图，已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证：MN∥BC．
（提示：延长AN，AM，证AN=NR，AM=MQ．利用三角形中位线定理可证）．

总结．
1．把握三角形中位线定理的应用时机：
（1）题目的条件中出现两个或两个以上的线段中点；（2）题目的条件中虽然只有一个（线段的）中点，但过这点有直线平行于过中点所属线段端点的直线．
2．利用三角形中位线定理，添加辅助线的方法有：
：
反思：
第7课时——矩形的性质
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、了解矩形与平行四边形的关系；
2、初步认识矩形性质。
3．直角三角形斜边上的中线的性质，并能运用相关性质求解。
【重点难点】
重点：矩形的性质
难点：熟练矩形的性质并利用它的性质解决问题。
一、复习导入：平行四边形的特征
如图，在中，
①∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥ ，AD∥
AB = ， AD =
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠
③∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO= = ， BO= = ，
二、讲授新课：
1、矩形的定义：
矩形
（ ）
平行四边形

2．矩形的性质：（在旁边的空白处画一个矩形并通过观察或度量进行归纳）
（1）边： ；
（2）角： ；
（3）对角线： 。
4、归纳：（几何语言）

平行四边形
矩形
图形

边
AB∥DC，AD∥ ，AB=DC，AD BC
AB∥ ，AD∥ ，AB=DC，AD BC
角

5、矩形是 的平行四边形
对角线

AO=BO= = = =
BO是斜边 上的 线。BO= = =

观察下面三个图形，你能从中看到什么？
6.

结论：直角三角形斜边上的中线等于 的一半。
7、例题：已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长及周长。
解：①∵　四边形ABCD是 形，
∴　AC与BD 且 ．
∴　OA= ．
又 ∠AOB= °，
∴ △OAB是 三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
②∵矩形ABCD ∴AB= = ㎝，
∴∠ =90°，BD= = ㎝ 在Rt⊿ABD中，根据勾股定理，得
AO= = ㎝，BO= = ㎝
∴AO= = ㎝ ∴BC= ㎝，
∵ ∴矩形的周长为：
∴⊿AOB是 三角形， 答：
【课堂练习】
1、矩形不一定具有的性质是（ ）
A、对角线相等 B、四个角相等 C、是轴对称图形 D、对角线互相垂直
2、矩形ABCD的对角线，则另一条对角线。
3、已知矩形ABCD，AC＝8，则BD＝ ，OD＝ 。
A
B
C
D
O
4、已知矩形的周长是24cm，相邻两边之比是，那么这个矩形的边长分别是 。
5、如图，已知矩形ABCD，AC＝4，则BD＝ ，
∠ABC＝ ；若∠ADB＝40°，则∠ACB＝ °,
∠BDC＝ °，∠COD＝ °。

6、如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，，且，
求的度数。

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90，CD为中线，CD=2.5,BC=3
第8课时——矩形的判定
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、 掌握矩形的判定方法。
2、 能运用矩形的判定方法解决有关问题。
【重点难点】
重点：矩形的判定
重点：熟练矩形的判定并利用它的判定解决问题
一、复习导入：
矩形的性质：（1）对边 且 。（2）四个角都是 。
A
B
D
C
（3）对角线 且 。
二、讲授新课：
1、定义：有一个角是 的平行四边形是矩形。
几何语言，如图∵ ABCD中，∠A＝ °，
∴ ABCD是
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：如图∵ ABCD中，______＝_______
∴ ABCD是 。
A
B
D
C
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言：如图 在四边形ABCD中
∵∠ ＝∠ =∠ = °
∴四边形ABCD是 。
小结：判定一个图形是矩形的方法：
（1）平行四边形＋ 矩形
（2）平行四边形＋ 矩形
（3）四边形＋ 矩形

3、 例题 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且
AE＝BF＝CG＝DH．
求证： 四边形EFGH是矩形．
证明：

O
C
D
B
A
【课堂练习】
1、如右图，已知四边形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD＝5cm，
则四边形ABCD是 。理由： 。
2、如图，中，AB=6，BC=8，AC=10，求证：四边形ABCD是矩形

3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD相交于点O，且∠1=∠2，它是一个矩形吗？为什么？

4.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

5．如图，的对角线AC，BD相交于点O，⊿AOB是等边三角形，且AB=4cm,
求的面积（精确到0.01c㎡）

6.已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、Q、M、N，
求证：四边形PQMN是矩形。

反思：

第9课时——菱形的性质
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、了解菱形与平行四边形的关系；
2、初步认识菱形的特征。
【重点难点】
重点：熟练掌握菱形的性质，并能利用性质解决相关问题。
难点：利用菱形的特征解决实际问题。
一、复习导入：复习平行四边形的特征
如图，在中，
①∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥ ，AD∥
AB = ， AD =
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠
③∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO= = ， BO= = ，
二、讲授新课：
1、菱形的定义：
（ ）
菱形
平行四边形

2．菱形的特征：（在旁边的空白处画一个菱形并通过观察或度量进行归纳）
（1）边： ；
（2）角： ；
（3）对角线： 。

平行四边形
菱形
图形

边
AB∥DC，AD∥
AB=DC，AD BC
AB∥ ，AD∥

角

注：菱形是 的平行四边形。

对角线

4、 例题讲解：
例题1：已知菱形ABCD的边长为2cm，，对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的两条对角线AC与BD的长。
解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD，∠ = ∠ =∠ = °
AB= = = =
在Rt⊿ABO中，∠ =90°，∠ =30°
∴ =AB=
在Rt⊿ABO中，根据勾股定理，得
∴B0=
∴AC=2 = ，BD=2 =
A
B
C
D
O
例题2：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，请说明菱形ABCD的面积等于。
解：菱形ABCD
，

= =
试一试：如上图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm、8cm，
则它的周长是 ，面积是
A
D
C
O
B
例3 如图是菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积（结果保留小数点后1位）.

【课堂练习】
1、如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠A=40°，则BC= cm，CD= cm，AD= cm，∠B= °，∠C= °，∠D= °
2、如图菱形ABCD中，AC=8cm，BD=12cm，则AO= = cm， BO= = cm， ∠AOB= °
3、如图在菱形ABCD中，∠BAD=60°，则∠ADC= °，∠DCA= °,∠BAC= °,∠ADB= ,∠CBD= °
A
B
C
D
4、如图，在菱形ABCD中，∠ADO＝50°，则∠DAO＝ °，∠DAB＝ °，∠ABC＝ °。

第1题 第2、3题 第4题

5、如图，在菱形ABCD中，，两条对角线相交于点O，若，，AB= 对角线，则菱形的周长是 ，面积是 。
6、如图，已知菱形ABCD，AB＝5cm，AC＝8 cm，BO＝3 cm，则AO＝ ，BD＝ ，∠BOC＝ ，周长是 ，面积是 。
7、已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC长6cm，则另一条对角线BD长为 cm，菱形的面积为：

第5题 第6题
8、如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm,求
（1）∠BAD,∠ABC的度数。
（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）

11、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形。
解：在菱形ABCD中，∠B＋∠BAD＝ ，（两直线平行， 互补）
又∵∠BAD＝2∠B
∴

例3、如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8㎝，DB=6㎝，DH⊥AB与H.求DH的长.
A
B
D
C
O
H
解：

反思：

第10课时——菱形的判定
编制人： 杜运良 使用人： 审核人：
【学习目标】
1、掌握菱形的判定方法。
2、能运用菱形的判定方法解决有关问题。
【重点难点】
重点：熟练掌握菱形的判定方法
难点：能运用菱形的判定方法解决有关问题。
一、复习回顾：
（1）菱形的定义： ；
（2）菱形的性质1 ： ；
A
C
B
D
性质2 : ；
菱形的特征
（1）对边 ________，四条边都 。
（2）对角 。
（3）对角线 ，对角线分别 。
这节课我们来探索从平行四边形出发，加上什么条件可以得到菱形：
A
C
B
D
二、讲授新课
1、菱形的识别：
方法一：有一组邻边 的平行四边形是菱形。（定义）
几何语言：∵ ABCD中，AB＝
∴ ABCD是 。
下面请用菱形的定义来证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”
已知：如图，
求证：
证明：

方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（即：平行四边形＋对角线 菱形
几何语言：如图∵ ABCD中，______⊥_______
∴ ABCD是 。
方法三： 四条边都 的四边形是菱形。
几何语言：∵四边形ABCD中，AB BC CD DA
∴四边形ABCD是菱形。

小结：判定一个图形是菱形的方法：
（1）平行四边形＋