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习题一
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.
【解】 P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-[0.7-0.3]=0.6
23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪）
【解】

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知
（1）

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2)

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
【解】（1）
(2)
习题二
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

(2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为
f(x)=
求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；
（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；
（3） F（x）.
【解】
（1）

(2)
(3) 当x<100时F（x）=0
当x≥100时

故
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知，即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开的概率为

,即其分布律为

21.设X~N（3，22），
（1） 求P{2<X≤5}，P{-4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};
（2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.
【解】（1）

(2) c=3
30.设X~N（0，1）.
（1） 求Y=eX的概率密度；
（2） 求Y=2X2+1的概率密度；
（3） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，
当y>0时，

故
(2)
当y≤1时
当y>1时

故

(3)
当y≤0时
当y>0时

故

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

故
查表知 ,即σ=12
从而X~N（72，122）
故

习题三
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】

题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.
【解】（1）

得.
(2)

13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
X
Y

2 5 8

0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
X
Y

2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2

0.2
0.42
0.38

(2) 因
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1） 因
故

题14图
(2) 方程有实根的条件是

故 X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：

22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y

y1 y2 y3
P{X=xi}=pi

x1
x2
1/8
1/8

P{Y=yj}=pj
1/6
1

【解】因,
故
从而
而X与Y独立，故,
从而
即：
又
即
从而
同理
又,故.
同理
从而

故
Y
X

1

习题四
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.
【解】(1) 由得.
(2)

(3)
故
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）=
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元

故 (元).
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y

-1 0 1

-1
0
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

12

X
-1
0
1
P

Y
-1
0
1
P

XY
-1
0
1
P

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.
【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为

题18图

从而
同理
而
所以
.
从而
34.设随机变量X和Y的联合概率分布为
Y
X

-1 0 1

0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
试求X和Y的相关系数ρ.
【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为

YX
-1
0
1
P
0.08
0.72
0.2
所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)·E(Y)=0.12 -0.6×0.2=0
从而 =0