必考解答题——模板成形练2.doc

必考解答题——模板成形练(二)
立体几何

(建议用时：60分钟)

1．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝，AD＝CD＝1.

(1)求证：BD⊥AA1；
(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.
证明　(1)在四边形ABCD中，因为BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，
又因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.
(2)在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝，DA＝DC＝1，
所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1
2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，BC⊥平面PAB，∠APB＝90°，PB＝BC，N为PC的中点．

(1)若M为AB的中点，求证：MN∥平面ADP；
(2)求证：平面BDN⊥平面ACP.
证明　(1)设AC∩BD＝G，连接NG，MG，易知G是AC，BD的中点，
又N是PC的中点，M为AB的中点，
∴NG∥PA，MG∥AD，
∴平面GMN∥平面APD.又MN⊂平面GMN，∴MN∥平面APD.

(2)∵BC⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴BC⊥PA，
∵∠APB＝90°，∴BP⊥PA.
∵BC∩BP＝B，∴PA⊥平面PBC，∴BN⊥PA.
∵PB＝BC，点N为PC的中点，∴BN⊥PC.
∵PC∩PA＝P，∴BN⊥平面ACP.
又BN⊂平面BDN，∴平面BDN⊥平面ACP.
3. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：EF⊥CD；
证明　(1)取PD的中点G，连接AG，FG.因为FG为△PCD的中位线，

所以FG∥CD，且FG＝CD，
又AE∥CD，且AE＝CD，
所以AE∥FG，且AE＝FG，
故四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.
又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
因为AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.
又EF∥AG，所以EF⊥CD.
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，连接A′C，A′B，F为A′C的中点，A′C＝4.

(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；
(2)求证：FB∥平面A′DE.
证明　(1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，∴△A′DE≌△ADE.

∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝60°.又∵AD＝AE＝2，
∴△A′DE和△ADE都是等边三角形．连接A′M，MC.
∵M是DE的中点，∴A′M⊥DE，A′M＝.
在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DM·cos 60°＝42＋12－2×4×1·cos 60°，∴MC＝.
在△A′MC中，A′M2＋MC2＝()2＋()2＝42＝A′C2.
∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.
又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD.
又∵A′M⊂平面A′DE，
∴平面A′DE⊥平面BCD.
(2)取DC的中点N，连接FN，NB.
∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，
∴FN∥A′D.
又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，
∴BN∥DE.
又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，
∴平面A′DE∥平面FNB.
∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.