几类特殊行列式的求解方法.doc

第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版) V01．15 No．5
2002年10月 Journal of Higher Correspondence Educa矗on(NatttrM Scieaces) October 2002

文章编号：1006—7353【2002)05—0024(08)一05

几类特殊行列式的求解方法+

徐胜林 孙 平
(华中师范大学数学系 湖北武汉430079)

摘要：本文通过严格的求解和论证，给出了r1．阶循环行列式、中心对称行列式等特 殊行列式的求解方法和技巧，还介绍了降阶定理在简化行列式计算方面的应用。
关键词：循环行列式；中心对称行列式；降阶定理；求解方法 中图分类号：O 151．22 文献标识码：A

行列式的计算，是高等代数的重要内容 的视个不同的根。 之一，也是学习中的一个难点。阶数较低的行 定理的证明可以采用析因子法，但过程 列式，一般都可以直接利用行列式的定义和 较长，受篇幅限制，我们受析因子法的启示， 性质来求解。在计算，z阶行列式时，通常需要 采用了下面这种比较简单但不太容易想到的
灵活地应用一些计算方法和技巧，才能得出 证明方法。
结果。本文讨论了几类特殊的行列式，给出了
证明 易知
求解的一些方法和技巧。 ～
吼l 眈 q 口
1 ，2阶循环行列式的计算方法
定义1 形如 ‰n 乱 眈 ％
～
～ 孙
‰ q ～ ％
％
q 眈
一
岔
l n
～． ～ ～ ～ 一
‰ q 眈 ～ ％ 卅
n
犹 ％ 撕 ～ 口 1墨叠～巧
D。= 孙一 ‰ 吼 一 ％ <
2

～ ～ ～ ～ ¨ ． 厂(而)
观‘ 弛 批 1
～ 口 z，(毛)
的行列式称为l'l阶z一循环行列式，简记为 = z亨(毛)
D。=『al，a2，⋯，口。l。，其中口1，口2，⋯，口。
都为复数，称为D。的生成元。
特别地，当z=1时，称D。为，z阶循环行 1 1 ⋯ 1
列式，记为D。=}口1，口2，⋯，口。f 1；当名=一 Xl X2 ⋯ Zn
1时，称D。为咒阶反循环行列式，记为D。： 记|A I=
j口1，口2，⋯，口。}一1。 硝一1 z≥一1⋯znn-1 定理1 当z≠0时，咒阶?一循环行列 则l A l是范德蒙行列式，

A I=Ⅱ(乃一Xi)≠0。 式D。=l乜1，％⋯，口。l：=Ⅱf(xi)。其中 1≤i<j≤n
i=1
由(1)式可得
厂(z)-∑口p¨，z1，z2，⋯^是z”一z D。·{A

·收稿日期：2002—09—18
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f(x-) f(x2) ⋯ f(x。)I
=告[2a+(咒一1)d]竹。
z1以z1) z2，(z2) ⋯xJ(x。)f
当k=1，2，⋯，咒一1时，叫‘≠1，此时，
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 叫t乒{：1+z+z2+⋯+Xn--1的根，
=l x2f(x。) zi^z：) ⋯z≯(z。)l

zi一1“z1)z§一1，(z2)⋯z#，(z。)l 所以每一个叫‘都满足方程1十z+z2+⋯+
z”1=0，从而
=Ⅱ厂(zi)·A I，
f(∞‘)=口[1+叫6+(叫‘)2+⋯+(叫‘)”一1]
因此D。=|al，a2，⋯，口。l： +d∞五[1+2叫五 十3(∞愚)2+⋯+ (凡 一
=Ⅱf(x；)。 1)(叫‘)”2]
推论1 设循环行列式D。=j nl，口2， ：d讲幽址警血二一1Xj)--1
1)d，五=1，2，⋯，咒。其中口，d为已知数，则 =d一·玉举盟!盟!
⋯，a。I 1的生成元具体为口l=口+(愚一
有 =一糌=～砑ndl．(五-1，2，⋯一1)o=一————_=～——_I p=I／⋯"一IJ．⋯’7。 ～
1一∥ 一∥、。‘
D。=}al，a2，⋯，a。J l 注意到∞，∞2，⋯，0．9n-x是多项式1+z+
=i1．[2口+(7z一1)d]．(一咒d)n—l。 z2+⋯+z”一1的7z一1个互不相等的根，故 证明 设g(x)=1+2z+322十⋯+ z”一1+⋯+X2+z+1=(z一甜)(z一
(7z一1)z”一2，则g(z)一zg(z)=1+z+z2 ∞2)⋯(z一∞”一1)。
+⋯+z”一2一(72—1)z”一1， 在等式两边同时令z=1，得
所以，当z≠1时，出)=出生生≯』芝。 (1一叫)(1一叫2)⋯(1一Ojn-1)=咒。所以
D。=l吣％⋯，口。j。=Ⅱ厂(叫‘)
=(一兰)·(一禹)·(一
当X=1时，易知g(1)=1+2+3+⋯
+(咒一1)：丛冬型。 尚)．．卜#鲁)·争2口+(咒一
记厂(z)=∑口肛。～，则由定理1可知， 1)d]17．
[2口+(n一1)d]7l·(一nd)”一1
D。=j％％⋯，口。I。=Ⅱ厂(∞‘)， —2(1一∞)(1一叫2)⋯(1一Ogn-1)
其中叫：cos至堡十isin堑，叫，叫2，⋯，∞n：1 — [2口+(咒一1)d]irl·(一nd)”一1
2 7z
是z”一1的咒个互不相等的根。因为 =妻[2a+(咒一1)d]·(一nd)”一1。
厂(z)=a1+a2z+a322+⋯+anx”一1
推论2 设循环行列式D。=i a1，a2，
=口+(a+d)z+(口+2d)z2十⋯+[口+
(7z一1)d]X”1 ⋯，口。{1的生成元为口^=ak-1(忌=1，2，⋯，
=口(1+z+X2+⋯+Xn-1)+dz[1+22 ，z)，a为已知数，则
D。={1，a，⋯，口”1 1=(1一口“)”1。
+322+⋯+(规一1)z”一2]，
故 厂(叫”)=厂(1) 证明 当口=1时，结论明显成立。设
：咒口+d．丛车型 f(x)=1+口z+a2x2+⋯+(ax)”一1。∞，
∞2，⋯，叫”=1是X”一1的咒个不同的根，cU

2S

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：cos熟+isin堑，则由定理知 循环行列式，记为D。=l}口l，口z，⋯，口。{；当
z=一1。时，称D。为第二类咒阶反循环行列
D。=j 1，口，⋯，口“一1}。=II厂(甜‘)。 式，记为D。=一1 a1，n2，⋯，口。l。
1)当n≠1而12”=l时，由∞”=1知 由：J口1，a2，⋯，口。J
1
f(叫”)=f(1)=1+口+口2+⋯+口“一1
：#贮：o，从而定理结论也成立。
1

2)当口”≠1时，ao)‘不是1的以次单位 1 根，从而口叫‘≠1，所以 以及定理1可得 f(∞‘)=1+出矿+(口∥)2+⋯十(日∥)”一1 定理2 当z≠0时，第二类z一循环行
1一(口c￡，‘)” 1一口“ 列式D。=：l al，a2，⋯，口。I
一 n(n—1) “
1一n叫k 一1一口叫k。
=(一1)2Ⅱg(x；)。
忌=1，2，⋯，咒 ￡=1
注意到a“≠1时，X“一口”的咒个根为 其中g(X)=口。+口。一1z+⋯+a2z”一2+
a叫，ctoj2，⋯，口甜”，所以 alz“～，z1，z2，⋯，zn是z“一z的7／个不同
∥一an=(z一伽)(z一黝2)⋯(z一口c，)。 的根。
在等式两边同时令z=1，得 推论3 设第二类循环行列式D。=
(1一口叫)(1一口∞2)⋯(1一n叫“)=1一口“。
l J口1，口2，⋯，口。I的生成元具体为a^=口+
所以，D。=1 1，口，⋯，口州l。=Ⅱ厂(∞‘) (k一1)d，k=1，2，3，．．．，咒。其中口，d为已 知数，则有
=直等 Dn=1{n1，a2，⋯，口。J
=(1一口”)”·1——三一 =去[2a十(礼一1)d]
二
II(1～口∞‘) nfn一1)
．(一1)2(nd)“～。
：坠卫#：(卜nn)“。、 。
推论4 设第二类循环行列式的生成元
1一口”
为％=口卜1(k=1，2，⋯，咒)，口为已知数，
同理可求得D。=l 1，口，⋯，a”1 l—l
则有
=(1十a”)n-1。 n(n一尘
定义2 形如 1 1，n，⋯，矿一1{=(一1)2 ·(扩一1)¨，
a1 a2 ％1 ％
n血二1)
一1 l，口，⋯，口n一1 J=(一1)2 -(口”+1)“一1。
a2 口3 ％。 铆
例1 求咒级循环行列式
D^= n3 口4 独U 弛
1 2
一． ～
2 3
口n嬲1 孙P 孙 D。=
●●● ●●●
的行列式称为第二类咒阶z一循环行列式，
咒 1 ⋯ 规一1
简记为D。=。l口1，口2，⋯，口。1。其中口1，口2， 解 D。 =1 1，2，3，⋯，咒I
⋯，口。都为复数，称为D。的生成元。
特别地，当z=1时，称D。为第二类咒阶 =丢[2×1+(咒一1)×11

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赵 n
1
“卜 咒
～ ．
． 生 扎 △=(AB＼ J聊AJ)=(AB捌E／ ＼JA八 J)，．厂／，
生2等产
+一2
例2 ●_『 l|算 卜行。冽l列 D吐，式
护 I△I=}AB篆l·l E，l=l AB似．／B i·}J l。
1一

D=
铲毋1一 (一E，驯含弘J／3堆：)
q铲小 Q铲婷●一 q铲铲● 口 A 仍 、
解 行列式D也是一种循环行列式，但 B 上I ：)
雕、、●●f，，
与上文介绍的有所不同，不能直接利用上面 A M佃
一．+0 邱”口扩一皿卜 B
1 0 O 0 0

0 0 0 1 0 两边取行列式，得 的结论，令A= O 1 0 0 0
1．1 A归1．1：I A+JB|．I皿一B I，
O 0 0 0 1 B JA
0 0 1 0 0 所以
则易知A·D=l 1，口，口2，a3，口4}1，而A △I=I A+，B l·I^4一B I·i J
=一1，l 1，n，口2，口3，口4|1=(1一a5)4，所以 =l A+JJB l·I J(A—J／3)|·I J；
D=～(1一a5)4。 =I A+J：B|·I，I·l A一，B l·I J
例3 求咒级行列式 =J A+佃J·J A—JB J。
口 由例4的结果易知，行列式

口
口 1 ～1 1
D。=
¨
1 b 1 —1
⋯
一口 一口 Z『 一1 1 b 1
解 D。 =f z，口，口，⋯，口f一1
1 —1 1 a
=互1 1-(z+口)”+(z一口)”]。
2 中心对称行列式的计算方法 =∽㈩∽Ⅻ
定义3设A，B都是咒阶方阵，称△=
(AB嚣炒心对称阵，其中 ·∽㈩舭川
f 1] I口+1 0 I口一1 2
J=1 ．·‘l称为咒阶倒置阵。I△}称为中 =I i·l
0 b 4-1 2 b一1
11 j =(口+1)(b+1)[(口一1)(b一1)一4]。
心对称行列式。
3 利用降阶定理计算行列式
例4 证明：中心对称行列式 对于高阶行列式，直接计算比较复杂时，
l△I=l A+佃l·I A—JB／。 可以考虑利用下面的一些降阶定理化高阶行
证明 容易验证，=广=厂1，从而可
列式为低阶行列式，达到简化计算的目的。
丝f丝二!)
知J2=E，l J I=(一1)2。 定理3(第一降阶定理，Schur定理)若

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A为咒阶可逆阵，D是m阶方阵，则
A B』：⋯．j c=(㈡，
D—cA一·B』。
C D| f 1 1 1 ⋯ 1 1
D=I ⋯
若A为凡阶方阵，D为m阶可逆阵，则 Inl a2 a3 口n J
把D。改写为两个方阵之和的行列式，
{会言i=I。l·I A—BD。1 c I。 则利用定理4易知
定理4 设A，D分别为珂阶可逆阵和 口1+q 口1+眈 n1十％
日2+口1 眈+眈 眈十％
m阶可逆阵，则I。±CA一1B I=蝌· n= A+
!A±BD_1C 1。
％+q ％+眈 ％+％
定理5 设A，B，C，D均为，z阶方阵，
=I A+BC一1D
且Ac=以，则㈦昝|仙一cB I。 ：；掣．12 i1『丁叫 C+DA一1B十
例5 计算九阶行列式
卜 j 0 j
0 口1十a2 口1十％ 2台％
口2+口1 0 口2十％ =(一矽Ⅱq·
n= t=1 1_罢
一
旦2。∑蹦 哝
l一2 Z

口n+al an+a2⋯0
2
n =(一2)” 。Ⅱ㈨ 口
其中咒≥2，Ⅱ口。≠0。
解 首先记 小刊2一(参i 1)(砉i挑
i=1

o = 、j= 1，o
一 2 口 1 参考文献
— [1]北京大学数学系．高等代数(第二版)．北京：高等
2 o 2
A= 教育出版社，1988
[2]李桃生、朱德高等．高等代数．武汉：华中师范大
—2a。
学出版社，2002
口1 1
[3]钱吉林、陈良植．高等代数方法导论．武汉：华中
口2 1
B= 师范大学出版社，1990

(上接第19页) 高的特点，在输入频率fIN 参考文献 一定时，射频输出可达到DDS系统一样的频 [1]AIN850 Data Skeet，ANALOG Integrated Products 率分辨率，且频率和相位调节方便。其输出 [2]苏文平著．电子电路应用实例精选．北京航空航
天大学出版社，2000．5(94—95)
频率为
[3]张凤言著．电子电路基础(第二版)．北京：高等教
fout=ftN+fDDs=fIN+M×0．0291HZ。
育出版社，1995．5(359—363)

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几类特殊行列式的求解方法
作者： 徐胜林， 孙平
作者单位： 华中师范大学数学系,湖北武汉,430079 刊名： 高等函授学报（自然科学版）
英文刊名： JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCES) 年，卷(期)： 2002,15(5)
被引用次数： 2次

参考文献(3条)

1.钱吉林;陈良植 高等代数方法导论 1990

2.李桃生;朱德高 高等代数 2002

3.北京大学数学系 高等代数 1988

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4. 黄基廷.赵丽棉.HUANG Ji-ting.ZHAO Li-mian 高阶行列式的计算方法与技巧[期刊论文]-科技信息2010,02(23)
5. 李周红.张在明.LI Zhou-hong.ZHANG Zai-ming 几类特殊方程组与特殊行列式[期刊论文]-玉溪师范学院学报
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9. 王念良.WANG Nian-liang 特殊行列式的计算[期刊论文]-西安文理学院学报（自然科学版）2006,9(1)
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引证文献(2条)

1.葛斌.徐新军 一类行列式恒等式的证明及应用[期刊论文]-哈尔滨商业大学学报（自然科学版） 2008(5)
2.姚金江 多项式在计算行列式中的应用[期刊论文]-中国西部科技 2006(31) 本文链接：