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第三章 随机信号通过线性系统的分析
第三章 随机信号通过线性系统的分析

本章主要内容：
l 线性系统的基本理论
l 随机信号通过连续时间系统的分析
l 随机信号通过离散时间系统的分析
l 色噪声的产生与白化滤波器
l 等效噪声带宽
l 解析过程
l 窄带随机过程基本概念
l 窄带高斯过程包络与相位的概率密度
l 窄带高斯过程包络平方的概率密度
3.1随机信号通过连续时间系统的分析

在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法
1、输出表达式（零状态响应，因果系统）
输入为随机信号某个实验结果的一个样本函数，则输出为：

对于所有的，输出为一族样本函数构成随机过程：

2. 输出的均值：
证明：

3．系统输入与输出之间的互相关函数

证明：

4、系统输出的自相关函数
已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。

显然，有：

5、系统输出的高阶距
输出n阶矩的一般表达式为

注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。

3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算
1、 双侧随机信号
在这种情况下，系统输出响应在 t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么

由于假定连续系统是稳定的，所以

由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是的函数，且输出均方值有界。所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：
输出均值：

输入与输出间的互相关函数为

输出的自相关函数为

输出的均方值即输出总平均功率为

若用卷积的形式，则可分别写为

（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
证：对于时移常数有

输出Y(t+)和输入X(t+)联系的方式与Y(t)和X(t)联系的方式是一样的。由于随机信号X(t)是严平稳的，所以X(t+)与X(t)具有相同的n维概率密度函数。因而Y(t+)与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，即Y(t)是严平稳的。

（3）若输入X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。
证：由X(t)的宽遍历性的定义得

则输出Y(t)的时间平均

故Y(t)是宽遍历性的。

[例3.1] 如图4.4所示的低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧随机信号，其均值为，假设X(t)是相关函数为(t)的白噪声，求：①求输出均值；②输出的自相关函数；③输出平均功率；④输入与输出间互相关函数：和。

图3.1 RC电路
解：①该电路的单位冲激响应为

其中:

输出的均值为

② 因为输入相关函数为

则输出自相关函数

即：

上式要分别按0与＜0求解。当0时（注意h(t)因果）有：

由于自相关函数的偶对称性，则当＜0时有

合并0和＜0的结果，得到输出自相关函数

③ 在上式中＝0即可得输出的平均功率为

注意到b是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽有关。

于是的输出平均功率又可写为

显然，该电路输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。
④ 根据式有

同理

[例3.2] 应用举例：测量线性系统单位冲激响应的方法

图3.2 测量线性系统单位冲激相应的方法
输入X(t)是白噪声。Z(t)= X(t-)Y(t)，Z(t)通过一个带宽充分地小的低通滤波器的输出将几乎是Z(t)的直流成分(也就是它的时间平均)。若输入X(t)是遍历性的，则Z(t)也将是遍历性的，Z(t)的直流分量将与Z(t)的均值相同。因此

因此在平稳的情况下 ．

所以

根据式得

即

由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。改变，就能测出线性系统的完整单位冲激响应。
推广：通常只要输入随机信号的带宽与被测线性系统带宽的比值很大时，利用互相关函数测量设备就能得出单位冲激响应h(t)。

[例3.3] 输入随机信号的带宽远大于线性系统带宽，则可把输入信号看作白噪声。
设X(t)的自相关函数为，，这里，为各自的半功率带宽， ，求。
解：

当时，分和两部分积分：

因为，所以

因为，则，，即
＝输入的相关函数为白噪声通过一个线性系统 。
结论：在输入噪声的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理地利用白噪声来近似输入随机信号。
2、单侧随机信号
此时，输入随机信号是在t=0时刻作用于系统的，如图3.3所示。
图3.3 X（t）在t＝0是刻作用于系统
此时，输出为：

设X(t)是宽平稳的，则有

由以上各式可见，输出的均值是时间t的函数，相关函数不再只是时间差的函数，而与t1，t2有关，因此，输出响应也不是平稳的。这是因为实际系统输入的信号 (即单侧信号)是非平稳的缘故。

[例3.4] 在例3.1中让X(t)在t＝0时刻加入系统，求输出的自相关函数和平均功率。
解：

输出的自相关函数为

分0和＜0两种情况求解。当0即时，二重积分的积分区域如下图4，先对v求积分。（注意这时v=u+>u，u取值0～t1）

图 3.4 例3.4 积分区分区域

同理当时，有

在中令t=t1=t2可得输出平均功率为：

显然，输出是非平稳的。当输出响应进入稳态。
注意：系统有初始贮能时，输出响应为零状态响应与零输入响应之和。由于初始贮能引起的零输入响应是瞬态响应，对于稳定系统而言，当时，系统输出是渐近平稳的。

[例3.5] 假设在图3.5所示的电路中，开关K长时间地打开着。当t=0时，开关K闭合。X(t)为单位白高斯电压源，求t0时电容器两端电压的平均功率。
解：由题意知，在开关K闭合之前电路已处于稳态，出此输出是宽平稳的。电路的单位冲缴响应为

图3.5 例3.5电路图
（注意）

此时，电容器两端电压的平均功率为

开关闭合时，系统的微分方程为：

初始条件是V(0)。因此，零输入响应为

则t0时电容两端的平均功率为

显然，均方值是时间的函数，因而输出是非平稳的。

3.1.2、频域分析法
对确定信号，我们采用，再求付氏反变换得到。对随机信号，不能采用上面的方法。
假定输入信号X(t)是平稳双侧随机信号，则输出Y(t)也是宽平稳的，Y(t)与X(t)是联合平稳的。
1、系统输出的均值

2、系统输出的功率谱密度

式中是系统的传输函数。其幅频特性的平方|H(w)|2 称之为系统的功率传输函数。显然：

3、系统输入与输出间互谱密度

传递函数为：

相频特性H(w)为：

若将SXY表示为
则有

于是，不难看出系统的相频特性为

4、系统输出的功率谱密度函数

用复频率 ()表示为

小结：（1）当系统的单位冲激响应h(t)为比较简单的函数时，应用卷积积分法是比较方便的。（2）频域分析法只能计算平稳输出随机信号的特性，方法简易。（3）这两种方法分析的都是系统的零状态响应。

5、拉氏变换与付氏变换关系
（）
当不可积时，可积。因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。

[例3.6] 采用频域分析法重做例3 .1。
解：

低通RC电路的传输函数为

电路的功率传输函数为

(1)系统输出的自相关函数为

(2)输出平均功率为

(3)互相关函数为

同理：

可见，频域上的分析与时域上的分析，所得结果完全一致。

6、系统输出平均功率的计算
系统输出的平均功率可表示为

3.2 随机信号通过离散时间系统的分析

讨论双侧随机信号输入的情况（假定信号平稳，离散时间系统是线性的、时不变的、稳定的物理可实现及单输入单输出）。分析的主要方法：时域分析法，频域分析法。

3.2.1．时域分析法
1、系统的输出表达式：系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和。
设输入X(n)为离散时间随机信号，则具有单位冲激响应h(n)，离散时间系统的输出Y(n)也是离散时间随机信号，其表达式为

可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，上式在均方收敛的意义下是存在的。

2、输出的均值、自相关函数和互相关函数
● 系统输出的均值：

如果系统是稳定的和输入均值是有界的，则和式一定存在。
● 输入与输出间互相关函数

● 系统输出的自相关函数

3．平稳随机信号双侧输入的情况

输出的均方值或平均功率为

可见，输出的均值为常数，输出自相关函数只是m的函数，因
此，输出是宽平稳的。显然，输入和输出也是联合宽平稳的。

3.2.2、频域分析法
1、功率谱密度表达式：若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的。

系统输出的自相关函数为

其中L为z平面上包含所有极点之单位圆。若用功率谱密度表示，有

[例3.7] 若，，求输出功率谱密度
解：系统函数为

显然，
输入随机信号的功率谱为

则系统输出功率谱密度为：

2、输出平均功率的计算

3.3 3dB 带宽和等效噪声带宽

3.3.1、白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为或，其输入白噪声功率谱密度为＝，那么系统输出的功率谱密度为

或物理谱密度为

输出自相关函数为

输出平均功率为

注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性 决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。

3.3.2．等效噪声带宽
1． 前言
当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念——等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽，用表示。

2． 等效的原则：
(1) 理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系统的输出平均功率相等；（2）理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

3． 计算实际系统的等效噪声带宽
讨论幅频特性为 (见图3.5a)的低通线性系统受功率谱密度为的白噪声激励。消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为：

图3.5 （a）任意低通系统幅频特性
（b）理想系统幅频特性

而理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为（积分限0～，K=带入4.5.4式）

根据等效原则，上面两式相等，应有K＝，实际系统的等效噪声带宽为

对于一般的低通滤波器，的最大值出现在＝0处，即。
对于中心频率为带通系统(如单调谐回路)，的最大值出现在处，即。
用拉氏变换表示：

输出的平均功率为：

推论：时域的等效噪声带宽
l 低通滤波器
,注意分母为H(0)
l 带通滤波器

推广：可以把任一平稳随机信号等效成一限带白噪声，限带白噪声功率谱是矩形功率谱，其幅度为和宽度为2，其中

(注意)

[例3.8] 求图3.4所示RC电路的等效噪声带宽。
解：RC电路的传递函数

显然， 3dB带宽 作比较与等效噪声带宽不相等。它们都是仅由系统本身参数决定的。实际上，当线性系统的型式和级数确定之后，和也被确定，而且二者之间有着确定的关系。
小结：由系统的等效噪声带宽可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数和就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。

4、 信噪比计算
（A）
式中表示输入信号的平均功率， N0／2表示输入噪声的平均功率。

[例3.9] 假设测得某通信系统中接收机调谐频率上的电压增益是106 ，等效噪声带宽为10kHz。该接收机输入端噪声具有数百兆赫兹的带宽(输入信号可以看成白噪声)，设输入噪声的功率谱密度是2×10-20V2/Hz，问为使接收机输出端的功率信噪比为100，输人信号的有效值应是多大?
解：带入（A）式(注意增益对信号和噪声都同时放大)，得

则要求的输入信号有效值为

3.4 窄带随机过程的表示方法

3.4.1 希尔伯特变换

1．
证明：
由对称性性质：
若，则
因为，所以
整理得：
2． 逆变换

＝
这里。
证明：
若输入信号为，通过一个滤波器后，输出为。则：

显然有：

所以
反变换，即证。

3． 性质
（1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。

图 3.6 希尔伯特变换等效为90移项的线性滤波器
i. 物理意义

4．希尔伯特变换的应用：
希尔伯特变换除了构成解析信号外，还在单边带调幅中有应用。单边带调制只取半个边带传送信号，节约了带宽。通常有两种实现方法：滤波法和相移法
（1） 滤波法（难点在于滤波器设计）

图3.7 滤波器法原理
（2） 相移法（难点在移相网络）

图3.8 相移法单边带调制器方框图
要想使基带信号都移相900是很难的，但希尔伯特变换很容易解决了这个问题，特别适用于数字器件的实现。
（注意，）

3.4.2解析过程及其性质
1． 解析过程
现在将解析信号的定义推广到随机过程――这就是解析过程。

称为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。
2． 解析过程的性质
（1） 若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。
因为希尔伯特变换是线性变换，输入平稳，输出也为平稳过程，且联合平稳。
（2） 实函数与其希尔伯特变换的相关函数（功率谱）相同

证明： 因为：
由输入与输出的功率谱密度的关系，得：
则 （注意）
经付氏反变换，得：

图 3.9
（3） ；
证明：

＝ （由等效形式1）
同理可证：
（4）
由性质3直接得出。
（5）
这说明希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数。证明参见性质3证明。

（注意为偶函数） ＝ ＝
＝ （性质3）
（6）
由性质5即可得证。因为。
这表明，在同一时刻t，随机变量和正交，即

（7）

＝
＝（性质2和4）
（8）
证明：由性质3，＝
这里，表示等效的希尔伯特变换的冲激相应，两边去付氏变换得：

（9）
证明：由性质7，，两边取付氏变换，

【例3.9】设低频信号a(t)的频谱为：

证明：设，其频谱

＝，其希尔伯特变换的功率谱密度为：

（）
(注意)

同理可证：

3.5窄带随机过程的表示方法

3.5.1 窄带随机过程的定义

，则称此过程为窄带平稳随机过程。

图 3.10窄带随机过程的功率谱密度图
3.5.2 莱斯表达式及a(t)、b(t)性质
1． 莱斯表达式
任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为：

其中为固定值，a(t)、b(t)是另外两个随机过程，且

称此为莱斯表达式。
证明：将X(t)表示成解析过程，有

令：，

可得：
＝
所以
即证。（注意这里a(t),b(t)是两个随机过程，不是确定性函数）
2.准正弦振荡表示形式
由上面证明过程可看出，窄带随机过程还可以表示为三角函数形式：

其中：

显然，

3． a(t),b(t)的性质
（注意X(t) 为平稳过程，这里假设其均值为0）
i. a(t)和b(t)都是实随机过程
证明：因为X(t)和都是实过程。由莱斯表达式，a(t)和b(t)都是实随机过程。

ii.
证明：因为由假设，，所以，（线性变换）
因此，，
同理：

iii. a(t)和b(t)都是平稳随机过程，且联合平稳。

证明：
＝

＝+
++
因为：,
＝ 与t无关
所以，
由性质2，知
所以，a(t)平稳。
其它同理可证。
注意：

iv.
证明：由性质3可得。

v.

证明：
＝

＝+
-+
因为：,，
＝
＝
其它同理可证

vi.
证明：由性质5，可证

vii.
证明方法同性质5。

viii.

证明：由性质3，有：

＝
两边取付氏变换，注意，得：

图 3.11
显然，为低频限带的。

ix.
证明：由性质5，
＝
两边取付氏变换，注意得：

＋
＝
＋
＝

若关于中心频率对称，则：
，所以

图 3.12

3.5.3 工程上产生窄带噪声的两种方法
1、使用窄带滤波器
宽带白噪声发生器
窄带带通滤波器
窄带噪声

图 3.13
2、 使用莱斯表达式:

白噪声
低通滤波器
白噪声
低通滤波器
振荡器
×
＋

-
×

图3.14

3.5窄带随机过程包络与相位的特性

3.5.1 窄带随机过程包络与相位的慢变化特性

定理：当为窄带随机过程，即的功率谱带宽，和是慢变换的随机过程。
证明：因为和是低频限带随机过程，即它们的功率谱只在区间内非0，且。则

＝
＝
＝ 注意到功率谱非负性和偶函数
＝
注意:
＝
注意：
＝
＝
即：＝
(此式说明：若（即），在t到的时间内，的变化的均方值远小于的均方值。)
因为，即，
令，由知
由切比雪夫不等式：,
令，注意
带入上式，得：

即
显然，当即，对于给定的右式趋近于0。
结论： X(t)为窄带随机过程时，在一个高频周期内，a(t)的变化的概率趋于0。也就是说，a(t)为慢变换的随机过程，同理，b(t)也为慢变化随机过程，则A(t)，也是慢变化的随机过程。

3.5.2包络和相位的一维概率密度
假设窄带高斯实随机过程X(t)的均值为0，方差为，
则，
这里
令t=t时刻，有随机变量

显然

1，求
因为：① （性质2）
② 为高斯随机变量
（为高斯随机过程，为的线性变换，也是高斯随机过程，、为和线性变化，也是随机过程。）
③ （性质4）
④ 相互独立（，即正交，又它们为0均值，，所以不相关；再考虑它们为高斯随机变量）
所以有：

2．求
利用，得：

＝＝ 带入得

3、求
利用边沿分布，可得：

显然：

这说明，在同一时刻，两变量相互独立，但并不意味着随机过程相互独立。

3.5.3窄带高斯过程包络平方的概率密度

图3.15 高频窄带滤波器加平方滤波器
已知窄带随机过程得包络的一维概率密度为：

令 ，得

于是有：
＝
这表明的概率密度为指数函数

3.5.4窄带高斯随机过程包络与相位的二维概率密度函数

1．
① 先求
因为是均值为0，方差为的随机变量，令：

则＝ （1）
这里，K为协方差矩阵。
注意到：
得协方差矩阵：

考虑最简单最常用的功率谱密度关于中心频率对称的情况，这时，则上面矩阵变为：

注意到此矩阵对称，它的代数余子式矩阵的系数为：

＝
其它系数
所以：＝ （2）
（3）
把（3）式带入（1）式，得：
＝
② 再求
因为
所以
＝
得：

＝
2．求和的各自二维联合概率密度

3.6正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位特性

假设

令
则

讨论方法：先在给定值条件下采样，再采用前面包络的二维概率密度的讨论方法。
1， 先求条件二维密度
2， 由随机变量的函数的概率分布求
3， 由边沿分布求和

4， 再讨论和
=因为表达式与无关。讨论复杂。
习题
3－1、（a）已知一个常数，一个密度是的随机变量，我们构成过程。试证它的功率谱等于。 （b）若另外还知道一个在区间均匀分布的随机变量，证明过程的功率谱等于

3－2、试证，若输入到一个因果系统[当时]去的是白噪声，其功率谱是，则输出的平均功率为

3－3、设和是两个相互独立的平稳过程，均值和都不为零，且已知，定义

试求和。
3－4、设随机过程，式中是实常数；、是两个互相独立的随机变量，具有频谱密度，在上均匀分布。试证的功率谱密度为

3－5、设和是两个相互独立的平稳过程，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为
，
现设，求：（1）的功率谱密度；（2）和的互谱密度；（3）和的互谱密度。
3－6、已知可微平稳过程的自相关函数为，求与其导数过程的互谱密度。
3－7、设是复平稳过程，试证：（1）的自相关函数；
（2）的功率谱密度为实函数。
3－8、在如下图的系统中，若为平稳过程，证明的功率谱是

3－9、已知平稳随机过程的自相关函数为，其中和皆为正常数。求的功率谱密度及其功率。
3－10、已知随机, 其中和皆为常数，是在上均匀分布的随机变量。
（1） 过程是宽平稳的吗？证明之。
（2） 利用式, 求的功率。
（3） 利用式 ，求的功率谱密度；并由式
计算的功率。你先后求得的的功率值相等吗？
3－11、平稳过程的双边功率谱密度为。求：（1）该过程的平均功率（在1负载上）；（2）取值范围为的平均功率。
3－12、设平稳过的功率谱密度为

（1）把该功率谱密度写成复频率s的函数； （2）列出的所有零、极点频率。
3－13、设平稳过程的功率谱密度为

（1）写出作为的函数的功率谱密度； （2） 求过程的均方值。
3－14、设和为随机变量，我们构成随机过程，式中为一实常数。（1）证明：若和具有零均值及相同的方差，且不相关，则为（宽）平稳过程；（2）求的自相关函数；（3）求该过程的功率谱密度。

3－15、定义两个随机过程为，，式中和皆为实正整数，为与无关的随机变量，为具有恒定的均值的随机过程。
(1) 证明与的互相关函数为

（2） 求的时间平均, 并确定互功率谱密度。
3－16、设随机过程和平稳相依，证明

3－17、设是一个具有非零均值（）的平稳随机过程。证明