高三数学第一轮复习知识梳理题型探究方法提升课后作业函数的单调性与最值教案理.doc

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）函数的单调性与最值教案 理
知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）
1、 函数的单调性及性质
（1）、定义：一般 地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量当时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是 。
（2）、函数的单调性的理解：
要注意以下三点：
①、单调性是与区间紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性②、单调性是函数在某个区间上“整体”性质 ，因此定义中的具有任意性，不能用特殊值代替.
③、由于定义是充要条件的命题，因此由f(x)是增（减）函数，f()< f(),这说明单调性存在的前提下，自变量与函数值之间的不等式可以“正逆互推”，于是，
增函数的定义等价于：)>0()() >0
减函数的定义等价于：)<0()() <0

（3）、单调区间：如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说个函数在这个区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间。
（4）、(理科)复合函数的单调性：设复合函数y=,其中,如果y=()与的单调性相同，那么函数y=f[g(x)] 是 函数，如果y=()与的单调性相反，那么函数y=f[g(x)] 是 函数；
（5）、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①、任取，且 ②、作差 ③、变形（通常是因式分解和配方）④、判断符号（即判断，的正负)⑤下结论（即指出函数y=f(x)在给定的区间上的单调性）

2、 函数的最值
对于函数y=f(x)，设定义域为A，则
（1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。
（2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。

二、题型探究
探究一：判断证明函数的单调性
例1：设a>0, 是R上的偶函数
（1）、求a的值
（2）、证明:在（0，+）上为增函数。
例2：【2014高考北京】2.下列函数中，在区间为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】2.A【命题意图】本小题主要考查了函数单调性的判定.
对于选项A，在上为增函数，显然在为增函数；对于选项B，只在上为增函数；对于选项C，在上为减函数；对于选项D，在上为减函数.故选A.

探究二：抽象函数与复合函数的单调性
例2：定义在R上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求证：f(0)=1；
(2)求证：对任意x，f(x)> 0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数。

例3：函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。
(1)证明：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<3.

例4：求函数的的单调区间

探究三：与单调性有关的参数问题
例5：已知函数
（1）求函数的值域；
（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数 的最大值。
解析：设
（1）t=-1, 在上是减函数
, 所以值域为
（2） t, 由
所以在上是减函数
或（不合题意舍去）
当时有最大值， 即

探究四、函数的单调性与最值
例6：求下列函数的值域
1、 y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}
2、 y＝
3、 y=
4、 y=x+
5、 y=|x+1|+|x-1|
6、 y=（ x>）
7、
8、 ,表示不超过x的最大整数

三、方法提升
1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；
2、 求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，复合函数法和导数法；
3、 利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。
四、反思感悟

。五、课时作业

一、选择题
1. 【2014江西高考理第2题】函数的定义域为（ ）
A. B C. D.
2. 【2014江西高考理第3题】已知函数，，若，则（ C ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
3.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是（A ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．
4.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是 （D ）
A． B．
C． D．
5.已知f（x）是R上的奇函数，且f（2）=0，x为单调增函数，求x f（x）的解集（ ）A．[-2，0] B.
C. D.
6.偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ）
A．                B．
C．  　　 　 D．
7.设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．
A．4 B．8 C．10 D．16
8.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( )
A. B. C. (－∞,5) D.
9.已知函数，则函数的最大值是 （ ）
A．22 B．13 C．11 D．－3
10.函数的最大值为，最小值为，则
A. B. C. D.
11.已知，t是大于0的常数，且函数的最小值为9，则t的值为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10

二、填空题
12.函数 ，则的最大值、最小值为 。
13. 当x则函数的最大值为 。
14.设x∈R，则函数f (x) =的最小值为 。
15.已知+= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。
三、解答题
16.求证：函数，在区间上是减函数。

18.已知函数
（1）求函数的值域；
（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数 的最大值。

19.对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围。
答案
三、解答题
16.解析：设则

在区间上是减函数。
17.解析：（1）当时，
易证在上是增函数（须证明一下）

（2）由有对恒成立
令
即
（另有讨论法求和函数最值法求）
18.解析：设
（1） 在上是减函数 所以值域为
（2） 由
所以在上是减函数
或（不合题意舍去）
当时有最大值， 即

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，即方程有两个不等的实根。
当时，有，解得。当时，有，无解。 综上所述，。