资源描述
1-3.一粒子按规律沿轴运动,试分别求出该粒子沿轴正向运动;沿 轴负向运动;加速运动;减速运动的时间间隔。
[解] 由运动方程可得质点的速度
(1)
粒子的加速度 (2)
由式(1)可看出 当t>3s 时,v>0,粒子沿x轴正向运动;
当t<3s 时,v<0,粒子沿x轴负向运动。
由式(2)可看出 当t>1s 时,a>0,粒子的加速度沿x轴正方向;
当t<1s 时,a<0,粒子的加速度沿x轴负方向。
因为粒子的加速度与速度同方向时,粒子加速运动,反向时,减速运动,所以,当t>3s或0<t<1s间隔内粒子加速运动,在1s<t<3s间隔内粒子减速运动。
1-4.一质点的运动学方程为,(m)。试求:
(1)质点的轨迹方程;
(2)在s时,质点的速度和加速度。
[解] (1) 由质点的运动方程 (1)
(2)
消去参数t,可得质点的轨迹方程
(2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度
所以 (3)
所以 (4)
把t=2s代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度。
1-5.质点的运动学方程为,,其中A、B、为正常数,质点的轨道为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。
[证明] 由质点的运动方程 (1)
(2)
对时间t求二阶导数,得质点的加速度
所以加速度矢量为
可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心。
1-6.质点的运动学方程为 (m),试求:
(1) 质点的轨道方程;
(2) 时质点的速度和加速度。
[解] (1) 由质点的运动方程,可得
消去参数t,可得轨道方程
(2) 由速度、加速度定义式,有
将t=2s 代入上两式,得
1-7.已知质点的运动学方程为,,,其中、、均为常量。试求:
(1)质点作什么运动?
(2)其速度和加速度;
(3)运动学方程的矢量式。
[解] (1) 质点的运动方程 (1)
(2)
(3)
由(1)、(2)消去参数t得
此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆,即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆。
由式(2)可以看出,质点以速率c沿z轴匀速运动。
综上可知,质点绕z轴作螺旋运动。
(2) 由式(1)、(2)、(3)两边对时间t求导数可得质点的速度
所以
由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数,可得质点的加速度
所以
(3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式
1-8.质点沿x轴运动,已知,当s时,质点在原点左边52m处(向右为轴正向)。试求:
(1)质点的加速度和运动学方程;
(2)质点的初速度和初位置;
(3)分析质点的运动性质。
[解] (1) 质点的加速度
又 所以
对上式两边积分,得
所以
由题知 m
所以 c= m
因而质点的运动方程为
(2)
(3) 质点沿轴正方向作变加速直线运动,初速度为8m×s-1,初位置为-457m.
1-9.一物体沿轴运动,其加速度与位置的关系为,且物体在处的速度为10m×s-1。求物体的速度与位置的关系。
[解]
对上式两边积分得
得
1-10.在重力和空气阻力的作用下,某物体下落的加速度为,其中为重力加速度,为与物体的质量、形状及媒质有关的常数,并设时物体的初速度为零。试求:
(1)物体的速度随时间变化的关系式;
(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值。
[解] (1) 由得
两边积分,得
即
由t=0时v=0 得
c=g
所以,物体的速率随时间变化的关系为:
(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 (或以代入)
由此得收尾速率
v=g/B
1-11.一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动,其加速,其中为常数,是离开平衡位置的坐标值,并设处物体的速度为,试求速度与的函数关系。
[解] 由
对上式两边积分
即
故速度v与y的函数关系为
1-12.一艘正以速率匀速行驶的舰艇,在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比,即,其中为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶距离时速度的大小。
[解]
对上式两边积分
化简得
所以
1-13.一粒子沿抛物线轨道运动,且知。试求粒子在处的速度和加速度。
[解] 由粒子的轨道方程
对时间t求导数 (1)
再对时间t求导数,并考虑到是恒量
(2)
把m代入式(1)得
所以,粒子在m处的速度为
与x轴正方向之间的夹角
由式(2)得粒子在m处的加速度为
加速度方向沿y轴的正方向。
1-14.一物体作斜抛运动,抛射角为,初速度为,轨迹为一抛物线(习题1-14图)。试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径。
习题1-14图
[解] 物体在A点的速度设为,法向加速度为,曲率半径为,由题图显然有
(1)
=g (2)
(3)
联立上述三式得
物体在B点的速度设为,法向加速度为,曲率半径为,由题图显然有
(4)
(5)
(6)
联立上述三式得
习题1-15图
1-15.一物体作如习题1-15图所示的抛体运动,测得轨道点A处的速度大小为,其方向与水平线的夹角为,试求点A的切向加速度和该处的曲率半径。
[解] 设A点处物体的切向加速度为,法向加速度为,曲率半径为r,则
由图知
又 所以
1-16.在一个转动的齿轮上,一个齿尖P沿半径为R的圆周运动,其路程随时间的变化规律为,其中和都是正常量。试求时刻齿尖P的速度及加速度的大小。
[解] 设时刻t齿尖P的速率为v, 切向加速度,法向加速度,则
所以,t时刻齿尖P的加速度为
1-17.火车在曲率半径的圆弧轨道上行驶,已知火车的切向加速度,求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度。
[解] 火车的法向加速度
方向指向曲率中心
火车的总加速度
设加速度a与速度v之间的夹角为,则
1-18.一质点沿半径为的圆周运动,其角位置。试求
(1)在时它的法向加速度和切向加速度各是多少?
(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时,值为多少?
(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?
[解] 质点的角速度
质点的线速度
质点的法向加速度,切向加速度为
(1)
(2)
(1)把t=2s代入(1)式和(2)式,得此时
(2)质点的总加速度
由 得
解得 t=0.66s
所以
(3) 当即时
有 t=0.55s
1-19.河宽为d,靠河岸处水流速度变为零,从岸边到中流,河水的流速与离开岸的距离成正比地增大,到中流处为。某人以相对水流不变的速率垂直水流方向驶船渡河,试求船在达到中流之前的轨迹方程。
[解] 取图示坐标系
已知 时,
代入上式得
所以 (1)
又
积分得 (2)
代入(1)式得
积分得 (3)
由(2)、(3)消去t得
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