大学物理1章习题解答03--.doc

1-3．一粒子按规律沿轴运动，试分别求出该粒子沿轴正向运动；沿 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔。
[解] 由运动方程可得质点的速度
(1)
粒子的加速度 (2)
由式(1)可看出 当t>3s 时，v>0，粒子沿x轴正向运动；
当t<3s 时，v<0，粒子沿x轴负向运动。
由式(2)可看出 当t>1s 时，a>0，粒子的加速度沿x轴正方向；
当t<1s 时，a<0，粒子的加速度沿x轴负方向。
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t>3s或0的速度和加速度

所以 (3)

所以 (4)
把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。

1-5．质点的运动学方程为，，其中A、B、为正常数，质点的轨道为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。
[证明] 由质点的运动方程 (1)

(2)
对时间t求二阶导数，得质点的加速度

所以加速度矢量为
可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心。
1-6．质点的运动学方程为 (m)，试求：
(1) 质点的轨道方程；
(2) 时质点的速度和加速度。
[解] (1) 由质点的运动方程，可得

消去参数t，可得轨道方程

(2) 由速度、加速度定义式，有

将t=2s 代入上两式，得

1-7．已知质点的运动学方程为，，，其中、、均为常量。试求：
(1)质点作什么运动?
(2)其速度和加速度；
(3)运动学方程的矢量式。
[解] (1) 质点的运动方程 (1)
(2)
(3)
由(1)、(2)消去参数t得
此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆。
由式(2)可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动。
综上可知，质点绕z轴作螺旋运动。
(2) 由式(1)、(2)、(3)两边对时间t求导数可得质点的速度

所以
由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度

所以
(3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式

1-8．质点沿x轴运动，已知，当s时，质点在原点左边52m处(向右为轴正向)。试求：
(1)质点的加速度和运动学方程；
(2)质点的初速度和初位置；
(3)分析质点的运动性质。
[解] (1) 质点的加速度
又 所以
对上式两边积分，得

所以
由题知 m
所以 c= m
因而质点的运动方程为
(2)

(3) 质点沿轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m×s-1，初位置为-457m.
1-9．一物体沿轴运动，其加速度与位置的关系为，且物体在处的速度为10m×s-1。求物体的速度与位置的关系。
[解]

对上式两边积分得

得
1-10．在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，其中为重力加速度，为与物体的质量、形状及媒质有关的常数，并设时物体的初速度为零。试求：
(1)物体的速度随时间变化的关系式；
(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值。
[解] (1) 由得

两边积分，得

即
由t=0时v=0 得
c=g
所以，物体的速率随时间变化的关系为：

(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 （或以代入）
由此得收尾速率
v=g/B

1-11．一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速，其中为常数，是离开平衡位置的坐标值，并设处物体的速度为，试求速度与的函数关系。
[解] 由

对上式两边积分

即
故速度v与y的函数关系为

1-12．一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即，其中为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶距离时速度的大小。
[解]

对上式两边积分

化简得

所以

1-13．一粒子沿抛物线轨道运动，且知。试求粒子在处的速度和加速度。
[解] 由粒子的轨道方程
对时间t求导数 (1)
再对时间t求导数，并考虑到是恒量
(2)
把m代入式(1)得

所以，粒子在m处的速度为

与x轴正方向之间的夹角

由式(2)得粒子在m处的加速度为

加速度方向沿y轴的正方向。

1-14．一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为，轨迹为一抛物线(习题1-14图)。试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径。
习题1-14图

[解] 物体在A点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有
(1)
=g (2)
(3)
联立上述三式得
物体在B点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有
(4)
(5)
(6)
联立上述三式得

习题1-15图

1-15．一物体作如习题1-15图所示的抛体运动，测得轨道点A处的速度大小为，其方向与水平线的夹角为，试求点A的切向加速度和该处的曲率半径。
[解] 设A点处物体的切向加速度为，法向加速度为，曲率半径为r，则
由图知

又 所以
1-16．在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为，其中和都是正常量。试求时刻齿尖P的速度及加速度的大小。
[解] 设时刻t齿尖P的速率为v， 切向加速度，法向加速度，则

所以，t时刻齿尖P的加速度为

1-17．火车在曲率半径的圆弧轨道上行驶，已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度。
[解] 火车的法向加速度
方向指向曲率中心
火车的总加速度
设加速度a与速度v之间的夹角为，则

1-18．一质点沿半径为的圆周运动，其角位置。试求
(1)在时它的法向加速度和切向加速度各是多少?
(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?
(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?
[解] 质点的角速度
质点的线速度
质点的法向加速度，切向加速度为
(1)
(2)
(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时

(2)质点的总加速度

由 得
解得 t=0.66s
所以
(3) 当即时
有 t=0.55s

1-19．河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为。某人以相对水流不变的速率垂直水流方向驶船渡河，试求船在达到中流之前的轨迹方程。
[解] 取图示坐标系

已知 时，
代入上式得
所以 (1)
又
积分得 (2)
代入(1)式得
积分得 (3)
由(2)、(3)消去t得