大学物理1章习题解答03--.doc

1-3一粒子按规律沿轴运动，试分别求出该粒子沿轴正向运动；沿 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔。 解 由运动方程可得质点的速度 (1)粒子的加速度 (2)由式(1)可看出 当t3s 时，v0，粒子沿x轴正向运动； 当t3s 时，v1s 时，a0，粒子的加速度沿x轴正方向； 当t1s 时，a3s或0t1s间隔内粒子加速运动，在1st3s间隔内粒子减速运动。1-4一质点的运动学方程为，(m)。试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在s时，质点的速度和加速度。解 (1) 由质点的运动方程 (1) (2) 消去参数t，可得质点的轨迹方程 (2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 所以 (3) 所以 (4) 把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 1-5质点的运动学方程为，其中A、B、为正常数，质点的轨道为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。证明 由质点的运动方程 (1) (2) 对时间t求二阶导数，得质点的加速度 所以加速度矢量为 可得加速度矢量恒指向原点椭圆中心。1-6质点的运动学方程为 (m)，试求：(1) 质点的轨道方程；(2) 时质点的速度和加速度。解 (1) 由质点的运动方程，可得 消去参数t，可得轨道方程 (2) 由速度、加速度定义式，有 将t=2s 代入上两式，得 1-7已知质点的运动学方程为，其中、均为常量。试求：(1)质点作什么运动? (2)其速度和加速度；(3)运动学方程的矢量式。解 (1) 质点的运动方程 (1) (2) (3) 由(1)、(2)消去参数t得 此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆。 由式(2)可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动。综上可知，质点绕z轴作螺旋运动。(2) 由式(1)、(2)、(3)两边对时间t求导数可得质点的速度所以 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度 所以 (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式1-8质点沿x轴运动，已知，当s时，质点在原点左边52m处(向右为轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)质点的初速度和初位置；(3)分析质点的运动性质。解 (1) 质点的加速度 又 所以 对上式两边积分，得所以 由题知 m所以 c= m因而质点的运动方程为 (2) (3) 质点沿轴正方向作变加速直线运动，初速度为8ms-1，初位置为-457m.1-9一物体沿轴运动，其加速度与位置的关系为，且物体在处的速度为10ms-1。求物体的速度与位置的关系。解 对上式两边积分得 得 1-10在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，其中为重力加速度，为与物体的质量、形状及媒质有关的常数，并设时物体的初速度为零。试求：(1)物体的速度随时间变化的关系式；2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值。解 (1) 由得 两边积分，得即 由t=0时v=0 得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为：(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 （或以代入）由此得收尾速率 v=g/B1-11一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速，其中为常数，是离开平衡位置的坐标值，并设处物体的速度为，试求速度与的函数关系。解 由 对上式两边积分即 故速度v与y的函数关系为1-12一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即，其中为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶距离时速度的大小。解 对上式两边积分 化简得 所以 113一粒子沿抛物线轨道运动，且知。试求粒子在处的速度和加速度。解 由粒子的轨道方程 对时间t求导数 (1)再对时间t求导数，并考虑到是恒量 (2)把m代入式(1)得 所以，粒子在m处的速度为与x轴正方向之间的夹角 由式(2)得粒子在m处的加速度为加速度方向沿y轴的正方向。1-14一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为，轨迹为一抛物线(习题1-14图)。试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径。习题1-14图解 物体在A点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有 (1) =g (2) (3)联立上述三式得 物体在B点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有 (4) (5) 6)联立上述三式得 习题1-15图1-15一物体作如习题1-15图所示的抛体运动，测得轨道点A处的速度大小为，其方向与水平线的夹角为，试求点A的切向加速度和该处的曲率半径。 解 设A点处物体的切向加速度为，法向加速度为，曲率半径为r，则由图知 又 所以 1-16在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为，其中和都是正常量。试求时刻齿尖P的速度及加速度的大小。解 设时刻t齿尖P的速率为v， 切向加速度，法向加速度，则 所以，t时刻齿尖P的加速度为1-17火车在曲率半径的圆弧轨道上行驶，已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度。解 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 火车的总加速度 设加速度a与速度v之间的夹角为，则1-18一质点沿半径为的圆周运动，其角位置。试求(1)在时它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?解 质点的角速度 质点的线速度 质点的法向加速度，切向加速度为 (1) (2)(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时(2)质点的总加速度 由 得 解得 t=0.66s 所以 (3) 当即时有 t=0.55s1-19河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为。某人以相对水流不变的速率垂直水流方向驶船渡河，试求船在达到中流之前的轨迹方程。解 取图示坐标系 已知 时，代入上式得 所以 (1)又 积分得 (2)代入(1)式得 积分得 (3)由(2)、(3)消去t得