常微分方程解的延伸.doc

§3 解的延伸
§1的定理1只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间上存在，其中，.当很大时，可能很小，甚至出现的定义域扩大后，Cauchy问题

的解的存在区间反而缩小的现象.例如Riccati方程的Cauchy问题

当时，，而当时，.由此看到，，反而，这说明在上，由定理1得到的Cauchy问题的解在有定义，至少可以把此解延伸在上仍有定义.
仅仅知道解局部存在，在许多情形下往往不能满足需要.我们的问题是：能否将一个在小区间上有定义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题.
设微分方程经过点的解有如下表达式
， （）
其中表示的最大存在区间.
先考察积分曲线在点右侧的延伸情况.令为在点右侧的最大存在区间，即.
若，则积分曲线在区域内就延伸到无穷远，因此也就延伸到区域的边界.否则，就只有下面两种可能：
1） 是有限闭区间.
令，其中，方程与条件的解存在于区间上，当时，，我们按下述方式把解向右延伸：
令，则.因为区域是一个开集，所以存在矩形区域：
: , ,
使得.由定理3，，在上，方程至少有一个解满足初始条件.令

显然是方程的满足条件的在区间上有定义的解.因此，它是积分曲线在区间上的表达式.由于已设积分曲线的最大右侧存在区间为，从而必包含，与假设矛盾.故比可能是有限闭区间.
2） 是有限半开区间.
令，其中，而当时，有.
下证对任何有限闭区域，不可能使
，对一切
成立.
事实上，若不然，设是内一个有限闭区域，使得成立，则有和
， 当
它等价于
， （）
由于在有限闭区域上是连续的，故在上有上界，再由和可推知，在上有上界，再由拉格郎日中值公式即可推得
， 当.
由此可证，当时，的极限存在，设为，即

令

可知这样定义的函数是连续的，从而由和可知，在上满足
.
由上一节定理1的证明知，在区间上是微分方程的满足初值条件的一个解.这也就是说，上面的积分曲线可延伸到区间上，这与的最大存在区间为矛盾.故对任何有限闭区域，关系式是不可能成立的.
由上述讨论可知，积分曲线在点的右侧将延伸到区域的边界.同理可证，积分曲线在点的左侧也将延伸到区域的边界.
把上面的结果写成一个定理，即有
定理4 设为区域内一点，并设是积分方程经过点的任一条积分曲线，则积分曲线将在区域内延伸到边界.
由定理1和定理4立即可得如下推论.
推论 设函数在区域内连续，且对满足局部的李普希兹条件，则微分方程经过内任一点存在唯一的积分曲线，并且在内延伸到边界.
例1 在平面上任取一点，试证初值问题
： ，
的右行解（即从点出发向右延伸的解）都在区间存在.
证 记，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点的区域，在上一致连续，所以对，，亦即在上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知，初值问题的解存在且唯一，并且可以延伸到的边界.
不难看出，直线：是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在上方为负，因而积分曲线在上方是单调下降的，而在下方线素的斜率为正，故积分曲线在下方是单调上升的.
现设位于的上方，即有.利用的右行解在条形域
:
上的延伸定理，以及积分曲线在上方的单调下降性，可推知必与相交（如图 ）.
再设位于直线上或其下方，即.那么在区域
:
上应用右行解的延伸定理，可知的解可延伸到的边界.又由前面讨论知，在下方积分曲线是单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线的下方穿越到上方.因此，积分曲线必可延伸到.
例2 研究定义于条形区域: 中的方程.
这里处处连续，且在条形区域中的任一点的领域内满足李普希兹条件.方程的通解为，此外还有特解.很显然，积分曲线的两端都能达到的边界.可以算出，经过点的积分曲线是，它的左端能达到，但右端当时，，故不能达到的边界.仿此，经过点的积分曲线是，它的右端能达到，但在左端当时，，故不能达到的边界.（如图 ）
例2说明，微分方程解的最大存在区间因解而异.对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究，下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困难.
定理5 设微分方程

其中函数在条形区域: 内连续，而且满足不等式

其中和在区间上是连续的.则微分方程的每一个解都以区间为最大存在区间.
证 设方程满足初值条件
，
的一个解为：.要证的最大存在区间为.
用反证法.设它的右侧最大存在区间为，其中是常数，，在的两侧分别取常数，使得
，且.
由假设条件知，、在有限闭区间上是连续有界的.设分别为它们的正的上界，从而由可得
， （）
不妨设,由于在上存在，，于是有，.
现以点为中心作一矩形区域
.
这里正数是充分大.显然，.再由有
，
成立.令，，再以点为中心作一矩形区域
.
显然，，在内应用定理4，可以推知，微分方程过的解必可向右延伸到的边界.
另一方面，由式可知，解在内必停留在扇形区域
.
因此，解可向右延伸到,又由于及.所以只要取充分大的正数，就有
.
由此可知，在上存在.但是，由上述区域的构作可知，区间严格大于的右侧最大存在区间.故矛盾.从而证明的右侧最大存在区间为.
同理可证的左侧最大存在区间为.因此，的最大存在区间是.
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