微积分(上册)习题参考答案.doc

参考答案
0. 预备知识
习题0.1
1.（a）是 （b）否 （c）是 （d）否
2.（a）否 （b）否 （c）否 （d）是 （e）否 （f）否 （g）是 （h）否 （i）是
3. ,
.
4. ， ，.
5. ，，.
6~15. 略。
16. 证明：先证.若，则
①如果，则;
②如果，则，所以，也有，因此有.
再证.
若，则，或.
①如果，有，所以，，又，于是
②如果，，则有，，，所以，，于是. 因此有.
综上所述，，证毕.
17~19. 略。
20. .
21. ;
;

22.
23~25. 略。
26. 不是到的映射，因为中元素4没有中的元素对应；
（b）不是到的映射，因为中的元素2有两个内的元素和对应；
是到的一个映射；
（d）是到的映射。
27.

共有8种映射
28. 此映射为满射，但非单射；
（b）此映射双射，其逆映射为；
此映射为双射，其逆映射为 ；
（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。
29. ， ； .
30.
31.（a） （b） （c）
32..
33.
34. 证明：因为对，必有（因为非空）使，所以为满射.同理可证为满射。
为单射的充要条件是只有一个元素；为单射的充要条件是只有一个元素。

习题0.2
1. . 2. . 3. .
4. . 5.严格单调减少. 6.严格单调增加. 7.单调减少.
8.严格单调增加. 9.偶函数. 10.奇函数. 11.奇函数. 12.非奇非偶函数.
13.证明：若，则有 ，，所以，，因此是一对一的. 的反函数为，所以，反函数为其自身。定义域为.
14. .
15.证明：若，则，，反证，如果，
即矛盾，所以，，即是一对一的.
由得，因此的反函数为，即为其自身，定义域为.
16. . 17.略. 18.提示：按奇函（偶）数定义证明.
19.证明：反证，假设为严格单调增加的偶函数，则对，有
另一方面：，所以有，矛盾。
20.非周期函数. 21.略
22. 是。例如，，在皆无界，但在有界.
23.证明：对，存在，使，所以在上无界。
24. .
25. ， ， .
26. .
27. ，，，，，.
28. .
29. ，，.

1. 数列的极限
习题1.1
1.不能，例如取.
2.不能，例如取.
3.能，因为对，必存在正整数，使.
4.存在一个，对任何，总存在，使.
5.提示：利用数列极限定义.
6~11. 略。 12.提示：按极限定义，可取.
13.提示：利用极限定义，可取. 14.提示：按极限定义证明.
15.提示：利用极限定义. 16.反之不一定成立.
17.当无界时，有以下各种情况：
（1）极限仍为零，例如，；
（2）极限存在，但非零，例如，；
（3）极限不存在，例如：
或 ，
18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.
19.利用极限的定义. 20. .
21.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明.
23.（1）1. （2）1. （3）0. （4）9. （5）0.
24. （1）0. （2）. （3）0. （4）4. （5）. （6）0.
（7）. （8）. （9）. （10）1.
25.不一定，例如：.
26.不一定，例如.
27. 必发散。反证，因为若收敛，则有收敛，与已知矛盾.
28.不一定，例如.
29.必有，但不能推出，例如：.
30.当时，为；当时，为；当时，为0.

习题1.2
1. （1）2. （2）. （3）.
2. 提示：（1）证明数列单调减少有下界.（2）利用定理1.2.8.（3）证明数列单调增加有上界.
（4）证法（ⅰ）：先证数列单调减少，即可证，再证数列有下界；
证法（ⅱ）：考察，证明，当时，.
3.提示：利用极限的定义。 4.提示：证明单调增加有上界；单调减少有下界.
5.（1）提示：证明，. （2）提示：利用（1）的结论.
（3）提示：利用（2）的结论. （4）提示：利用（3）的结论.
（5）提示：利用（3）的结论
6.提示：先证明，再证明单调减少.
7.（1）. （2）. （3）. （4）1 . （5）. （6）. （7）0. （8）0.

习题1.3
1.设是中的一个数列。若存在某个，对任何正整数，都存在，使.
2.收敛. 3.收敛. 4.收敛. 5.收敛.
6.提示：对任意，必存在正整数，使. 7.提示：利用定理1.3.3.
8.提示：.
9.提示：考察数列: ，先证明收敛，再利用柯西收敛准则。
10.提示：反证，考察且.
11.提示：对，.
2．函数的极限与连续性
习题2.1
1~13. 略。 14. 1 15. 1 16. －1 17. 1 18. 1 19. 0
20. 21. 22. 23. 24. 2 25. 1
26. 27. ，
28..
29. . 30. 31.0 32. 33. 0
34. 35. 36. 37. 38. 0 39. .
40. 41.2 42（1）; （2）
43.当时，；当时，0， 当时，；当时，.
44.提示：按极限定义证明.
45.提示：用反证法和函数极限的定义。是可能的，例如，取，有

习题2.2
1～4. 略。 5.不一定 6.是 7.不一定 8.否，例如.
9.（1）是（2）不一定
10.提示：用连续的定义证明，反之不一定成立，例如.
11.提示：对用极限定义对，三种情况进行证明.
13. 在不连续，在可能连续，也可能不连续.
14. 与在有可能连续，也有可能不连续.
16.提示：按极限的定义证明. 17. 存在连续的反函数
18.当时，显然连续，在处，当时函数连续.
19. 在上不连续. 20. 在处连续，其他皆不连续.
21.存在某个，存在，有.
23. ，，.
24.（1）， （2）; （3），.
25.取 26. 如 27.取
28.提示：按极限的定义，证明在任意一点的极限不存在（或不以为极限）.
29.（1）不连续 （2）连续 （3）不连续 （4）连续
30.（1）为第一类（可去）间断点，为第二类间断点.
（2），为第一类（跳跃）间断点.
（3）为第二类间断点，为第一类（跳跃）间断点.
（4）为第二类间断点，，为第一类（可去）间断点.
31.（1）当时，为的第一类（可去）间断点.
（2）为第二类间断点. （3）为第一类（跳跃）间断点.
（4）为第一类（跳跃）间断点；为第二类间断点.
（5）为第一类（可去）间断点. （6）为第一类（跳跃）间断点.
（7）为第二类间断点.

习题2.3
1～15. 略。 16.（1）阶 ;（2）阶;（3）1阶; （4）3阶.
17.（1）; （2）. 18.提示：按高阶无穷小的定义证明.
19. 20. 1 21. 22. 23.1 24. 25.
26. 27. 28. 29.3 30. 31. 2 32. 1
33. 34. 35. 36. 37. 38.
39.2 40. 1 41. 42. 43. 44.
45. 46.0 47. 48. 49.

习题2.4
1. 略. 2.提示：考察，当充分大时的函数值符号.
3. 略. 4.提示：先证明，当时，，再利用零点定理.
5.提示：令，考察与.
6.提示：考察，证明严格单调增加.
7.提示：考察.
8.提示：考察，利用零点定理.
9.提示：利用韦达定理，再利用零点定理：不妨设第一象限椭圆为一点弦的斜率为，弦与椭圆的交点为，考察
10.提示：考察，利用零点定理.
11.（1）提示：设在上的最大、最小值为，有：;
（2）提示：利用（1）
12.提示：用反证法，并利用任何两个不同的有理数之间存在无理数这个性质.
13.提示：利用极限的保号性，再利用零点存在定理.
14.提示：利用介值定理.

3. 导数与微分
习题3.1
1.（1） （2） （3） （4） （5） （6）
2. ； 3. （1）连续，可导 （2）连续，不可导 （3）连续，不可导
（4）连续，不可导 （5）连续，可导 （6）右连续，右导数存在 （7）连续，可导
4. （1） （2） （3） （4）
5. 6. 7.连续，可导
8.连续，可导 9. 10.
11. 0 12. 不一定可导，如：，在点.
13.提示：（1）先证; （2）利用导数定义. 14. 0

习题3.2
1.（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
（7） （8） （9） （10） （11）
（12） （13） （14）
（15） （16） （17）
2. （1）5，－2 （2） （3）
（4） 3. ，切点坐标为
4. 或 5.提示：，用反证法
6. 否 7. 否，取 8. 否

习题3.3
1. （1） （2） （3）
（4）
（5）
（6） （7）
（8） （9）
（10） （11）
（12） （13）
（14） （15） （16）
（17） （18）
（19）
（20） （21） （22）
（23） （24）
2.（1） （2） （3）
3. （1）； （2） （3）
4. （1）
（2）
5. 6.
7.（1） （2）
（3）
（4）
8.（1） （2） （3）
9. ；.

习题3.4
1. （1） （2） （3） （4） （5）
（6） （7） （8）
2. 3. 4.（1）－1 ; （2）所求长为
5.当时，或，，.

习题3.5
1.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2.（1）当时，，当时，
（2） （3）
（4） （5）
（6）
3. 5. 6.
7.提示：利用
8.提示：利用，其中.
9.提示：，利用莱泊尼兹公式.
10. .
11.（2）提示：对两边关于求阶导数，用莱泊尼兹公式.
12（2）提示：令，则，两边关于求二阶导数.
13.（1）提示：令，则，用莱泊尼公式.（2）提示：，两边同乘以得，再两边关求阶导数，用莱泊尼兹公式。

习题3.6
1.（1） （2） （3）
（4） （5）
（6）
2.（1） （2） （3）
（4）
3.提示：利用，当较小时。 4. 0.985
5.（1） （2）
7.（1）5.17 （2）0.0174533 （3）0.03491 （4）2.08333
8. 2.23cm 9. ，
10. kg/cm2，

4 微分中值定理及导数应用
习题4.1
1.（1），为最小值。 （2）为最大值。
（3），为最大值。
2.（1），，；
（2）；
（3），，；
（4）.
3. . 4. 提示：利用Lagrange定理. 5. 提示：用反证法.
6. 提示：利用Rolle定理. 7. 提示：对在上用罗尔定理
8. 提示：利用Lagrange定理. 9. 提示：在上有界.
10. 提示：证明.
11.（1）不能，理由见（2）; （2），，. 12. .
13. （1）提示：利用“则（常数）”的结论。
（2）提示：令，证明.
14（1）提示：和差化积或直接用拉格朗日定理; （2）提示：利用Lagrange定理.

习题4.2
1. 提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。
2.（1）单调减少. （2）单调增加. （3）单调增加. （4）单调增加.
3.（1）在内单调增加，在内单调减少；
（2）在或内单调减少， 在内单调增加；
（3）当时，单调减少；当时，在单调增加，在单调减少；
（4）在或内单调减少，在或内单调增加.
4. 提示：设，证明在内必取到在上的最小值或者最大值.
5.（3）提示：令，在上用拉格朗日定理。
6.（2）提示：
（3）更强的结果为：

习题4.3
1.（1）－1 （2） （3） （4） （5）3 （6） （7）3
（8） （9）－2 （10）2 （11）0 （12）0 （13）0 （14）
（15）1 （16） （17） （18）1 （19） （20）
2.（1） （2） （3）

习题4.4
1.（1），
（2），其中位于1和之间.
（3），其中位于与之间.
（4），其中位于与之间.
（5）.
（6），其中位于0与之间.
（7）
, 其中在与4之间.
（8），其中位于0与之间.
（9）, 其中在与-1之间.
2.（1）2 （2） （3） （4） （5）
3. ，误差.
4. 5. .
6. （1）.
（2）
7.提示：利用在点的阶泰勒公式。
8.提示：利用阶的带拉格朗日余项的泰勒公式。
9.提示：利用在点的阶泰勒公式，然后将代入。
10.提示：利用在点处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。
11.提示：，使，再在上对用拉格朗日公式。
12.（1）1.6484375，4.5×10-4。

习题4.5
1（1）极大值 ，极小值； （2）极大值；极小值；
（3）无极值； （4）极小值；
（5）极大值 ，极小值 ，.
（6）极小值.
2. （1）, ; （2）;
（3） , ; （4） ;
（5）, ; （6）;
（7）, ; （8）;
（9）, .
3（3）提示：令，利用的单调性。
4. 当为偶数时，无极值；当为奇数时，有极大值.
5. 6. 底半径∶高 = 1∶2 7.
8. 水厂应建在甲城与乙城到岸的垂足之间，离甲城公里处。
9. 矩形在第一象限的顶点坐标为，其他顶点坐标由对称性可得，此时矩形面积最大，最大值为.
10. .

习题4.6
1（1）在上向下凹，在上向上凹，拐点为;
（2）在向上凹；在向下凹，
拐点为;
（3）在上向下凹，在上向上凹，拐点为;
（4）在 向下凹；在 向上凹，无拐点.
2. 提示：先证当时，有
3.（1），， （2）
（3）， （4） （5），
4. 略。 5. 三个拐点同位于直线上。 6. 曲率为2. 7.曲率为1.
8. 在处的曲率分别为.
9. 所求抛物线为，曲率圆方程为.
10. 提示：.

5 不定积分
习题5.1
1（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
2. 3.
4. 5.
6. 为的原函数，其中在不连续（为第二类间断点）。
7. 提示：用反证法。若为的原函数，为的第一类间断点，请考察和.

习题5.2
1.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
（10） （11） （12）
（13） （14） （15）
（16） （17） （18）
（19） （20） （21）
（22） （23）
（24）
（25） （26）
（27） （28）
（29） （30）
（31） （32）
2.
3.（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）
（17）
（18） （19）
（20）

习题5.3
1.（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
（7） （8）
（9）
（10）
2. （1） （2）
（3）
（4） （5）
（6） （7）
（8） （9）
（10） （11）
（12） （13）
（14） （15）
3. （1） （2）
（3） （4）
（5） （6）

6 定积分及其应用
习题6.1
1. （1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）0
3. （1） （2）
（3）（i） 或 （ii） 或

习题6.2
1. （1） （2） （3）
2. （1）提示：
（2）提示：分析函数在上的最大（小）值.
3. 提示：取 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.
5. 提示：令对在上用罗尔定理。
6. 提示：证明在内至少存在两点使.

习题6.3
1. （1） （2）
（3） （4）
（5）
2. （1） （2）1 （3）1 （4） （5）1
3. 提示：利用夹逼定理. 4. . 5. 提示：
6. 提示：利用，其中为任意常数.
7.（1） （2）2 （3）
（4） （5）14 （6） （7）
8. 提示：利用泰勒公式，位于与之间.

习题6.4
1. （1） （2）2 （3） （4） （5）
（6） （7） （8） （9） （10）
（11） （12） （13） （14）
（15） （16） （提示：）
（17）1 （18） （提示：作变换） （19） （20）
（21） （22）当为偶数时：；当为奇数时：
（23）
2.
3. 提示：，对作变换.
4. 若是连续偶函数，不一定为奇函数. 例如：
5. （提示：对作变换，用洛必达法则或导数的定义.）
6. （提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. .
9.（1） （2）
10. 提示：利用在的单调性.

习题6.5
1.（1） （2）1 （3） （4） （5）
（6） （7） （8） （9）
2.（1） （2）
3.（1） （2） （3） （4）
4. 5. 4 7.
8. （1）， （2） （3） （4）
（5）
9. 10.
11. （1） （2）

12. 13. 2560（焦）
14. 0.5625 kg/m2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦）
17. （焦） 18. 19. （焦）
20. 21. 22. ，其中为万有引力常数
23. ，其中为万有引力常数

习题6.6
1.
用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算的近似值分别为：0.457419671、
0.452058019、0.451974579. 误差分别为：0.0054454、0.00008372、0.00000028.
2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算）
3. 周长，用抛物线公式计算深其近似值为22.1035.

习题6.7
1. （1）收敛， （2）发散 （3）收敛，
（4）收敛， （5）收敛， （6）收敛，
（7）收敛， （8）收敛， （9）收敛，2
（10）收敛， （11）收敛， （12）发散
（13）收敛， （14）收敛， （15）收敛，
（16）当时发散，当时，收敛于
2. 提示：作积分变换， 3.
4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛
（7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当且时收敛，其他发散.
（11）收敛 （12）收敛 （13）当时收敛，当时发散
（14）当时收敛，其他发散 （15）当时收敛，当时发散
（16）当时收敛，其他发散.
5.（1） （2）
6.（1） （2）） （3）
7. （1） （2） =

7 级数
习题7.1
1（1），，， （2） （3） （4）
2．（1），收敛， （2），收敛，1
（3），收敛， （4）；收敛；
（5），收敛，—1 （6），收敛，.
3. （1）级数为 ，和为1 （2）级数为 ，和为1.
4. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）收敛
5. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）发散
（6）发散 （7）收敛， （8）收敛，.
6. （1）提示：利用级数收敛的定义及“若收敛，则必有”之结论
（2）例如
（3）提示：利用与的部分和之间的关系
7.

习题7.2
1.（1）发散 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）收敛
（6）收敛 （7）发散 （8）收敛
2.（1）提示：用比较判别法
（2）提示：
（3）提示：用比较判别法的极限形式
3.（1）收敛 （2）收敛 （3）收敛 （4）发散 （5）收敛
（6）当时收敛；当时发散.
4.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）发散
（6）收敛 （7）收敛 （8）收敛
（9）当时收敛，当时发散； 当时：收敛，发散
（10）收敛.
5.（1）时收敛，时发散 （2）当时收敛，当时发散
（3）收敛 （4）当时收敛，当时发散
（5）当时收敛，时发散 （6）当时收敛，当时发散
（7）当时收敛；当时：收敛，发散；当时发散
（8）当时收敛，当时发散 （9）时收敛，时发散
6.（3）提示： 7.（4）提示：，再利用（3）
8. 提示：，再利用的单调、正值性质。

习题7.3
1.（1）发散 （2）发散 （3）绝对收敛 （4）绝对收敛 （5）绝对收敛
（6）发散 （7）条件收敛 （8）绝对收敛 （9）条件收敛 （10）条件收敛
2. 收敛（提示：利用Dirichlet判别法）
3.（1）提示：
4．不能，例如 5.绝对收敛
6.提示：利用Abel判别法. 7. 提示：

习题7.4
1.（1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7）当时，；当时，；当时，
（8） （9） （10）
2.（1） （2） （3）
（4） （5）
（6）
3.
4.（1）4 （2） （3） （4）.
5.收敛域为，和函数为：，
.

习题7.5
1.
2. .
3.（1） （2）
（3）

（4） （5）
（6） （7）
（8） （9）
（10）
4.（1） （2）.
5.（1） （2）
（3）
6. 7.

习题7.6
1.（1）0.309017054 （2）0.223137
2.（1） （2）
3.（1）2.8354 （2）作积分变换，原积分变为
4.（1） （2）
（3） （4）
5. 1.9744
6.（1）2.00039 （2）1.09864 （3）0.48723 （4）0.921996

习题7.7*
1.（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）对皆发散
2.（1）和函数 （2）
（3）在上不一致收敛，在上一致收敛
3. 一致收敛 4.（1）不一致收敛 （2）一致收敛.
5.（1）一致收敛 （2）一致收敛 （3）一致收敛 （4）一致收敛 （5）一致收敛
6.（1）一致收敛 （2）一致收敛
7.（1）一致收敛 （2）一致收敛 （3）一致收敛 （4）一致收敛
（5）（i）一致收敛 （ii）不一致收敛
8. 提示：利用Cauchy准则
9.（1）
（2）提示：先证若在上一致收敛，则有
10．（1）收敛于 （2）利用一致收敛定义；
（3）利用第9题（2）中提示的结论，
11. 提示：利用定理7.7.13

习题7.8
1.（1）
（2）
.
（3）

（4）

.
（5）

（6）
， .
2. .
3. （1）正弦级数：
余弦级数：
（2）正弦级数；
余弦级数：
（3）正弦级数

余弦级数：

（4）正弦级数：
余弦级数：
4. ， ，.
5.
；
6. .

.
在上的图形为：

7.提示：利用三角函数系1，在上的正交性。

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