含参数的一元二次不等式及其解法.doc

阳东广雅中学高二数学学案——3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法 2010-10-15

3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法
一．自主学习
1．含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的整式不等式叫一元二次不等式，其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)。
2．一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数有着密切的联系。

判别式
△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0

二次函数
y=ax2+bx+c
（a>0）的图象

一元二次方程
ax2+bx+c=0的解(a>0)

一元二次不等式ax2+bx+c>0
（a>0）的解

一元二次不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解

　以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。
二．自主探究
在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。
【题型一】对根的大小讨论
例1． 解关于x的不等式　x2-2x+1-a2≥0.
解析：若不等式对应方程的根中含有参数，则须按的大小来分类，即分<，=，>三种情况。

【题型二】对首项系数a的讨论
例2． 解关于x的不等式　ax2+(1-a)x-1>0

解析：解含有参数的一元二次不等式时，若二次项系数含有参数，则应首先对二次项系数进行讨论，再讨论其他情况。

【题型三】与一元二次不等式解法有关的逆向问题
例3．若不等式ax2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集

解析：给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b，c之间的关系。

【题型四】不等式恒成立问题
例4不等式-<0对一切恒成立，求实数m的取值范围.

例5．若不等式x2+2ax+-2a+2>0对一切恒成立，求实数a的取值范围。

命题赏析
(2009山东卷)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则

相减,得

所以。
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