课外辅导---平面向量(学生版).doc

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高考总复习——平面向量
高考中的平面向量主要分为三个部分：
一、向量的概念与几何运算
二、平面向量的坐标运算
三、平面向量的数量积

一、向量的概念与几何运算
1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量．
的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．
3．实数与向量的积
⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：
① | |＝ ．
② 当＞0时，的方向与的方向 ；
当＜0时，的方向与的方向 ；
当＝0时， ．
⑵ (μ)＝ ．
(＋μ)＝ ．
(＋)＝ ．
⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ．
⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是 ．
例：已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．

二、平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：
若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：
＋＝
－＝
λ＝
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ．
4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．
例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．

变式训练1.若，，则= .

例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．

变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．

例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．

变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．

A
M
B
C
D
P
例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；
(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．

变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．

三、平面向量的数量积
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 ．当θ＝0°时，与 ；当θ＝180°时，与 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则·＝ ．
3．向量的数量积的几何意义：
||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．
·的几何意义是，数量·等于 ．
4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．
⑴ ·＝·＝
⑵ ⊥
⑶ 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ．
⑷ cosθ＝ ．
⑸ |·|≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ ·＝ ；
⑵ (λ)·＝ ＝·(λ)
⑶ (＋)·＝

例1. 已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．

变式训练1.已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值．

例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．
(1) 若a⊥b，求；
(2) 求|＋|的最大值．

变式训练2：已知，，其中．
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．

例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．

变式训练3：若，则△ABC的形状是 .

例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.

变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.
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