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高中数学考试大纲
第一部分 学科专业基础
一、数学分析
(一)实数集与函数
1. 实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式。
2. 数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确
界,确界原理。
3. 函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图像
法),分段函数。
4. 具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周
期函数。
要求:理解实数的概念,了解绝对值不等式的性质,会解绝对值不
等式;掌握区间和邻域的概念,理解确界概念和确界原理,会利用定义
证明一些简单数集的确界;掌握函数的定义及函数的表示法,了解函数
的运算;了解一些特殊类型的函数。
(二)数列极限
1. 极限概念。
2. 收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性。
3. 数列极限存在的条件:单调有界定理,柯西收敛准则。
要求:理解和掌握数列极限的概念;能运用语言处理极限问题;掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界定理和迫敛性定理),能熟练运用收敛数列的性质求极限;理解数列极限的柯西收
4 8敛准则;了解子列的概念及其与数列极限的关系;了解无穷小数列的概
念及其与数列极限的关系。
(三)函数极限
1. 函数极限的概念,单侧极限的概念。
2. 函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,保不等式
性,迫敛性。
3. 函数极限存在的条件:归结原则(Heine 定理),柯西准则。
4. 两个重要极限。
5. 无穷小量与无穷大量,阶的比较。
要求:理解和掌握函数极限的概念;掌握并能应用 着-啄 语言处理
极限问题;了解函数的单侧极限;理解函数极限的柯西准则;了解函数
极限的性质和归结原则;熟练掌握用两个重要极限处理极限问题。
(四)函数连续
1. 函数连续的概念:一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续
的定义,间断点及其分类。
2. 连续函数的性质:局部性质(局部有界性、局部保号性)及四则
运算;闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、介值性定理、一致连续性定理);复合函数的连续性,反函数的连续性。
3. 初等函数的连续性。
要求:理解一元函数连续性概念及其证明;了解一致连续性的定
义;理解并掌握函数间断点及其分类;理解连续函数的局部性质;了解
单侧连续的概念;能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;了
解反函数的连续性,理解复合函数的连续性、初等函数的连续性。
(五)导数与微分
1. 导数概念:导数的定义,导函数、导数的几何意义。
2. 求导法则:导数公式,导数的运算(四则运算),求导法则(反函
数的求导法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则)。
3. 微分:微分的定义,微分的运算法则,微分的应用。
5 84. 高阶导数与高阶微分。
要求:理解并掌握导数与微分概念,了解它们的几何意义;能熟练
地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数;理解可导性与连续
性的关系;掌握高阶导数的求法;了解导数的几何应用;了解微分在近
似计算中的应用。
(六)微分学基本定理
1. 中值定理:罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。
2. 几种特殊类型的不定式极限与洛必达法则。
3. 泰勒公式。
要求:理解并掌握中值定理的内容、证明及其应用;了解泰勒公式
及其在近似计算中的应用,能够把初等函数按泰勒公式展开;能熟练地
运用洛必达法则求不定式的极限。
(七)导数的应用
1. 函数的单调性与极值。
2. 函数凹凸性与拐点。
要求:理解函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)
及其判断方法,能利用函数的特性解决相关的实际问题。
(八)实数完备性定理及应用
1. 实数完备性六个等价定理:确界原理,单调有界定理,区间套定
理,柯西收敛准则,聚点定理,有限覆盖定理。
2. 闭区间上连续函数整体性质的证明:有界性定理的证明,最大小
值性定理的证明,介值性定理的证明,一致连续性定理的证明。
3. 上、下极限。
要求:了解实数完备性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的
证明;了解聚点的概念,上、下极限的概念。
(九)不定积分
1. 不定积分概念。
2. 换元积分法与分部积分法。
3. 几类可化为有理函数的积分。
6 8要求:理解原函数和不定积分概念;掌握换元积分法、分部积分法;
了解有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。
(十)定积分
1. 定积分的概念:概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条
件。
2. 可积性条件:可积的必要条件和充要条件,达布上和与达布下
和,可积函数类(连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函
数)。
3. 微积分学基本定理:可变上限积分,牛顿-莱布尼茨公式。
4. 非正常积分:无穷积分收敛与发散的概念,审敛法(柯西准则、
比较法、狄利克雷与阿贝尔判别法);瑕积分的收敛与发散的概念,收
敛判别法。
要求:理解定积分概念及函数可积的条件;熟悉一些可积分函数
类,会一些较简单的可积性证明;了解定积分与可变上限积分的性质;
能较好地运用牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法计算一些
定积分;理解广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;能用
收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。
(十一)定积分的应用
1. 定积分的几何应用:平面图形的面积,微元法,已知截面面积函
数的立体体积,旋转体的体积平面曲线的弧长与微分,曲率。
2. 定积分在物理上的应用:功,液体压力,引力。
要求:了解定积分的几何应用;了解定积分在物理上的应用;了解
“微元法冶。
(十二)数项级数
1. 级数的敛散性:无穷级数收敛、发散的概念,柯西准则,收敛级数
的基本性质。
2. 正项级数:比较原理,达朗贝尔判别法,柯西判别法,积分判别
法。
3. 一般项级数:交错级数与莱布尼茨判别法,绝对收敛级数与条件
7 8收敛级数及其性质,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
要求:理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;了
解收敛级数的性质;能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法
判断级数的敛散性;熟悉几何级数、调和级数与级数。
(十三)函数项级数
1. 一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则、优级数判别法、狄利
克雷判别法、阿贝尔判别法)。
2. 一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性、可积性、可微
性)。
要求:理解函数列的收敛域、极限函数的概念;理解函数列一致收
敛的概念;掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明);能够比较熟
练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。
(十四)幂级数
1. 幂级数:阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛
性,幂级数和函数的分析性质。
2. 几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。
要求:理解幂级数、函数的幂级数展开的概念;掌握幂级数的性质;
会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域;会把常见初等函数展
开成幂级数;了解用间接展开法求函数的泰勒展开式。
(十五)傅里叶级数
1. 傅里叶级数:三角函数与正交函数系,傅里叶级数与傅里叶系
数,以2仔 为周期的函数的傅里叶级数,收敛定理。
2. 以2l 为周期的函数的傅里叶级数。
3. 收敛定理的证明。
要求:理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念;了解
傅里叶级数收敛性判别法;能将一些函数展开成傅里叶级数;了解收敛
定理的证明。
(十六)多元函数极限与连续
1. 平面点集与多元函数的概念。
8 82. 二元函数的极限,累次极限。
3. 二元函数的连续性:二元函数的连续性概念,连续函数的局部性
质及初等函数连续性。
要求:理解平面点集、多元函数的基本概念;理解二元函数的极限、
累次极限、连续性概念,会计算一些简单的二元函数极限;了解闭矩形
套定理、有限覆盖定理、多元连续函数的性质。
(十七)多元函数的微分学
1. 可微性:偏导数的概念,偏导数的几何意义,偏导数与连续性,全
微分概念,连续性与可微性,偏导数与可微性。
2. 多元复合函数微分法及求导公式。
3. 方向导数与梯度。
4. 泰勒定理与极值。
要求:理解偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念,
会求简单的偏导数、全微分、高阶偏导数;了解全微分、偏导数、连续之
间的关系;了解泰勒公式;会求多元函数的极值、最值。
(十八)隐函数定理及其应用
1. 隐函数:隐函数的概念,隐函数存在唯一性定理,隐函数求导举
例。
2. 隐函数组:隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行
列式。
3. 几何应用:平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,
曲面的切平面和法线。
4. 条件极值:条件极值的概念,条件极值的必要条件。
要求:理解隐函数的概念及隐函数存在唯一性定理,会求隐函数的
导数;了解隐函数组的概念及隐函数组定理;会求曲线的切线方程、法
平面方程、曲面的切平面方程和法线方程;理解条件极值概念及求法。
(十九)重积分
1. 二重积分概念:二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积分
的性质。
9 82. 二重积分的计算:化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变
换、一般变换)。
3. 含参变量的积分。
4. 三重积分计算:化三重积分为累次积分,换元法(一般变换、柱
面坐标变换、球坐标变换)。
5. 重积分应用:立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量。
6. 含参量非正常积分概念及其一致收敛性:含参变量非正常积分
及其一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则、与函数项级数一
致收敛性的关系、一致收敛的 M 判别法),含参变量非正常积分的分析
性质。
7. 欧拉积分:格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。
要求:理解含参变量定积分的概念与性质;掌握二重、三重积分的
概念、性质、计算及基本应用;了解含参变量非正常积分的收敛与一致
收敛的概念;了解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理及其应用;
了解欧拉积分。
(二十)曲线积分与曲面积分
1. 第一型曲线积分的概念、性质与计算,第一型曲面积分的概念、
性质与计算。
2. 第二型曲线积分的概念、性质与计算,变力做功,两类曲线积分
的联系。
3. 格林公式,曲线积分与路线的无关性,全函数。
4. 曲面的侧,第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分的
关系。
5. 高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关性。
6. 场论初步:场的概念,梯度,散度和旋度。
要求:掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算;了解两
类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系;熟练掌握格林公式的证明
及其应用,会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积
分;了解场论的初步知识。
0 9二、高等代数
(一)多项式
1. 一元多项式、多项式整除的概念。
2. 不可约因式与重因式的性质与判定。
3. 最大公因式、互素的概念和性质。
4. 整系数多项式有理根的判别,Eisenstein 判别法。
5. 复系数与实系数多项式的因式分解。
要求:掌握多项式的整除、因式分解、可约性的概念;掌握代数基本
定理、实系数多项式根的性质和有理系数多项式的不可约判别法;掌握
整系数多项式有理根的判别;正确理解多项式与多项式函数的关系。
(二)行列式
1. 排列,排列的奇偶性。
2. 行列式的定义及其基本性质和计算。
3. 行列式依行(列)展开定理。
4. 拉普拉斯(Laplace)定理。
5. 克莱姆(Cramer)法则。
要求:掌握行列式的概念和性质,熟练应用行列式的性质计算行列
式;了解克莱姆法则及其应用。
(三)线性方程组
1. 矩阵的初等变换、矩阵的秩。
2. 齐次线性方程组的基础解系。
3. 线性方程组有解判别定理,线性方程组解的结构。
要求:能熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组;会用矩阵的初等
变换求矩阵秩;掌握线性方程组有解的判定定理;会求齐次线性方程组
的基础解系及一般线性方程组的全部解。
(四)矩阵
1. 矩阵的运算。
2. 矩阵的秩及判别。
1 93. 可逆矩阵及其判定,矩阵的逆。
4. 矩阵的分块及其应用。
要求:能熟练地进行矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置等),
包括分块矩阵的相应运算;熟练掌握矩阵的初等变换运算;理解初等矩
阵和矩阵的初等变换的关系,会用初等变换求矩阵的逆矩阵。
(五)二次型
1. 二次型及其矩阵表示。
2. 标准形和唯一性。
3. 正定二次型。
要求:掌握二次型和矩阵的关系;会用矩阵方法来处理二次型的问
题;掌握惯性定理和正定型的判别法。
(六)线性空间
1. 线性空间的定义与简单性质。
2. 维数,基与坐标。
3. 线性子空间及其判定。
4. 维数公式。
5. 子空间的直和及其判定。
要求:掌握向量、线性空间、线性关系、基和维数、子空间等概念;理
解线性空间的基和坐标的关系,基变换和坐标变换的关系;掌握子空间
直和的概念及其判别方法。
(七)线性变换
1. 线性变换的定义与运算。
2. 线性变换的矩阵。
3. 特征值与特征向量。
4. 矩阵的对角化。
5. 线性变换的值域、核与不变子空间。
6. 最小多项式。
要求:掌握线性变换的概念,理解在给定基下线性变换和矩阵的相
互关系,线性变换的运算和矩阵运算的关系;掌握线性变换的相空间、
2 9核空间以及不变子空间的概念;掌握特征值和特征向量的概念,矩阵相
似于对角矩阵的条件;掌握凯莱-哈密尔顿定理和最小多项式的概念。
(八)欧几里得空间
1. 欧氏空间的定义与基本性质。
2. 标准正交基。
3. 正交变换与正交矩阵。
4. 对称变换与对称矩阵。
5. 实对称矩阵的标准。
要求:掌握内积及欧氏空间的概念;掌握正交基和 Schmidt 正交化
方法;掌握对称变换、正交变换的概念;理解正交变换和正交矩阵的关
系;会求实对称矩阵的正交相似标准形。
三、空间解析几何
(一)空间坐标系与向量代数
1. 空间直角坐标系的建立。
2. 向量代数。
3. 利用向量法解立体几何问题。
要求:掌握矢量及其运算的基本知识;熟练掌握利用矢量建立坐标
系的方法;能够正确地运用矢量工具解决有关的数学问题和实际问题;
理解空间曲线、曲面的一般方程与参数方程。
(二)空间的平面与曲线
1. 平面方程,平面间相关位置。
2. 空间直线、平面间的位置关系。
3. 点、直线、平面的度量关系。
4. 平面束。
要求:能够以矢量和坐标系为工具建立空间直线与平面的方程;能
利用代数的方法熟练地判定平面与平面、空间直线与空间直线、空间直
线与平面的位置关系;会利用平面束的方程解决有关问题。
(三)常见的曲面
3 91. 空间曲面与空间曲线的参数方程。
2. 柱面,锥面,旋转曲面。
3. 椭球面,双曲面,抛物面。
4. 直纹二次曲面。
要求:掌握建立柱面、锥面、旋转曲面方程的一般方法;熟练掌握椭
球面、双曲面、抛物面的方程及其图形的特点;理解单叶双曲面与双曲
抛物面的直纹性。
第二部分摇 学科课标与教材
一、必考内容与考试要求
(一)集合
1. 集合的含义与表示。
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系。
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不
同的具体问题。
2. 集合间的基本关系。
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义。
3. 集合的基本运算。
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并
集与交集。
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的
补集。
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
(二)函数概念与基本初等函数玉(指数函数、对数函数、幂函数)
1. 函数。
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了
4 9解映射的概念。
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像
法、列表法、解析法)表示函数。
(3)了解简单的分段函数,并能简单应用。
(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体
函数,了解函数奇偶性的含义。
(5)会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2. 指数函数。
(1)了解指数函数模型的实际背景。
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运
算。
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数
图像通过的特殊点。
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。
3. 对数函数。
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对
数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用。
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握函数图像
通过的特殊点。
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。
(4)了解指数函数 y = ax
与对数函数 y = logax 互为反函数( a>0,a
屹1)。
4. 幂函数。
(1)了解幂函数的概念。
(2)结合函数 y = x,y = x
2
,y = x
3
,y =
1
x
,y = x
1
2的图像,了解它们的变
化情况。
5. 函数与方程。
(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断
5 9一元二次方程根的存在性及根的个数。
(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解。
6. 函数模型及其应用。
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上
升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在
社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
(三)立体几何初步
1. 空间几何体。
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些
特征描述现实生活中简单物体的结构。
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易
组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧
法画出它们的直观图。
(3)会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三
视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式。
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础
上,尺寸、线条等不作严格要求)。
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记
忆公式)。
2. 点、直线、平面之间的位置关系。
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推
理依据的公理和定理。
公理1摇 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上
所有的点在此平面内。
公理2摇 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3摇 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只
有一条过该点的公共直线。
公理4摇 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
6 9定理摇 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那
么这两个角相等或互补。
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空
间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
淤理解以下判定定理:
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与
此平面平行。
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两
个平面平行。
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线
与此平面垂直。
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直。
于理解以下性质定理,并能够证明:
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互
平行。
垂直于同一个平面的两条直线平行。
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另
一个平面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置
关系的简单命题。
(四)平面解析几何初步
1. 直线与方程。
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要
素。
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的
计算公式。
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
7 9(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点
斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系。
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行
直线间的距离。
2. 圆与方程。
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程。
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,根据给
定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
3. 空间直角坐标系
(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置。
(2)会推导空间两点间的距离公式。
(五)算法初步
1. 算法的含义、程序框图。
(1)了解算法的含义,了解算法的思想。
(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序,条件分支,循环。
2. 基本算法语句。
理解几种基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语
句、循环语句)的含义。
(六)统计
1. 随机抽样。
(1)理解随机抽样的必要性和重要性。
(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和
系统抽样方法。
2. 用样本估计总体。
(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方
图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点。
8 9(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差。
(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并
给出合理的解释。
(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特
征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想。
(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简
单的实际问题。
3. 变量的相关性。
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变
量间的相关关系。
(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公
式建立线性回归方程。
(七)概率
1. 事件与概率。
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的
意义,了解频率与概率的区别。
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式。
2. 古典概型。
(1)理解古典概型及其概率计算公式。
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
3. 随机数与几何概型。
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。
(2)了解几何概型的意义。
(八)基本初等函数域(三角函数)
1. 任意角的概念、弧度制。
(1)了解任意角的概念。
(2)了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化。
2. 三角函数。
(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
9 9(2)能利用单位圆中的三角函数线推圆中的三角函数线推导出仔
2
依琢,仔依琢 的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出 y = sinx,y = cosx,y =
tanx 的图像,了解三角函数的周期性。
(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2仔]的性质(如单调性、最
大值和最小值以及与 x 轴交点等),理解正切函数在区间( -
仔
2
,
仔
2
)内
的单调性。
(4)理解同角三角函数的基本关系式:sin2
x+cos
2
x = 1,
sinx
cosx
= tanx。
(5)了解函数 y = Asin(棕x+渍)的物理意义;能画出 y = Asin(棕x+渍)
的图像,了解参数 A,棕,渍 对函数图像变化的影响。
(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三
角函数解决一些简单实际问题。
(九)平面向量
1. 平面向量的实际背景及基本概念。
(1)了解向量的实际背景。
(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。
(3)理解向量的几何表示。
2. 向量的线性运算。
(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含
义。
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3. 平面向量的基本定理及坐标表示。
(1)了解平面向量的基本定理及其意义。
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4)理解用坐标表示平面向量共线的条件。
0 0 14. 平面向量的数量积。
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平
面向量的垂直关系。
5. 向量的应用。
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
(十)三角恒等变换
1. 和与差的三角函数公式。
(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公
式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
2. 简单的三角恒等变换。
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差
化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)。
(十一)解三角形
1. 正弦定理和余弦定理。
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。
2. 应用。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题。
(十二)数列
1. 数列的概念和简单表示法。
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公
式)。
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。
1 0 12. 等差数列、等比数列。
(1)理解等差数列、等比数列的概念。
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式。
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并
能用有关知识解决相应的问题。
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
(十三)不等式
1. 不等关系。
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际
背景。
2. 一元二次不等式。
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元
二次方程的联系。
(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解
的程序框图。
3. 二元一次不等式组与简单线性规划问题。
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
(2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一
次不等式组。
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能
加以解决。
4. 基本不等式:
a+b
2
逸 ab (a,b逸0)。
(1)了解基本不等式的证明过程。
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
(十四)常用逻辑用语
1. 命题及其关系。
(1)理解命题的概念。
2 0 1(2)了解“若 p,则 q冶形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,
会分析四种命题的相互关系。
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
2. 简单的逻辑联结词。
了解逻辑联结词“或冶、“且冶、“非冶的含义。
3. 全称量词与存在量词。
(1)理解全称量词与存在量词的意义。
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
(十五)圆锥曲线与方程
1. 圆锥曲线。
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用。
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何
性质。
(4)了解圆锥曲线的简单应用。
(5)理解数形结合的思想。
2. 曲线与方程。
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
(十六)空间向量与立体几何
1. 空间向量及其运算。
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌
握空间向量的正交分解及其坐标表示。
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积
判断向量的共线与垂直。
2. 空间向量的应用。
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量。
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂
3 0 1直、平行关系。
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包
括三垂线定理)。
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹
角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用。
(十七)导数及其应用
1. 导数概念及其几何意义。
(1)了解导数概念的实际背景。
(2)理解导数的几何意义。
2. 导数的运算。
(1)能根据导数定义,求函数y = c,y = x,y = x
2
,y = x
3
,y =
1
x
,y = x (c
为常数)的导数。
(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运
算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)
的复合函数)的导数。
常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式:
C忆= 0(C 为常数);(x
n
)忆 = nx
n-1
,n沂N+
;(sinx)忆 = cosx;( cosx)忆 = -
sinx;(e
x
)忆= e
x
;( ax
)忆 = ax
lna( a >0,且 a屹1);( lnx)忆 =
1
x
;( logax)忆 =
1
xln琢
(a>0,且 a屹1).
常用的导数运算法则:
法则1摇 [u(x)依v(x)]忆= u忆(x)依v忆(x);
法则2摇 [u(x)v(x)]忆= u忆(x)v(x)+u(x)v忆(x);
法则3摇 [
u(x)
v(x)
]忆=
u忆(x)v(x)-u(x)v忆(x)
v
2
(x)
(v(x)屹0).
3. 导数在研究函数中的应用。
(1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调
4 0 1性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 会用导数
求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭
区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。
4. 生活中的优化问题。
会利用导数解决某些实际问题。
5. 定积分与微积分基本定理。
(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分
的概念。
(2)了解微积分基本定理的含义。
(十八)推理与证明
1. 合情推理与演绎推理。
(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,
了解合情推理在数学发现中的作用。
(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用
它们进行一些简单推理。
(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
2. 直接证明与间接证明。
(1)了解直接证明的两种基本方法— — —分析法和综合法;了解分
析法和综合法的思考过程、特点。
(2)了解间接证明的一种基本方法— — —反证法;了解反证法的思
考过程、特点。
3. 数学归纳法。
理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题。
(十九)数系的扩充与复数的引入
1. 复数的概念。
(1)理解复数的基本概念。
(2)理解复数相等的充要条件。
5 0 1(3)了解复数的代数表示法及其几何意义。
2. 复数的四则运算。
(1)会进行复数代数形式的四则运算。
(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
(二十)计数原理
1. 分类加法计数原理、分步乘法计数原理。
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些
简单的实际问题。
2. 排列与组合。
(1)理解排列、组合的概念。
(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。
(3)能解决简单的实际问题。
3. 二项式定理。
(1)能用计数原理证明二项式定理。
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
(二十一)概率与统计
1. 概率。
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解
分布列对于刻画随机现象的重要性。
(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用。
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重
复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题。
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算
简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题。
(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所
表示的意义。
2. 统计案例。
了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际
6 0 1问题。
(1)独立性检验。
了解独立性检验(只要求2伊2 列联表)的基本思想、方法及其简单
应用。
(2)回归分析。
了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
(二十二)框图
1. 流程图。
(1)了解程序框图。
(2)了解工序流程图(即统筹图)。
(3)能绘制简单实际问题的流程图,了解流程图在解决实际问题
中的作用。
2. 结构图。
(1)了解结构图。
(2)会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息。
二、选考内容与考试要求
(一)考试内容
1. 坐标系与参数方程。
(1)坐标系。
(2)参数方程。
2. 不等式选讲。
(1)不等式性质。
(2)含有绝对值的不等式。
(3)平均值不等式。
(4)不等式的证明。
(5)不等式的应用。
(6)柯西不等式。
(7)排序不等式。
7 0 1(8)数学归纳法,佰努利不等式。
(二)考试要求
1. 坐标系与参数方程。
(1)坐标系。
淤理解坐标系的作用;于了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下
平面图形的变化情况;盂能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解
在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标
和直角坐标的互化;榆能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直
线、过极点或圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐标系
和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐
标系的意义;虞了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方
法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区
别。
(2)参数方程