数学模型按揭贷款购房.doc

实验报告
按揭贷款购房模型

实验目的
1.练习用差分方程建立离散动态过程的数学模型，并用MATLAB计算其数值解；
2.了解差分方程平衡点及其稳定性的基本知识；
3. 练习数值微分的计算。
实验内容
小明现有存款20万，月收入6000，准备通过按揭贷款买房，请计算他最多能买价值多少的房子，并按照等额本息和等额本金两种方式计算每月月供。
问题分析
1、按揭贷款买房的条件：
各家银行虽然略有不同，但以下基本一样。
个人住房贷款的发放对象是具有完全民事行为能力的自然人，即年满18周岁的公民。
　　申请个人住房贷款需具备以下条件：
　　1、具有城镇常住户口或有效居留身份；
　　2、有稳定的职业或收入，信用良好，有偿还贷款本息的能力；
　　3、具有购买住房的合同或协议；
　　4、不享受住房补贴的以不低于所购住房全部价款的30%作为购房的首期付款；
　　5、享受住房补贴的个人承担部分的30%作为购房的首期付款；
　　6、有贷款人认可的资产作为抵押或质押，或有足够代偿能力的单位或个人作为保证人；贷款人规定的其他条件。

2、等额本息还款
把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中。作为还款人，每个月还给银行固定金额，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。
每月还款额=[贷款本金×月利率×（1+月利率）^还款总期数]÷[（1+月利率）^还款总期数-1]

3、等额本金还款法
等额本金还款,是指贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。
4、2011年住房按揭贷款利率表
个人按揭银行利率表及按揭月供系数表（2010年12月26日）发布

等额月供（等额本息）计算公式（此处仅计算基准利率下浮15％的月利率）
每月月供=贷款金额整数×相应（-30%或-25%或-10%）的月供系数
例如：货款100万，供20年算；
100×68.451=6845.1元，以后每月一样。
递减月供(等额本金)计算公式（此处仅计算基准利率下浮15％的月利率）
每月月供=贷款金额÷贷款期数＋〔贷款金额－(贷款金额÷贷款期数)×已还期数〕×月利率
结果的数学分析，结果的实际意义，结论
模型假设
1、 假设外界因素的影响不改变还款期限；
2、假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值；
3、假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响；
4、 假设利率、借款期限和最短还款期限都按月计算；
5、假设每次还款都在当次期限的最后一天；
6、假设购房人可以使用的资金只有自己的存款和工资。
模型建立和算法设计
1、 等额月供（等额本息）还款法的数学模型
设A 为贷款额（贷款本金），r 为贷款利率，N 为还款月数，X 为月供，还款数 S。
计算公式：X=A*r*（1+r）N（1+r）N-1 ； S=n*X
2、 等额本金递减还款法的数学模型
设A 为贷款额（贷款本金），r 为贷款利率，N 为还款月数，X 为月供，还款数 S。
计算公式：
Xi=AN+r*A-i-1*AN；
S=（1+N+12*r）*A

程序
初步处理：
由于首付的原因（不低于所购住房全部价款的30%作为购房的首期付款），故购房价格max=20000030%=666666（元）；A=666666-200000=466666（元）；假设每月工资除去开支可供还款的结余为：4800元，还款年数为15年，N=15*12=180、小明第一次买房享受0.85的利率优惠：r=0.00453.
1、等额月供（等额本息）还款法
1、clear all
n=180;
z=sxsy2_1(466666,180,0.00453,180);
k=1:n;
plot(k,z(:,1),k,z(:,1),'*'),
2、 sxsy2_1.m
function z=sxsy2_1(A,n,r,N)

for k=1:n
x(k)=A*r*(1+r)^N/((1+r)^N-1);
fprintf('第%d月供为；%d\n',k,x(k));
end
S=N*x(1),z=x';fprintf('总还款数：%d',S)
运算结果：
第1月供为；3.797220e+003
第2月供为；3.797220e+003
第3月供为；3.797220e+003
第4月供为；3.797220e+003
第5月供为；3.797220e+003
第6月供为；3.797220e+003
第7月供为；3.797220e+003
第8月供为；3.797220e+003
第9月供为；3.797220e+003
第10月供为；3.797220e+003
第11月供为；3.797220e+003
第12月供为；3.797220e+003
第13月供为；3.797220e+003
第14月供为；3.797220e+003
第15月供为；3.797220e+003
第16月供为；3.797220e+003
第17月供为；3.797220e+003
第18月供为；3.797220e+003
第19月供为；3.797220e+003
第20月供为；3.797220e+003
第21月供为；3.797220e+003
第22月供为；3.797220e+003
第23月供为；3.797220e+003
第24月供为；3.797220e+003
第25月供为；3.797220e+003
第26月供为；3.797220e+003
第27月供为；3.797220e+003
第28月供为；3.797220e+003
第29月供为；3.797220e+003
第30月供为；3.797220e+003
第31月供为；3.797220e+003
第32月供为；3.797220e+003
第33月供为；3.797220e+003
第34月供为；3.797220e+003
第35月供为；3.797220e+003
第36月供为；3.797220e+003
第37月供为；3.797220e+003
第38月供为；3.797220e+003
第39月供为；3.797220e+003
第40月供为；3.797220e+003
第41月供为；3.797220e+003
第42月供为；3.797220e+003
第43月供为；3.797220e+003
第44月供为；3.797220e+003
第45月供为；3.797220e+003
第46月供为；3.797220e+003
第47月供为；3.797220e+003
第48月供为；3.797220e+003
第49月供为；3.797220e+003
第50月供为；3.797220e+003
第51月供为；3.797220e+003
第52月供为；3.797220e+003
第53月供为；3.797220e+003
第54月供为；3.797220e+003
第55月供为；3.797220e+003
第56月供为；3.797220e+003
第57月供为；3.797220e+003
第58月供为；3.797220e+003
第59月供为；3.797220e+003
第60月供为；3.797220e+003
第61月供为；3.797220e+003
第62月供为；3.797220e+003
第63月供为；3.797220e+003
第64月供为；3.797220e+003
第65月供为；3.797220e+003
第66月供为；3.797220e+003
第67月供为；3.797220e+003
第68月供为；3.797220e+003
第69月供为；3.797220e+003
第70月供为；3.797220e+003
第71月供为；3.797220e+003
第72月供为；3.797220e+003
第73月供为；3.797220e+003
第74月供为；3.797220e+003
第75月供为；3.797220e+003
第76月供为；3.797220e+003
第77月供为；3.797220e+003
第78月供为；3.797220e+003
第79月供为；3.797220e+003
第80月供为；3.797220e+003
第81月供为；3.797220e+003
第82月供为；3.797220e+003
第83月供为；3.797220e+003
第84月供为；3.797220e+003
第85月供为；3.797220e+003
第86月供为；3.797220e+003
第87月供为；3.797220e+003
第88月供为；3.797220e+003
第89月供为；3.797220e+003
第90月供为；3.797220e+003
第91月供为；3.797220e+003
第92月供为；3.797220e+003
第93月供为；3.797220e+003
第94月供为；3.797220e+003
第95月供为；3.797220e+003
第96月供为；3.797220e+003
第97月供为；3.797220e+003
第98月供为；3.797220e+003
第99月供为；3.797220e+003
第100月供为；3.797220e+003
第101月供为；3.797220e+003
第102月供为；3.797220e+003
第103月供为；3.797220e+003
第104月供为；3.797220e+003
第105月供为；3.797220e+003
第106月供为；3.797220e+003
第107月供为；3.797220e+003
第108月供为；3.797220e+003
第109月供为；3.797220e+003
第110月供为；3.797220e+003
第111月供为；3.797220e+003
第112月供为；3.797220e+003
第113月供为；3.797220e+003
第114月供为；3.797220e+003
第115月供为；3.797220e+003
第116月供为；3.797220e+003
第117月供为；3.797220e+003
第118月供为；3.797220e+003
第119月供为；3.797220e+003
第120月供为；3.797220e+003
第121月供为；3.797220e+003
第122月供为；3.797220e+003
第123月供为；3.797220e+003
第124月供为；3.797220e+003
第125月供为；3.797220e+003
第126月供为；3.797220e+003
第127月供为；3.797220e+003
第128月供为；3.797220e+003
第129月供为；3.797220e+003
第130月供为；3.797220e+003
第131月供为；3.797220e+003
第132月供为；3.797220e+003
第133月供为；3.797220e+003
第134月供为；3.797220e+003
第135月供为；3.797220e+003
第136月供为；3.797220e+003
第137月供为；3.797220e+003
第138月供为；3.797220e+003
第139月供为；3.797220e+003
第140月供为；3.797220e+003
第141月供为；3.797220e+003
第142月供为；3.797220e+003
第143月供为；3.797220e+003
第144月供为；3.797220e+003
第145月供为；3.797220e+003
第146月供为；3.797220e+003
第147月供为；3.797220e+003
第148月供为；3.797220e+003
第149月供为；3.797220e+003
第150月供为；3.797220e+003
第151月供为；3.797220e+003
第152月供为；3.797220e+003
第153月供为；3.797220e+003
第154月供为；3.797220e+003
第155月供为；3.797220e+003
第156月供为；3.797220e+003
第157月供为；3.797220e+003
第158月供为；3.797220e+003
第159月供为；3.797220e+003
第160月供为；3.797220e+003
第161月供为；3.797220e+003
第162月供为；3.797220e+003
第163月供为；3.797220e+003
第164月供为；3.797220e+003
第165月供为；3.797220e+003
第166月供为；3.797220e+003
第167月供为；3.797220e+003
第168月供为；3.797220e+003
第169月供为；3.797220e+003
第170月供为；3.797220e+003
第171月供为；3.797220e+003
第172月供为；3.797220e+003
第173月供为；3.797220e+003
第174月供为；3.797220e+003
第175月供为；3.797220e+003
第176月供为；3.797220e+003
第177月供为；3.797220e+003
第178月供为；3.797220e+003
第179月供为；3.797220e+003
第180月供为；3.797220e+003

S =

6.8350e+005

总还款数：6.834997e+005>>
等额本金递减还款法
程序
1、shsymain2.m
clear all
n=180;
z=sxsy2_2(466666,180,0.00453,180);
k=1:n;
plot(k,z(:,1),k,z(:,1),'*'),
2、 sxsy2_2.m
function z=sxsy2_2(A,n,r,N)

for k=1:n
x(k)=A/N+r*(A-(i-1)*A/N);
fprintf('第%d月供为；%d\n',k,x(k));
end
S=(1+(N+1)*r/2)*A,z=x';fprintf('总还款数：%d',S)

结果：
第1月供为；4.706586e+003
第2月供为；4.694841e+003
第3月供为；4.683097e+003
第4月供为；4.671353e+003
第5月供为；4.659608e+003
第6月供为；4.647864e+003
第7月供为；4.636119e+003
第8月供为；4.624375e+003
第9月供为；4.612630e+003
第10月供为；4.600886e+003
第11月供为；4.589142e+003
第12月供为；4.577397e+003
第13月供为；4.565653e+003
第14月供为；4.553908e+003
第15月供为；4.542164e+003
第16月供为；4.530419e+003
第17月供为；4.518675e+003
第18月供为；4.506931e+003
第19月供为；4.495186e+003
第20月供为；4.483442e+003
第21月供为；4.471697e+003
第22月供为；4.459953e+003
第23月供为；4.448208e+003
第24月供为；4.436464e+003
第25月供为；4.424720e+003
第26月供为；4.412975e+003
第27月供为；4.401231e+003
第28月供为；4.389486e+003
第29月供为；4.377742e+003
第30月供为；4.365997e+003
第31月供为；4.354253e+003
第32月供为；4.342509e+003
第33月供为；4.330764e+003
第34月供为；4.319020e+003
第35月供为；4.307275e+003
第36月供为；4.295531e+003
第37月供为；4.283786e+003
第38月供为；4.272042e+003
第39月供为；4.260298e+003
第40月供为；4.248553e+003
第41月供为；4.236809e+003
第42月供为；4.225064e+003
第43月供为；4.213320e+003
第44月供为；4.201575e+003
第45月供为；4.189831e+003
第46月供为；4.178087e+003
第47月供为；4.166342e+003
第48月供为；4.154598e+003
第49月供为；4.142853e+003
第50月供为；4.131109e+003
第51月供为；4.119364e+003
第52月供为；4.107620e+003
第53月供为；4.095876e+003
第54月供为；4.084131e+003
第55月供为；4.072387e+003
第56月供为；4.060642e+003
第57月供为；4.048898e+003
第58月供为；4.037153e+003
第59月供为；4.025409e+003
第60月供为；4.013665e+003
第61月供为；4.001920e+003
第62月供为；3.990176e+003
第63月供为；3.978431e+003
第64月供为；3.966687e+003
第65月供为；3.954942e+003
第66月供为；3.943198e+003
第67月供为；3.931454e+003
第68月供为；3.919709e+003
第69月供为；3.907965e+003
第70月供为；3.896220e+003
第71月供为；3.884476e+003
第72月供为；3.872732e+003
第73月供为；3.860987e+003
第74月供为；3.849243e+003
第75月供为；3.837498e+003
第76月供为；3.825754e+003
第77月供为；3.814009e+003
第78月供为；3.802265e+003
第79月供为；3.790521e+003
第80月供为；3.778776e+003
第81月供为；3.767032e+003
第82月供为；3.755287e+003
第83月供为；3.743543e+003
第84月供为；3.731798e+003
第85月供为；3.720054e+003
第86月供为；3.708310e+003
第87月供为；3.696565e+003
第88月供为；3.684821e+003
第89月供为；3.673076e+003
第90月供为；3.661332e+003
第91月供为；3.649587e+003
第92月供为；3.637843e+003
第93月供为；3.626099e+003
第94月供为；3.614354e+003
第95月供为；3.602610e+003
第96月供为；3.590865e+003
第97月供为；3.579121e+003
第98月供为；3.567376e+003
第99月供为；3.555632e+003
第100月供为；3.543888e+003
第101月供为；3.532143e+003
第102月供为；3.520399e+003
第103月供为；3.508654e+003
第104月供为；3.496910e+003
第105月供为；3.485165e+003
第106月供为；3.473421e+003
第107月供为；3.461677e+003
第108月供为；3.449932e+003
第109月供为；3.438188e+003
第110月供为；3.426443e+003
第111月供为；3.414699e+003
第112月供为；3.402954e+003
第113月供为；3.391210e+003
第114月供为；3.379466e+003
第115月供为；3.367721e+003
第116月供为；3.355977e+003
第117月供为；3.344232e+003
第118月供为；3.332488e+003
第119月供为；3.320743e+003
第120月供为；3.308999e+003
第121月供为；3.297255e+003
第122月供为；3.285510e+003
第123月供为；3.273766e+003
第124月供为；3.262021e+003
第125月供为；3.250277e+003
第126月供为；3.238532e+003
第127月供为；3.226788e+003
第128月供为；3.215044e+003
第129月供为；3.203299e+003
第130月供为；3.191555e+003
第131月供为；3.179810e+003
第132月供为；3.168066e+003
第133月供为；3.156321e+003
第134月供为；3.144577e+003
第135月供为；3.132833e+003
第136月供为；3.121088e+003
第137月供为；3.109344e+003
第138月供为；3.097599e+003
第139月供为；3.085855e+003
第140月供为；3.074110e+003
第141月供为；3.062366e+003
第142月供为；3.050622e+003
第143月供为；3.038877e+003
第144月供为；3.027133e+003
第145月供为；3.015388e+003
第146月供为；3.003644e+003
第147月供为；2.991899e+003
第148月供为；2.980155e+003
第149月供为；2.968411e+003
第150月供为；2.956666e+003
第151月供为；2.944922e+003
第152月供为；2.933177e+003
第153月供为；2.921433e+003
第154月供为；2.909688e+003
第155月供为；2.897944e+003
第156月供为；2.886200e+003
第157月供为；2.874455e+003
第158月供为；2.862711e+003
第159月供为；2.850966e+003
第160月供为；2.839222e+003
第161月供为；2.827477e+003
第162月供为；2.815733e+003
第163月供为；2.803989e+003
第164月供为；2.792244e+003
第165月供为；2.780500e+003
第166月供为；2.768755e+003
第167月供为；2.757011e+003
第168月供为；2.745266e+003
第169月供为；2.733522e+003
第170月供为；2.721778e+003
第171月供为；2.710033e+003
第172月供为；2.698289e+003
第173月供为；2.686544e+003
第174月供为；2.674800e+003
第175月供为；2.663055e+003
第176月供为；2.651311e+003
第177月供为；2.639567e+003
第178月供为；2.627822e+003
第179月供为；2.616078e+003
第180月供为；2.604333e+003

S =
6.5798e+005
总还款数：6.579827e+005>>
实验结论
同样是从银行贷款466666元，还款年限15年
选择等额本金还款，每月需要偿还银行本金约2593元，首月利息约为2114元，总计首月偿还银行约4707元，随后，每个月的还款本金不变，利息逐渐随本金归还减少，最后一月利息约为11元，合计最后一月还款约为2604元，总还款数约为657983元；
选择等额本息还款，每月还款额约为3797元，总还款数约为683500元；
两者相比等额本息多还款：25517元。
使用等额本金还款，开始时每月负担比等额本息要重。尤其是在贷款总额比较大的情况下，相差可能达数千元。但是，随着时间推移，还款负担逐渐减轻。这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。实际上，很多中年以上的人群，经过一断 时间事业打拼，有一定的经济基础，考虑到年纪渐长，收入可能随着退休等其他因素减少，就可以选择这种方式进行还款。 由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月递减，因此，等额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减（月递减额=月还本金×月利率）。
“等额本息还款法”每月的还款金额数是一样的，对于参加工作不久的年轻人来说，选择“等额本息还款法”比较好，可以减少前期的还款压力。对于已经有经济实力的中年人来说，采用“等额本金还款法”效果比较理想。在收入高峰期多还款，就能减少今后的还款压力，并通过提前还款等手段来减少利息支出。另外，等额本息还款法操作起来比较简单，每月金额固定，不用再算来算去。总而言之，等额本息还款法适用于现期收入少，负担人口少，预期收入将稳定增加的借款人，如部分年轻人，而等额本金还款法则适合有一定积蓄，但家庭负担将日益加重的借款人，如中老年人。