数学高考热点集训.doc

1、(2012·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)．
A．3 B．6 C．8 D．10
2、 (2012·浙江)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝(　　)．
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
3、(2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
4、 设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝(　　)．
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
5、若集合A＝，B＝{x||x＋1|≥2}，则(∁RA)∩B＝(　　)．
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
6、 (2012·湖南)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)．
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
7、 (2012·辽宁)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是(　　)．
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
8、(2012·山东)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9、下列说法正确的是(　　)．
A．函数f(x)＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)
B．函数f(x)＝xα(α＜0)在其定义域上是减函数
C．命题“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是：“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”
D．给定命题p、q，若綈p是假命题，则“p或q”为真命题

10、(2012·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．

11、 (2012·江西)若函数f(x)＝则f(f(10))＝(　　)．
A．lg 101 B．2 C．1 D．0
12、 函数f(x)＝ln(x2－3x＋2)的定义域为________．
13、已知函数f(x)＝则f(log23)＝(　　)．
A．1 B. C. D.
14、 (2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)．
A．既不充分也不必要的条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．充要条件
15、 (2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
16、 (2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
17、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(2 011)＋f(2 013)＝(　　)．
A．1 B．2 C．－1 D．－2
18、 设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是偶函数，则a＝________.
19、 (2012·四川)函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)．

20、 (2011·新课标全国)函数y＝的图象与函数y＝2 sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)．
A．2 B．4 C．6 D．8
21、(2012·山东)函数y＝的图象大致为(　　)．

22、函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是(　　)．

23、函数y＝的图象大致是(　　)．

24、(2012·浙江)设a＞0，b＞0.(　　)．
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
25、(2012·全国)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则(　　)．
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
26、已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为(　　)．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
27、 已知函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围是(　　)．
A．(8，＋∞) B．(－∞，0)∪(8，＋∞)
C．(0,8) D．(－∞，0)∪(0,8)
【例17】► (2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　法一　因为f(0)＝1＋0－2＝－1，
f(1)＝2＋1－2＝1，即f(0)·f(1)＜0，

且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.
法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，可知B正确．
答案　B
【例18】► (2012·天津)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析　去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形结合的方法求解．因为函数y＝＝根据图象易知，函数y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，所以两个函数图象有两个交点时，0＜k＜1或1＜k＜4.
答案　(0,1)∪(1,4)
【例19】► (2012·福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
解析　f(x)＝(2x－1)*(x－1)
＝
即f(x)＝

如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3.
当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，
∴0＜x2x3＜2，即0＜x2x3＜；
当x＜0时，由得x＝，
∴＜x1＜0，∴0＜－x1＜.
∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.
答案　
命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间.
2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.
【押题13】 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)．
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3
C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
答案： D　[由f(x)＝x＋2x＝0，得－x＝2x，则其零点x1＜0；由g(x)＝x－logx＝0，得x＝logx，则其零点0＜x2＜1；由h(x)＝log2x－＝0，得＝log2x，则其零点x3＞1.因此x1＜x2＜x3.]
[押题14] 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

答案： 解析　函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0＜m＜1即可使方程f(x)＝m有三个相异的实数根，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
答案　(0,1)

【例20】► (2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)．
A．64 B．32 C．16 D．8
解析　求导得y′＝－x－(x＞0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.
答案　A
命题研究：重点考查利用导数的几何意义解决有关曲线的切线问题.
[押题15] 如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．
解析　由y′＝4x3－1，得4x3－1＝3，
解得x＝1，此时点P的坐标为(1,0)．
答案　(1,0)

【例21】► (2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，

其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)．
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析　由题图可知，当x ＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.
答案　D
【例22】► (2012·陕西)设函数f(x)＝xex，则(　　)．
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，所以选D.
答案　D
命题研究：1.利用导数求函数的单调区间、极值和最值在选择题、填空题中经常出现.,2.求多项式函数的导数，求解函数解析式中含参数的值或取值范围在选择题、填空题中也常考查.
[押题16] 已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是(　　)．
A．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，极大值f(1)＝1
B．函数f(x)有极大值f(－2)＝－，极小值f(1)＝1
C．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，无极大值
D．函数f(x)有极大值f(1)＝1，无极小值
答案： A　[由f′(x)＝′＝＝0，得x＝－2或x＝1，当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，故x＝－2是函数f(x)的极小值点，且f(－2)＝－，x＝1是函数f(x)的极大值点，且f(1)＝1.]
[押题17] 已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析　由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或者2＜t＜3.
答案　(0,1)∪(2,3)

【例23】► (2012·湖北)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)．

A. B. C. D.
解析　由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2∫0(－x2＋1)dx＝210＝.
答案　B
【例24】► (2012·山东)设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析　由已知得＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
答案　
命题研究：求曲边图形区域的面积问题，是高考考查定积分计算的常见题型，解决这类问题需要结合函数的图象，把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示.对不可分割图形面积的求解，先由图形确定积分的上、下限，然后确定被积函数，再用求定积分的方法计算面积.
[押题18] 设a＝∫0sin xdx，则曲线y＝xax＋ax－2在x＝1处切线的斜率为________．
解析　a＝sin xdx＝－cosx＝－(cos π－cos 0)＝2，则y＝x·2x＋2x－2，y′＝2x＋x·2x·ln 2＋2.
∴y′＝2＋2ln 2＋2＝4＋2ln 2.
答案　4＋2ln 2

【例25】► (2012·山东)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)．
A. B. C. D.
解析　因为θ∈，所以2θ∈，所以cos 2θ＜0，所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sin θ＝.
答案　D
【例26】► (2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析　因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝×＝.
答案　
命题研究：运用三角公式化简、求值是必考内容，主要考查三角函数的定义、平方关系、两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用、变形应用及基本运算能力.
[押题19] 若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝(　　)．
A．－ B．－ C．－2 D.
答案：C　[∵点P在直线y＝－2x上，∴sin α＝－2cos α，∴sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.]
[押题20] 已知＝－，则cos α＋sin α等于(　　)．
A．－ B. C. D．－
答案： D　[＝
＝＝(sin α＋cos α)＝－，
∴sin α＋cos α＝－.]

【例27】► (排除法)(2010·新课标全国)如图，

质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)．

解析　法一　(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，又∵d表示点P到x轴距离，∴图象开始应为下降的，∴排除B，故选C.
法二　由题意知P，
∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2，
当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.故选C.
答案　C
【例28】► (2011·全国)设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)．
A. B．3 C．6 D．9
解析　将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝cos，所得图象与原图象重合，所以cos＝cos ωx，则－ω＝2kπ，得ω＝－6k(k∈Z)．又ω＞0，所以ω的最小值为6，故选C.
答案　C
【例29】► (2012·新课标全国)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)．
A. B.
C. D．(0,2]
解析　函数f(x)＝sin的图象可看作是由函数f(x)＝sin x的图象先向左平移个单位得f(x)＝sin的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数f(x)＝sin的减区间是，所以要使函数f(x)＝sin在 上是减函数，需满足解得≤ω≤.
答案　A
命题研究：求函数的最小正周期，单调区间、奇偶性、定义域、值域以及复合函数的有关性质是命题的方向，多以图象变换考题为主.
[押题21] 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f成立，且f＝1，则实数b的值为(　　)．
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
答案：C　[f＝f，即函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，则f＝2＋b或f＝b－2.又f＝1，所以b＋2＝1或b－2＝1，即b＝－1或3.]
[押题22] 函数f(x)＝3 sin的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3 sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
答案： ①②③

【例30】► (2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　)．
A．2 B．2
C. D.
解析　依题意可得sin2A·sin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B＝sin A，∴＝＝，故选D.
答案　D
【例31】► (2012·湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
解析　∵(a＋b)2－c2＝ab，∴cos C＝＝－，C＝.
答案　
命题研究：1.利用正、余弦定理解三角形的问题常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合命制，以选择题或填空题的形式进行考查；,2.利用正、余弦定理解三角形问题也常与平面向量、三角形的面积等相结合进行命题，以选择题或填空题的形式呈现.
[押题23] 在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C＝(　　)．
A．30° B．60° C．120° D．30°或150°
答案： A　[利用正弦定理可得＝，∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.又∵∠A＝45°，且A＋B＋C＝180°，∴∠C＝30°.]
[押题24] 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(，S)，满足p∥q，则C＝________.
解析　由p∥q，得(a2＋b2－c2)＝4S＝2absin C，即＝sin C，由余弦定理的变式，得cos C＝sin C，即tan C＝，因为0＜C＜π，所以C＝.
答案　

【例32】► (验证法)(2012·全国)在△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)．

A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
解析　由题可知||2＝22＋12＝5，因为AC2＝AD·AB，所以AD＝＝，利用各选项进行验证可知选D.
答案　D
【例33】► (2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
解析　建立

平面直角坐标系如图所示，设P(0，y)，C(0，b)，B(1，b)，A(2，0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|＋3|2＝25＋(3b－4y)2＝16y2－24by＋9b2＋25(0≤y≤b)．当y＝－＝b时，|＋3|min＝5.
答案　5
【例34】► (排除法)(2012·江西)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)．
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
解析　画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D，代入A，cos∠QOP＝＝＝－，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠－，故选A.
答案　A
命题研究：1.结合向量的坐标运算求向量的模；
2.结合平面向量基本定理考查向量的线性运算；
3.结合向量的垂直与共线等知识求解参数.
[押题25] (特例法)(2012·安庆模拟)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析　采用特殊位置，可令△ABC为正三角形，
则根据＋＝－2可知，
O是△ABC的中心，则OA＝OB＝OC，
所以△AOB≌△AOC，
即△AOB与△AOC的面积之比为1.
答案　1
[押题26] 在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
解析　∵＝2，∴＝2，∴P为△ABC的重心．
又知＋＝2，
∴·(＋)＝2·＝－4||2＝－.
答案　－

特例法：根据题设和各选项的具体情况，选取满足条件的特殊值、特殊集合、特殊点、特殊图形、特殊位置状态等，针对各选项进行代入对照或检验，从而得到正确的判断的方法称为特例法．
运用特例法时，要注意：
(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；
(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；
(3)当选择某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到排除所有的错误选项得到正确选项为止．
【例35】► (特例法)(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析　因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
答案　9
【例36】► (特例法)(2012·广州模拟)若函数f(x)＝x2＋(2a＋1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是(　　)．
A．a＜－或a＞ B．－＜a＜
C．a＞－ D．a＜－
解析　取a＝0，则函数化为f(x)＝x2＋|x|＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B和C；再取a＝1，则函数化为f(x)＝x2＋3|x|＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A.故选D.
答案　D
命题研究：1.与指数、对数函数相结合比较大小；
2.简单不等式的解法，特别是一元二次不等式的解法，主要是与函数的定义域、值域相结合的试题；
3.不等式恒成立问题也是高考常考的.
[押题27] 已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是(　　)．
A.＞1 B．a2＞b2
C．lg(a－b)＞0 D.a＜b
答案：D　[取a＝－1，b＝－2，排除A，B，C.]
[押题28] 已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|－2＜x＜1}，则不等式cx2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b的解集为(　　)．
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－1＜x＜2}
C. D.
答案：D　[由题意可知a＞0，且－2,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则解得，所以不等式cx2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b可化为－2ax2＋ax＋a＞－2a(2x－1)＋a，整理得2x2－5x＋2＜0，解得＜x＜2.]

【例37】► (特值法)(2012·福建)下列不等式一定成立的是(　　)．
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＞1(x∈R)
解析　取x＝，则lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.应选C.
答案　C
【例38】► (2010·四川)设a＞b＞c＞0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　)．
A．2 B．4 C．2 D．5
解析　原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a＝，即a＝2b＝5c＝时“＝”成立，故原式的最小值为4，选B.
答案　B
命题研究：基本不等式≥ (a，b＞0)与不等式ab≤≤(a，b∈R)的简单应用是高考常考问题，常以选择题、填空题的形式考查，在解答题中也经常考查.
[押题29] 若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)．
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
答案：D　[取a＝1，b＝3分别代入各个选项，易得只有D选项满足题意．]
[押题30] 已知x＞0，y＞0，xlg 2＋ylg 8＝lg 2，则＋的最小值是________．
解析　因为xlg 2＋ylg 8＝lg 2x＋lg 23y＝lg(2x·23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值是4.
答案　4

【例39】► (2012·广东)已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为(　　)．
A．12 B．11 C．3 D．－1

解析　首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由⇒此时，z＝y＋3x＝11.
答案　B
【例40】► (2012·福建)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)．
A. B．1 C. D．2

解析　可行域如图中的阴影部分所示，函数y＝2x的图象经过可行域上的点，由得即函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x＝m经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1，应选B.
答案　B
命题研究：可行域是二元一次不等式组表示的区域，求目标函数(一般是简单函数)的最优解问题或求含参数的参数值或范围.
[押题31] 甲、乙、丙三种食物的维生素A、维生素D的含量及成本如下表：

甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
60
70
40
维生素D(单位/千克)
80
40
50
成本(元/千克)
11
9
4
某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D，则成本最低为(　　)．
A．84元 B．85元 C．86元 D．88元
答案：B　[设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，混合食物的成本为p元，则z＝10－x－y，p＝11x＋9y＋4z＝11x＋9y＋4×(10－x－y)＝7x＋5y＋40，由题意可得：即作出可行域(如图)，

当直线p＝7x＋5y＋40经过点A时，它在y轴上的截距最小，即p最小，解方程组得x＝5，y＝2，故点A的坐标为(5,2)，所以pmin＝7×5＋5×2＋40＝85.]
[押题32] 若实数x，y满足不等式组目标函数z＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是(　　)．
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案： D　[要使目标函数z＝x－2y取得最大值，只需直线y＝x－在y轴上的截距－最小，当目标函数z＝x－2y＝2时，其对应的直线在y轴上的截距为－1，过点(2,0)，结合图形知，点(2,0)为直线x＝2与x＋2y－a＝0的交点，则2＋2×0－a＝0，得a＝2，选故D.]

【例41】► (排除法)(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)．
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
解析　由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，则由bn＝n2(n∈N*)可排除A、D，又由an＝(n＋1)知an必为奇数，故选C.
答案　C
【例42】► (2012·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________.
解析　设等差数列的公差为d，则2a1＋d＝a1＋2d，把a1＝代入得d＝，所以a2＝a1＋d＝1.Sn＝na1＋d＝n(n＋1)．
答案　1　n(n＋1)
命题研究：1.利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题.利用等差数列的性质解题时要进行灵活变形，尤其是中项公式的运用.,2.在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题.
[押题33] 已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11＜0，a10·a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝(　　)．
A．20 B．17
C．19 D．21
答案： C　[由a9＋3a11＜0得，2a10＋2a11＜0，即a10＋a11＜0，又a10·a11＜0，则a10与a11异号，因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是一个递减数列，则a10＞0，a11＜0，所以S19＝＝19a10＞0，S20＝＝10(a10＋a11)＜0.]
[押题34] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a5＝8，则S6＝________.
解析　由a2＝2，得a1＋d＝2，由 a1＋a5＝8＝2a3，即a3＝4，得a1＋2d＝4，解得a1＝0，d＝2.
所以S6＝0×6＋×2＝30.
答案　30

【例43】► (特例法)(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)．
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析　对任意的等比数列，涉及前2n项和的，可取特殊数列：1，－1,1，－1,1，－1，….则Y＝0，再取n＝1有X＝1，Z＝1，可排除A、B、C.
答案　D
【例44】► (2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析　根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9＞0⇒a1＞0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10＞0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案　2n
命题研究：以客观题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n次和公式、等比中项的性质与证明等，难度中等偏下.)
[押题35] 若数列{an}满足：lgan＋1＝1＋lgan(n∈N*)，a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为(　　)．
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A　[由lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)可得lg an＋1－lg an＝lg＝1(n∈N*)，即＝10，an＞0，an＋1＞0所以数列{an}是以q＝＝10(n∈N*)为公比的正项等比数列，由等比数列的定义，可知a4＋a5＋a6＝a1q3＋a2q3＋a3q3，所以lg(a4＋a5＋a6)＝lg q3(a1＋a2＋a3)＝lg q3＋lg(a1＋a2＋a3)＝3lg q＋lg 10＝4.]
[押题36] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．
解析　因为an＝a1qn－1(q≠0)，又4S2＝S1＋3S3，所以4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解得： q＝.
答案　

【例45】► (2012·天津)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)．
A．[1－，1＋]
B．(－∞，1－，]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2]
D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)
解析　由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2，故选择D.
答案　D
【例46】► (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析　设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
答案　
命题研究：1.以圆的标准方程、一般方程及其应用命题，题目难度较低；
2.以直线与圆的位置关系命题，通常与其他知识(特别是基本不等式)交汇，题目难度稍大.
[押题37] 若点P(1,1)为圆C(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(　　)．
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
答案： D　[由题易得，圆心C(3,0)，kPC＝－，∴kMN＝2，
∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]
[押题38] 若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为2，则k＝________.

解析　易知圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，由于圆的半径是3，因此只要圆心(2,2)到直线y＝kx的距离等于，即可保证圆上恰有三个不同的点到直线l的距离等于2，所以＝，即2(k2－2k＋1)＝1＋k2，即k2－4k＋1＝0，解得k＝2±.
答案　2－或2＋
【例47】► (2010·天津)过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p
＝________.
解析　依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，直角梯形有一个内角为45°，故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，p＝2.
答案　2
【例48】► (2012·江西)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
解析　依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，