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用分类讨论法解题举隅

江苏省徐州市苏山中学 汪昌田 载永正

分类讨论法是指在所要解的问题中，有若干种不同情况，需要分别逐一讨论，才能使问题得到解决，这是一种比较重要而又常用的方法，就思想方法来说，属于从特殊考虑问题，因为在所考虑的每一种情形，对整个问题来说都属于特殊情形，应用这种方法重要的在于分类要不重不漏．
下面以近几年来数学竞赛中的几道试题为例，谈谈分类讨论法在解题中的应用．
例1 设直角三角形三条边长之比为1∶2k∶3k2，则k的值为____．(1990年江苏省初中数学竞赛试题)
解 不妨设直角三角形的三条边长就是1，2k，3k2，分三种情况求解．
(1)若3k2为斜边，则有(3k2)2＝(2k)2+1，即9k4-4k2-1=0，

(2)若2k为斜边，则有(2k)2=(3k2)2+1，即9k4-4k2+1=0，这时△=16-36＜0，故在实数范围内，上述方程无解．
(3)若1为斜边，则有1=(2k)2+(3k2)2，即9k4+4k2-1=0，

例2 已知：n为正整数，且47+4n +41998 是一个完全平方数，则n的值是____．
分析 完全平方公式(a+b)2＝a2+2ab+b2，两数和的平方，等于它们的平方和再加上它们的积的2倍．47+4n +41998 是一个完全平方数，它是哪两个数和的平方呢？47、4n、41998 均可变形为一个完全平方数的形式，而且根据加法交换律，它们的相互位置又可以任意交换，因此这道题目需分情况进行讨论求解．
解 47＝(27)2， 4n=(2n)2，41998=(21998)2
(1)若把27和21998确定为完全平方公式中的两数a和b，则47+4n+41998=(27)2+4n+(21998)2＝(27+21998)2，那么4n＝2×27×21998，∴n＝1003．
(2)若把2n和21998确定为完全平方公式中的两数a和b，则47+4n+41998＝
(2n)2+47+(21998)2＝(2n+21998)2 ，那么47＝2×2n×21998，∴n＝-1985，∵n为正整数，∴n＝-1985不合题意，故舍去．
(3)若把27和2n确定为完全平方公式中的两数a和b，则47+4n+41998=(27)2 +41998+(2n)2=(27+2n)2
于是41998=2×27×2n，∴n=3988
综合上述(1)、(2)、(3)，可得：n为正整数，且47+4n+41998 是一个完全平方数时，n的值为1003或3988