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离散数学形成性考核作业参考答案
作业一

第1章 集合及其运算
1．用列举法表示 “大于2而小于等于9的整数” 集合．
{3,4,5,6,7,8,9}。
2．用描述法表示 “小于5的非负整数集合” 集合．
{x∣x∈Z∧0≤x≤5}。
3．写出集合B={1, {2, 3 }}的全部子集．
{ }，{1}，{{2, 3 }}，{1, {2, 3 }}。
4．求集合A={}的幂集．
Φ，{Φ}，{{Φ}}，{Φ，{Φ}}。
5．设集合A={{a }, a }，命题：{a }P(A) 是否正确，说明理由．
错误。 P(A)中无元素a。
6．设求
(1) (2)
(3)C - A (4)
（1）{3}；（2）{1，2，3，4，5，6}；（3）{4，6}；（4）{2，5}。
7．化简集合表示式：((AB )B) - AB．
((A∪B )∩ B) - A∪B =（ B- A）∪B = （B∩～ A）∪B = B。
8．设A, B, C是三个任意集合，试证： A - (BC ) = (A - B ) - C．
A-(B∪C) = A∩～(B∪C) = A∩～B∩～C = (A - B)–C。
9．填写集合{4, 9 }{9, 10, 4}之间的关系．
10．设集合A = {2, a, {3}, 4}，那么下列命题中错误的是（ A ）．
A．{a}A B．{ a, 4, {3}}A C．{a}A D．A
11．设B = { {a}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ B ）．
A．{a}B B．{2, {a}, 3, 4}B C．{a}B D．{}B

第2章 关系与函数

1．设集合A = {a, b}，B = {1, 2, 3}，C = {3, 4}，求 A(BC)，(AB)(AC ) ，并验证A(BC ) = (AB)(AC )．
A×(B∩C ) = {a, b}×{3} = {<a,3>,<b,3>}；
（A×B）∩（A×C）= {<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}∩
{<a,3>,<a,4>,<b,3><b,4>}={<a,3>,<b,3>}
验证了A×(B∩C ) =（A×B）∩（A×C）。
2．对任意三个集合A, B和C，若ABAC，是否一定有BC？为什么？
当A是空集时，不一定有BC。
当A不是空集时，一定有BC。
x∈A，y∈B，<x,y>∈A×B， <x,y>∈A×C， y∈C。即BC。
3．对任意三个集合A, B和C，试证 若AB = AC，且A，则B = C．
x∈A，y∈B，<x,y>∈A×B， <x,y>∈A×C， y∈C。即BC；
同理：CB，B = C 。
4．写出从集合A = {a，b，c }到集合B = {1}的所有二元关系．
Φ，{<a,1>}，{<b,1>}，{<c,1>}，{<a,1>,<b,1>}，{<b,1>,<c,1>},
{<c,1>,<a,1>}{<a,1>,<b,1>,<c,1>}。
5．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }，R是A上的二元关系，R ={a , bêa , bA , 且a +b = 6}写出R的集合表示式．
{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,3>}。
6．设R从集合A = {a，b，c，d }到B = {1，2，3}的二元关系，写出关系
R ={a , 1，a , 3，b , 2，c , 2，c , 3}的关系矩阵，并画出关系图．
MR =
7．设集合A={a , b , c , d}，A上的二元关系
R ={a , b，b , d，c , c，c , d}，
S ={a , c，b , d，d , b，d , d}．
求RS，RS，R-S，~（RS），RS ．
R∪S = {<a，b>，<a，c>，<b，d>，<c，c>，<c，d>，<d，b>，<d，d>}；
R∩S = {<b,d>}；
R - S = {<a，b>，<c，c>，<c，d>， }；
～(R∪S) = {<a，a>，<a，d>，<b，a>，<b，b>，<b，c>，<c，a>，<c，b>，
<d，a>，<d，c>}；
RS = {<a，b>，<a，c>， <c，c>，<c，d>，<d，b>，<d，d>}；
8．设集合A={1 , 2 }，B = { a , b , c}，C ={a , b}，R是从A到B的二元关系，S是从B到C的二元关系，且R = {<1 , a>，<1 , b>，<2 , c>}， S= {<a , b>，<b , b>}，
用关系矩阵求出复合关系R·S．
M R·S = MR·MS = ；
R·S = {<1，β>}
9．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {1 , 1，1 , 3，2 , 2，3 , 1，3 , 3，3 , 4，4 , 3，4 , 4}，
判断R具有哪几种性质？
自反性、对称性、传递性。
10．设集合A={a , b , c , d }上的二元关系
R = {a , a，a , b，b , b，c , d}，
求r (R)，s (R)，t (R)．
r（R）= {〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，b〉〈c，c〉，〈c，d〉，〈d，d〉}；
s（R）= {〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，a〉〈b，b〉，〈c，d〉，〈d，c〉}；
t（R）= {〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，b〉〈c，d〉 }。
11．设集合A = {a, b, c, d}，R，S是A上的二元关系，且
R = {<a , a> , <a , b> , <b , a> , <b , b> , <c , c> , <c , d> , <d , c> , <d , d>}
S = {<a , b> , <b , a> , <a , c> , <c , a> , <b , c> , <c , b> , <a , a> , <b , b> , <c , c>}
试画出R和S的关系图，并判断它们是否为等价关系，若是等价关系，则求出A中各元素的等价类及商集．
R是等价关系，A/R = {[a]，[c]}。S不是等价关系。
12．图1.1所示两个偏序集A，R 的哈斯图，试分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式．
d
b
a
e
c
f
g
(1)
b
g
d
c
e
f
a
(2)
图1.1 题12哈斯图

A = {a，b，c，d，e，f，g}。
R = {<a，b>，<a，c>，<a，d>，<a，e>，<a，f>，<a，g>，
<b，d>，<b，e>，<c，f>，<c，g>}∪IA。
S = {<a，b>，<a，c>，<a，d>，<a，e>，<a，f>，<d，f>，<e，f>}∪IA。
13．画出各偏序集A，1的哈斯图，并指出集合A的最大元、最小元、极大元和极小元．其中：A={a , b , c , d , e }，
1 = {a , b，a , c，a , d，a , e，b , e,c , e，d , e}IA；
集合A的最大元e、最小元a、极大元e和极小元a。
14．下列函数中，哪些是满射的？那些是单射的？那些是双射的？
(1) f1 ：R R，f (a) = a3 + 1；
(2) f4 ：N {0 , 1}，f (a) = ．
（1）双射；
（2）满射。
15．设集合A= {1, 2 }，B = {a, b, c}，则B A= {<a，1>，<a，2>，<b，1>，
<b，2>，<c，1>，<c，2>} ．
16．设集合A = {1，2，3，4}，A上的二元关系
R ={1 , 2，1 , 4，2 , 4，3 , 3}，
S ={1 , 4，2 , 3，2 , 4，3 , 2}，
则关系（ B ）= {1 , 4，2 , 4}．
A．RS B．RS C．R - S D．S - R

b
c
a
e
d
图1.2 题18哈斯图
17．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {1 , 1，2 , 3，2 , 4，3 , 4}，则R具有（ ）．
A．自反性 B．传递性
C．对称性 D．反自反性
18．设集合A={ a , b , c , d , e }上的偏序关系的哈斯
图如图1.2所示．则A的极大元为 a ，极小元为c、d．

19．设R为实数集，函数f：RR，f (a) = -a2 +2a - 1，则f 是（ D ）．
A．单射而非满射 B．满射而非单射
C．双射 D．既不是单射也不是满射
作业3
一、单项选择题
1．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．
A．{a，{ a }}ÎA B．{ a }ÍA
C．{2}ÎA D．ÎA
正确答案：B
2．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ ）．
A．B Ì A，且BÎA B．BÎ A，但BËA
C．B Ì A，但BÏA D．BË A，且BÏA
正确答案：B
3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．
A．{{1}, {a}} B．{,{1}, {a}}
C．{,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}
正确答案：C
注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．
4．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={a , bêa , bA , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（ ）．
A．自反的 B．对称的
　　C．对称和传递的　 D．反自反和传递的
正确答案：B
因为写出二元关系R的集合表达式为
R = {2 , 6，6 , 2，3 , 5，5 , 3，4 , 4}
显然，R是对称的，不是自反的、反自反的、传递的．
要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式．
5．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4}，
S = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4}，
则S是R的（ ）闭包．
A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对
正确答案：C
想一想：R的自反闭包是什么？
如果集合A={1, 2, 3}，A上的二元关系R={<x, y>|xÎA，yÎA，x+y=8}，那么R的自反闭包是什么？请写出．
2
4
1
3
5
6．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系
的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，
则元素3为B的（ ）．
A．下界 B．最大下界
C．最小上界 D．以上答案都不对
正确答案：C
£
二、填空题
1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 ．
应该填写：2n
如果n=5, n=8，那么A的幂集合P(A)的元素个数分别是多少？
2．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R从A到B的二元关系，
R ={a , bêaA，bB且2a + b4}
则R的集合表示式为 ．
应该填写：R = {1 , 1，1 , 2，1 , 3，2 , 1，2 , 2，3 , 1}
3．设集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，

则R的关系矩阵MR＝
　　　　　　　　　　　　　　　 　　．
应该填写：
因为R ={<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}，由此可以写出R的关系矩阵．
4．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系
R={<a, b>,<c. a>}，S={<a, a>,<a, b>,<c, c>}
则(R·S)－1=　　　　　　　　　　　．
应该填写：{<a, c>, <b, c>}
因为 R·S={<c, a>, <c, b>}，所以(R·S)－1={<a, c>, <b, c>}．
5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则二元关系R具有的性质是　　　　　　　　　．
应该填写：反自反的
6．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是
　　　　　　　　　　　　　 ．
应该填写：{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}
想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C 是否成立？并说明理由．
解：结论不成立．
设A={1, 2}，B={1}，C={2}，则A∪B=A∪C，但B¹C．

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1ÇR2是自反的” 是否成立？并说明理由．
解：结论成立．
因为R1和R2是A上的自反关系，即IAÍR1，IAÍR2．
由逆关系定义和IAÍR1，得IAÍ R1-1；
由IAÍR1，IAÍR2，得IAÍ R1∪R2，IAÍ R1ÇR2．
所以，R1-1、R1∪R2、R1ÇR2是自反的．

a
c
b
e
d
f
3．判断“若偏序集<A，R>的哈斯图如右图所示，则集合A的极大元为a，f；最大元不存在．”是否正确，并说明理由．
解：正确
按照极大元定义：“若对任意aB，且ba，都有
a = b，则称b为B的极大元”，可知a，f是A的极大元，
且最大元不存在．
想一想：“若偏序集<A，R>的哈斯图如右图所示，则集合
A的最大元为a；最小元不存在．” 是否正确？
再给出一个判断说明题，大家要重视的。
想一想：“设N、R分别为自然数集与实数集，f：N→R，f (x)=x+6，则f是单射．”是否成立？并说明理由．

四、计算题
1．设集合A＝{a, b, c}，B={b, d, e}，求
（1）BÇA； （2）AÈB； （3）A－B； （4）BÅA．
解：（1）BÇA={a, b, c}Ç{b, d, e}={ b }
（2）AÈB={a, b, c}È{b, d, e}={a, b, c, d, e }
（3）A－B={a, b, c}－{b, d, e}={a, c}
（4）BÅA= AÈB－BÇA={a, b, c, d, e }－{ b }={a, c, d, e }

2．设集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
（1）写出关系R的表示式；
（2）画出关系R的哈斯图；
（3）求出集合B的最大元、最小元．
1
2
3
4
6
9
5
7
8
10
11
12
关系R的哈斯图
解：（1）R=IAÈ{<1,2>, <1,3>, …, <1,12>, <2,4>, <2,6>, <2,8>, <2,10>, <2,12>, <3,6>, <3,9>, <3,12>, <4,8>, <4,12>, <5,10>, <6,12>}
（2）

（3）集合B没有最大元，最小元是：2

a
d
b
c
3．设集合A＝{a, b, c, d}上的二元关系R的
关系图如右图所示．
（1）写出R的表达式；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）求出R2．
解：（1）R＝{<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d,d>}
（2）
（3）R2 = {<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>}·{<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>}
={<a, a>, <a, c>, <d,d>}

五、证明题
1．试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．
证：若x∈AÈ (BÇC)，则x∈A或x∈BÇC，
即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．
即x∈AÈB 且 x∈AÈC ，
即 x∈(AÈB) Ç (AÈC)，
所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC)．
反之，若x∈(AÈB) Ç (AÈC)，则x∈AÈB 且 x∈AÈC，
即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，
即x∈A或x∈BÇC，
即x∈AÈ (BÇC)，
所以 (AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC)．
因此 AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．

想一想：等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)如何证明？

2．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，则R是等价关系．
证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系．
任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，因为R是对称的，故<b, a>ÎR；
又R是传递的，即当<a, b>ÎR，<b, a>ÎR，可以得到<a, a>ÎR；
由元素a的任意性，知R是自反的．
所以，R是等价关系．

3．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：RÇS也是A上的偏序关系．
证明：① 任意xÎA, <x, x>ÎR, <x, x>ÎS Þ <x, x>ÎRÇS ，所以RÇS有自反性；
② 对任意x, yÎA，因为R，S是反对称的，由
<x, y>ÎRÇS 且 <y, x>ÎRÇS
Û (<x, y>ÎR且<x, y>Î S)且(<y, x>ÎR且<y, x>Î S)
Û (<x, y>ÎR且<y, x>ÎR)且(<x, y>Î S且<y, x>Î S)
Û x= y且y= x，
即x= y．所以，RÇS有反对称性．
③对任意x, y, z ÎA，因为R，S是传递的，由
<x, y>ÎRÇS 且 <y, z>ÎRÇS
Û <x, y>ÎR且<x, y>Î S且<y, z>ÎR且<y, z>Î S
Û <x, y>ÎR且<y, z>ÎR且<x, y>Î S且<y, z>Î S
Û <x, z>ÎR且<x, z>Î S
Û <x, z>ÎRÇS
所以，RÇS有传递性．
总之，RÇS是偏序关系.
4 5 6题无答案
作业4
第6章 命题逻辑
1．判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题．
（1）8能被4整除．
（2）今天温度高吗？! O2 d8 r' @6 o4 E2 O( ]
（3）今天天气真好呀！
（4）6是整数当且仅当四边形有4条边．" [! k" k4 W# E% a
（5）小王是学生，但小李是工人．6 d/ {, U. Y$ J2 u1 O8 ~
（6）除非下雨，否则他不会去．
解：（1）是简单命题，（4）（5）（6）是复合命题．
2．翻译成命题公式
（1）他不会做此事．5 [( h0 C/ ]' e; F( _
（2）他去旅游，仅当他有时间．" D% X- "; s6 o9 R; J" c" P
（3）小王或小李都会解这个题．! T  e* b& B! j1 V0 H5 t
（4）如果你来，他就不回去．
（5）没有人去看展览．/ I4 b0 C. T& [
（6）他没有去看电影，而是去观看了体育比赛．
解：  （1）设P：他会做此事，公式为 P．- n6 M5 X. {/ ~3 Y9 g0 I( E
（2）设P：他去旅游，Q：他有时间，公式为P Q．6 k7 j1 x( C5 z8 e
（3）设P：小王会解这个题，Q：小李会解这个题，公式为P Q．
（4）设P：你来，Q：他回去，公式为P   Q．2 C5 P' e3 I6 P- B& K; S/ X
（5）设P：有人去看展览，公式为 P．
（6）设P：他去看电影Q：他去观看了体育比赛，公式为 P Q．1 L; f" T  k- k' ], Z  H9 p
3．设P，Q的真值为1；R，S的真值为0，求命题公式(P∨Q)∧R∨S∧Q的真值．- T; D# p, n) "; R
解： (P∨Q)∧R∨S∧Q
(1∨1)∧0∨0∧1( p+ ], {3 ?& W, f9 a
1∧0∨0∧17 `. Y0 l  v) R+ {
0∨0
0" O  J/ T( N' c/ b
4．试证明如下逻辑公式
（1） ┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐C ==> ┐（A∨C）
证明：  A* P$ {0 b  ^
  1）┐（A∧┐B）         P# ~9 y! u: u' S8 "+ E+ y9 P7 D
2）┐A∨B              T 1）E$ i6 N. r  k( k% ?1 `( m
3）┐B∨C              P
4）┐C                 P" {; V! [! J& u. J
5）┐B                 T 3） 4）I* O5 R* a  q( q# ?0 P
6）┐A                 T 2） 5）I
7）┐A∧┐C            T 5） 6）I
8）┐（A∨C）          T 7）E
（2） (P→Q)∧(Q→R)∧┐R ==> P( ?% p! _/ L' H  P2 f: s( R" "
证明：/ a; |, v! Y# m/ z# P
1）P→Q            P2 w9 s% ") [/ ^& z
2）Q→R            P) V  J! Y) D# q4 S: ^
3）┐R              P9 |' t7 m/ F2 [( Z
4）┐Q             T 2） 3）I
5）┐P             T 1） 4）I
5．试求下列命题公式的主析取范式，主合取范式．
（1） （P∨(Q∧R)）→(P∧Q)0 m  z; _2 z) r, b- E& c) a
解：   （P∨(Q∧R)）→(P∧Q)
  ┐（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q)9 J+ `3 J' U. F3 D* C  p* ~
（┐P∧（┐Q∨┐R））∨(P∧Q)6 "# V8 `3 z) h% V3 i5 E2 @
（┐P∧┐Q）∨（┐P∧┐R）∨(P∧Q)+ b, D+ L" ": q
（┐P∧┐Q）∧（R∨┐R）∨（┐P∧┐R）∧（Q∨┐Q）∨(P∧Q) ∧（R∨┐R）
（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐R∧Q）∨（┐P∧┐R∧┐Q）∨(P∧Q∧R）∨(P∧Q∧┐R）. @! b7 u$ i0 k1 o) i
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨(P∧Q∧┐R）∨(P∧Q∧R）4 x7 s6 j, b  K, _
  0，1，2，6，7
  3，4，5
（2） ┐(P→Q)∧Q6 }6 s2 P7 D4 z2 K* D; G; `
解： ┐(P→Q)∧Q
  ┐(┐P∨Q)∧Q
  P∧┐Q∧Q
F# l% h8 ~7 ?3 S8 Q+ ^) d3 |
  0，1，2，3，4，5，6，7
6．利用求公式的范式的方法，判断下列公式是否永真或永假．7 n. L1 H6 |8 g3 S% [7 u
     （2）（P∨Q）→R* "( ]/ l8 L; F5 M
解：（P∨Q）→R. S1 R( ?) X1 S4 B8 r7 I
  ┐（P∨Q）∨R
  （┐P∧┐Q）∨R6 v* u+ [) y* g1 r8 x
（┐P∧┐Q）∨R为析取范式，析取的两个合取式不会永真或永假，所以此公式不是永真或永假式．
对其他一些公式也可以通过求主范式进行类似地判断．9 i( Q8 H% i. o8 ?) b
7．设P：昨天天晴，Q：前天下雨，则命题"昨天天晴，但前天下雨"可符号化为（ A ）．
    A．P∧Q           B．P →Q           C．P∨Q           D．Q → P
8．可以确定下述推理的步骤（ D ）是正确的．
A．（1） ┐P∧Q            P
      （2） P                  T（1）I
B．（1） P →Q             P
      （2） Q                 T（1）I
C．（1） P∨Q              P( z" y+ [0 p  X& T
      （2） P                  T（1）I  H! p; ^+ o. M, q- a
D．（1） P∧Q              P
      （2） P                 T（1）I( S+ V7 e& C  }8 I# X( ?
第7章谓词逻辑
１．将下列命题翻译成谓词公式
(1) 每个人都不会来。
(2) 没有人能做这件事。9 v; _5 P( v! d. D) [& e
(3) 有些人能去，但不是所有人都能去。
(4) 如果每人都这样做，那么就没有什么事做不了。" ^$ `" A" f* B8 w+ t
(5) 不是每个人都愿意做这件事。3 C& o+ [; v5 T+ F4 H
(6) 所有人都需要不断地努力学习，争取进步。+ v
解：(1) 设P（x）：x是人，Q（x）：x会来，2 M1 c7 X: Y) v) m% b8 y# x) W" V
公式为（ x）（P（x）→┐Q（x））．
(2) 设P（x）：x是人，Q（x）：x能做这件事，
公式为 ┐（ x）（P（x）∧Q（x））．+ t0 Z  B5 S5 S  m2 p, d
(3) 设P（x）：x是人，Q（x）：x能去，
公式为（ x）（P（x）∧Q（x））∧┐（ x）（P（x）→Q（x））．  q; R+ l. A( ^. b
(4) 设P（x）：x是人，Q（x）：x这样做，R（x）：x是事，S（x,y）：x能做y事，# B. A+ z) z: x8 g- C1 d; s7 U
公式为（ x）（P（x）→Q（x））→ （ y）（ x）（R（y）→P（x）∧┐S（x,y））．4 d9 t, m) "2 a- c- n(5) 设P（x）：x是人，Q（x）：x愿意做这件事，
公式为┐（ x）（P（x）→Q（x））．
(6) 设P（x）：x是人，Q（x）：x需要不断地努力学习，争取进步，* {! E2 P# ]2 u9 @' `
公式为（ x）（P（x）→Q（x））．  B0 X- L4 P) i3 _/ |+ S2 "
2．设谓词A(x)：x是偶数，B(x)：x是奇数，x的取值为1至10之间的正整数，试求出下列谓词公式的值．
（1）（ #x）A（x）∧（ #x）B（x）．
解：（ x）A（x）∧（ x）B（x）$ E+ q% Q5 b2 w7 H, b7 u6 l
（ A（1）∨A（2）∨A（3）∨A（4）∨A（5）∨A（6）∨A（7）∨A（8）∨A（9）∨A（10））∧（ B（1）∨B（2）∨B（3）∨B（4）∨B（5）∨B（6）∨B（7）∨B（8）∨B（9）∨B（10））
（0∨1∨0∨1∨0∨1∨0∨1∨0∨1）∧（1∨0∨1∨0∨1∨0∨1∨0∨1∨0）
（1）∧（1）$ L3 E0 h5 a" z- U! G
1．
（2） （ x）（A（x） B（x））．* ~' [8 I2 H) |) i) M! h1 z: s6 U
类似可求
3．试证明下列公式# P% n: W( J7 p3 [8 G% b* T1 `% P
（2）（ x）（P（x）∧R（x））==> （ x）P（x）∧（ x）R（x）．
证明：; H7 "' V( u& r& I3 a9 j5 a; n
1）（ x）（P（x）∧R（x））        P
2）P（a）∧R（a）               T 1）ES
3）P（a）                       T 2）I
4）（ x）P（x）                  T 3）EG
5）R（a）                       T 2）I
6）（ x）R（x）                  T 5）EG
7）（ x）P（x）∧（ x）R（x）   T 5） 6）I
（3） （ x）A（x）∨B==>（ x）（A（x）→B）．! e% b3 W* w5 r3 o
证明：
1）┐（ x）A（x）∨B          P; E- y# Q$ y# ?$ w
2）（ x）┐A（x）∨B           T 1）E0 k7 m$ T: W" [( ^8 m( O
3）（ x）(┐A（x）∨B)          T 2）E8 V* |/ E8 P5 R( ~+ l" C
4）（ x）（A（x） B）          T 3）E5 ~& g7 }6 V; `5 A& G
4．试证明（ x）（ P（x）→R（x））,（ x） R（x）可逻辑推出（ x）P（x）．; e# c3 ]! R& o" U6 A/ i( d; [( O
证明：8 O/ v# [$ B; ?5 V7 s+ "; Q- `1 B
1）（ x）（┐P（x） R（x））    P
2）（ x）┐R（x）              P
3）┐R（a）                   T 2）US! D, R( d% t! N' z. s6 V
4）┐P（x） R（x）           T 1）US
5）P（a）                     T 3） 4）I
6）（ x）P（x）                T 5）EG* }% ]9 q4 u. c7 v5 @
5．设A（x）：x是人，B（x）：x犯错误，则命题"没有不犯错误的人"可符号化为（ D ）．/ ^2 e0 ]' @: T$ p: h  I
    A．( x)(A(x)∧B(x))                B．┐( x)(A(x) → ┐B(x))( V4 u' s% K) ". f' Q' E
    C．┐( x)(A(x)∧B(x))               D．┐( x)(A(x）∧┐B(x））
6．可以确定下述谓词推理的步骤（ A ）是正确的．( "0 M3 t; Z) n8 ~. `1 b2 d2 ?: g
A．  （1） （ x）P（x）         P
         （2）  P（a）              US（1）
   （3） （ x）P（x）         ES（2）
B．  （1） （ x）P（x）         P
     （2）  P（a）              ES（1）
     （3） （ x）P（x）        US（2）
C．  （1）  P（a）             P
     （2） （ x）P（x）        US（1）
D．  （1）  P（a）             P
     （2） （ a）P（a）        US（1）

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