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活页作业 函数模型及其应用
一、选择题
1．(理)如图，正方形ABCD的顶点A0，，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数s＝f(t)的图象大致是( )
车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：根据汽车加速行驶s＝at2(a＞0)，匀速行驶s＝vt，减速行驶s＝at2(a＜0)结合函数图象可知选A.
答案：A
2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及其以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
解析：设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)·(p＋2)%＝a(p＋0.25)%.解得a＝＝320.故选D.
答案：D
3．(2013·宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元的水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析：设该职工用水x立方米时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.故选A.
答案：A
4．(2013·淮北模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A．[4,8] B．[6,10]
C．[4%,8%] D．[6%,100%]
解析：根据题意得，要使附加税不少于128万元，须30－R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．
答案：A
5．某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为( )
A. B．5
C．± D．－
解析：设投入资金x万元经销甲商品，
则经销乙商品投入资金(20－x)万元，
总利润y＝P＋Q＝＋·.
令y≥5，则＋·≥5，
∴a≥10－，
即a≥对0≤x＜20恒成立，
而f(x)＝的最大值为，
且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.
答案：A
6.
某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药的最迟时间应为( )
二、填空题
7．(金榜预测)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________．
解析：依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为
f(x)＝
当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝520(元)，即若一次性购买上述商品，应付款额为520元．
答案：520元
8．(2013·沈阳模拟)某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n年的保养维修费为2 000(n－1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为________年．
9.
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系为________________________________________________________________________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析：(1)设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则
1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)；
由y＝t－a过点(0.1,1)得1＝0.1－a，a＝0.1，
∴y＝t－0.1(t＞0.1)．
(2)由t－0.1≤0.25＝得t≥0.6，
故至少需经过0.6小时．
答案：(1)y＝ (2)0.6
三、解答题
10．(理)(2013·衡阳模拟)某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值．改造需要投入，假设附加值y(单位：万元)与技术改造投入x(单位：万元)之间的关系满足：①y与a－x和x2的乘积成正比例；②当x＝时，y＝；③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,2]．
(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；
(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入x的值．
解：(1)设y＝k(a－x)x2，由②得k＝4，∴y＝4(a－x)x2.
∵0≤≤t，∴0≤x≤，
其中t为常数，且t∈[0,2]，
∴y＝f(x)的定义域为，t为常数，且t∈[0,2]．
(2)f′(x)＝－4x(3x－2a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝，
(i)当≥即1≤t≤2时，
若x∈，则f′(x)>0；
若x∈，则f′(x)<0，
故当x＝时，ymax＝.
(ii)当<即0≤t＜1时，在x∈时恒有f′(x)>0，此时f(x)在上是增函数，
故当x＝时，ymax＝.
综上，当1≤t≤2，投入x＝时，附加值y最大，为万元；
当0≤t＜1，投入x＝时，附加值y最大，为万元．
10．(文)(2013·滨州模拟)通过研究学生的学习行为，专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，f(t)越大，表明学生注意力越集中，经过实验分析得：
f(t)＝
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
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