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专题综合训练(八)
[专题八 数学思想方法]
(时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0<a<2)有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则下列结论正确的是( )
A．x1>－1 B．x2<0
C．0<x2<1 D．x3>2
2．已知实数x，y满足不等式组则2x－y＋3的最小值是( )
A．3 B．4 C．6 D．9
3．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝3x＋x－3的零点为x1，函数g(x)＝log3x＋x－3的零点为x2，则x1＋x2＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图Z8－1
6．阅读程序框图(如图Z8－1)，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是( )
A．{x∈R|0≤x≤log2 3}
B．{x∈R|－2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log2 3或x＝2}
D．{x∈R|－2≤x≤log2 3或x＝2}
7．已知函数f(x)＝2x＋1，x∈N*.若x0，n∈N*，使f(x0)＋f(x0＋1)＋…＋f(x0＋n)＝63成立，则称(x0，n)为函数f(x)的一个“生成点”．函数f(x)的“生成点”共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0恒成立．如果实数m，n满足不等式组则m2＋n2的取值范围是( )
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．已知cos x＝(x∈R)，则cos＝________．
10．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
11．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．
12．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3.若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是________．
三、解答题(共40分)
13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)求△ABC的面积．
14．(13分)已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，向量p与q垂直，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝log2 an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.
15．(14分)已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1，g(x)＝(ln x－1)·ex＋x，(其中e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)在(0，e]上的单调性；
(2)是否存在实数x0∈(0，＋∞)，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由；
(3)若实数m，n满足m>0，n>0，求证：nnem≥mnen.
专题综合训练(八)
1．C [解析] f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝3x2－4＝0，x＝±.故
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
又因为f(－1)＝3＋a>0，f(0)＝a>0，f(1)＝a－3<0，f(2)＝a>0，综合以上信息可得示意图如图，由图可知，0<x2<1.
2．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图所示，设z＝2x－y，则z为直线2x－y－z＝0在y轴上的截距的相反数．结合图形可知，在点A(1，1)处z最小，所以z的最小值为1.故2x－y＋3的最小值是4.
3．A [解析] ∵y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故φ＝π是曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充分不必要条件．
4．C [解析] 问题等价于f(x)＝m有三个不同的解，等价于函数y＝f(x)与y＝m的图像有三个不同的公共点．在同一坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝m的图像(如图所示)，观察其交点个数，显然当－<m<0时，两个函数图像有三个不同的公共点．
5．C [解析] 由题意知，x1为函数y＝3x与函数y＝3－x交点的横坐标，x2为函数y＝log3 x与函数y＝3－x交点的横坐标．由于函数y＝3x，y＝log3 x互为反函数，点(x1，y1)，(x2，y2)在直线y＝3－x上且关于直线y＝x对称，故x1＋x2＝3.
6．C [解析] 由条件结构知，当－2<x<2时，f(x)＝2x∈；当x≤－2或x≥2时，f(x)＝x＋1∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又∵输出的函数值在区间[1，3]上，∴1≤2x≤3或x＋1＝3，解得0≤x≤log23或x＝2.故选C.
7．B [解析] 由2[(n＋1)x0＋]＋n＋1＝63，得x0＝.如果x0为正整数，则(n＋1)2<63，即n＝1，2，3，4，5，6.当n＝1时，x0＝，不是整数；当n＝2时，x0＝＝9，则点(9，2)为函数f(x)的一个生成点；当n＝3时，x0＝，不是整数；当n＝4时，x0＝，不是整数；当n＝5时，x0＝，不是整数；当n＝6时，x0＝＝1，则(1，6)为函数f(x)的一个生成点．综上所述，y＝f(x)的“生成点”有2个．
8．C [解析] 因为f(n2－8n)＝－f(2－n2＋8n)，所以f(m2－6m＋23)＋f(n2－8n)<0，即f(m2－6m＋23)<f(2－n2＋8n)．由于函数f(x)是定义在R上的增函数，所以m2－6m＋23<2－n2＋8n，即(m－3)2＋(n－4)2<4.又因为m>3，所以点(m，n)为平面上以(3，4)为圆心，2为半径的圆的右半部分的内部，故m2＋n2∈(13，49)．
9.± [解析] 因为cos x＝，sin x＝±，所以cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝±.
10. [解析] ∵⊥，∴·＝·＝－λ2＋2＋·＝0，即－λ×9＋4＋×3×2×＝0，解得λ＝.
11. [解析] 令t＝(t>0)，则a≥＝.令m＝1＋2t>1，则t＝，所以a≥＝＝＝.由于≤＝，故a≥.
12.∪(5，＋∞) [解析] 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由g(x)＝f(x)－loga|x|＝0，得f(x)＝loga|x|，在同一平面直角坐标系下，分别作出函数y＝f(x)与y＝m(x)＝loga|x|的图像．若a>1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则满足m(5)＝loga5<1，此时a>5.若0<a<1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则满足m(－5)＝loga5≥－1，此时0<a≤.故a的取值范围是∪(5，＋∞)．
13．解：(1)∵cos C＝，∴sin C＝.
∵＝，
∴＝，∴sin A＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2＝1＋b2－b，
∴2b2－3b－2＝0，解得b＝2.
故S△ABC＝absin C＝×1×2×＝.
14．解：(1)∵向量p与q垂直，
∴2nan＋1－2n＋1an＝0，即2nan＋1＝2n＋1an，则＝2.
∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝log2 an＋1，则bn＝n，∴an·bn＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①
∴2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，②
由①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝1＋(n－1)2n.
15．解：(1)∵f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝－＋＝，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，e]上单调递增；
②若0<a<e，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增；
③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减．
(2)∵g(x)＝(ln x－1)ex＋x，x∈(0，＋∞)，
∴g′(x)＝＋(ln x－1)ex＋1＝ex＋1.
由(1)易知，当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1在(0，＋∞)上的最小值f(x)min＝f(1)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，＋ln x－1≥0.
又∵ex>0，
∴g′(x)＝ex＋1≥1>0.
由于曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)＝0有实数解，
而g′(x)>0，则方程g′(x)＝0无实数解．
故不存在满足条件的x0.
(3)证明：nnem≥mnen≥en－mnln ≥n－mln ≥1－＋ln －1≥0.由(2)知＋ln x－1≥0，令x＝，则＋ln －1≥0，故原不等式成立．
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