高考数学文复习方案二轮作业手册新课标通用版专题综合训练八专题八数学思想方法Word版含解析.doc

专题综合训练(八)

[专题八　数学思想方法]

(时间：60分钟　分值：100分)

一、选择题(每小题5分，共40分)
1．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0－1 B．x2<0
C．02
2．已知实数x，y满足不等式组则2x－y＋3的最小值是(　　)
A．3 B．4 C．6 D．9
3．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝3x＋x－3的零点为x1，函数g(x)＝log3x＋x－3的零点为x2，则x1＋x2＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

图Z8－1
6．阅读程序框图(如图Z8－1)，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是(　　)
A．{x∈R|0≤x≤log2 3}
B．{x∈R|－2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log2 3或x＝2}
D．{x∈R|－2≤x≤log2 3或x＝2}
7．已知函数f(x)＝2x＋1，x∈N*.若x0，n∈N*，使f(x0)＋f(x0＋1)＋…＋f(x0＋n)＝63成立，则称(x0，n)为函数f(x)的一个“生成点”．函数f(x)的“生成点”共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0恒成立．如果实数m，n满足不等式组则m2＋n2的取值范围是(　　)
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．已知cos x＝(x∈R)，则cos＝________．
10．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
11．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．
12．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3.若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是________．
三、解答题(共40分)
13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)求△ABC的面积．

14．(13分)已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，向量p与q垂直，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝log2 an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.

15．(14分)已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1，g(x)＝(ln x－1)·ex＋x，(其中e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)在(0，e]上的单调性；
(2)是否存在实数x0∈(0，＋∞)，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由；
(3)若实数m，n满足m>0，n>0，求证：nnem≥mnen.

专题综合训练(八)
1．C　[解析] f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝3x2－4＝0，x＝±.故

x

－

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
又因为f(－1)＝3＋a>0，f(0)＝a>0，f(1)＝a－3<0，f(2)＝a>0，综合以上信息可得示意图如图，由图可知，0区域如图所示，设z＝2x－y，则z为直线2x－y－z＝0在y轴上的截距的相反数．结合图形可知，在点A(1，1)处z最小，所以z的最小值为1.故2x－y＋3的最小值是4.

3．A　[解析] ∵y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故φ＝π是曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充分不必要条件．
4．C　[解析] 问题等价于f(x)＝m有三个不同的解，等价于函数y＝f(x)与y＝m的图像有三个不同的公共点．在同一坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝m的图像(如图所示)，观察其交点个数，显然当－两个函数图像有三个不同的公共点．

5．C　[解析] 由题意知，x1为函数y＝3x与函数y＝3－x交点的横坐标，x2为函数y＝log3 x与函数y＝3－x交点的横坐标．由于函数y＝3x，y＝log3 x互为反函数，点(x1，y1)，(x2，y2)在直线y＝3－x上且关于直线y＝x对称，故x1＋x2＝3.
6．C　[解析] 由条件结构知，当－2]＋n＋1＝63，得x0＝.如果x0为正整数，则(n＋1)2<63，即n＝1，2，3，4，5，6.当n＝1时，x0＝，不是整数；当n＝2时，x0＝＝9，则点(9，2)为函数f(x)的一个生成点；当n＝3时，x0＝，不是整数；当n＝4时，x0＝，不是整数；当n＝5时，x0＝，不是整数；当n＝6时，x0＝＝1，则(1，6)为函数f(x)的一个生成点．综上所述，y＝f(x)的“生成点”有2个．
8．C　[解析] 因为f(n2－8n)＝－f(2－n2＋8n)，所以f(m2－6m＋23)＋f(n2－8n)<0，即f(m2－6m＋23)2－6m＋23<2－n2＋8n，即(m－3)2＋(n－4)2<4.又因为m>3，所以点(m，n)为平面上以(3，4)为圆心，2为半径的圆的右半部分的内部，故m2＋n2∈(13，49)．
9.±　[解析] 因为cos x＝，sin x＝±，所以cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝±.
10.　[解析] ∵⊥，∴·＝·＝－λ2＋2＋·＝0，即－λ×9＋4＋×3×2×＝0，解得λ＝.
11.　[解析] 令t＝(t>0)，则a≥＝.令m＝1＋2t>1，则t＝，所以a≥＝＝＝.由于≤＝，故a≥.
12.∪(5，＋∞)　[解析] 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由g(x)＝f(x)－loga|x|＝0，得f(x)＝loga|x|，在同一平面直角坐标系下，分别作出函数y＝f(x)与y＝m(x)＝loga|x|的图像．若a>1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则满足m(5)＝loga5<1，此时a>5.若0abcos C，∴2＝1＋b2－b，
∴2b2－3b－2＝0，解得b＝2.
故S△ABC＝absin C＝×1×2×＝.
14．解：(1)∵向量p与q垂直，
∴2nan＋1－2n＋1an＝0，即2nan＋1＝2n＋1an，则＝2.
∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝log2 an＋1，则bn＝n，∴an·bn＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①
∴2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，②
由①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝1－n)2n－1，
∴Sn＝1＋(n－1)2n.
15．解：(1)∵f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝－＋＝，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，e]上单调递增；
②若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增；
③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减．
(2)∵g(x)＝(ln x－1)ex＋x，x∈(0，＋∞)，
∴g′(x)＝＋(ln x－1)ex＋1＝ex＋1.
由(1)易知，当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1在(0，＋∞)上的最小值f(x)min＝f(1)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，＋ln x－1≥0.
又∵ex>0，
∴g′(x)＝ex＋1≥1>0.
由于曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)＝0有实数解，
而g′(x)>0，则方程g′(x)＝0无实数解．
故不存在满足条件的x0.
(3)证明：nnem≥mnen≥en－mnln ≥n－mln ≥1－＋ln －1≥0.由(2)知＋ln x－1≥0，令x＝，则＋ln －1≥0，故原不等式成立．