三维含时波动方程在球坐标下的求解.doc

毕 业 论 文

题 目： 三维含时波动方程在球坐标下的求解
学 号： 06110901020
姓 名： 朱启龙
教 学 院： 物理科学与技术学院
专业班级： 09物理本科（1）班
指导教师： 高慧昀
完成时间： 2013年 5 月 8 日

毕节学院教务处制

三维含时波动方程在球坐标下的求解

作者姓名：朱启龙 专业班级:09物本（1）班
学号：06110901020 指导老师： 高 慧 昀

摘要：本文利用行波法和分离变量法两种方法研究了三维含时波动方程在球坐标系下的初值问题并进行求解。

关键词：波动方程 ; 分离变量法 ; 行波法 ; 球坐标系

The solution of the wave equation in spherical coordinates in three-dimensional time

Candidate:ZhuQiLong Major: phsices
Student No:06110901020 Advisor: GaoHuiYun

Abstract：This paper line wave method of separation of variables method are two ways to study the three-dimensional wave equation and solve the initial value problem in spherical coordinates.

Key words: wave equation; Method of separation of variables ; Traveling wave method ; Spherical coordinates

目录

引言 1
1 行波法求解三维含时波动方程 2
1.1球面平均法降维 2
1.2 行波法求解 3
2 分离变量法求解三维含时波动方程 6
2.1 分离t,r, ,并求T 6
2.2球函数方程的求解(,) 8
2.3贝赛尔方程2.1.7的求解(r) 11
3 小结 13
参考文献 14
致谢 15

IV

引言
三维含时波动方程描述了波（一种重要的描述自然界中的不同种类的波动现象的偏微分方程）在均匀各项同性弹性介质中的传播。三维含时波动方程是随时间及空间的变化而变化的。对其初值问题的求解，如按我们熟悉常微分方程求解的方法是很难求解的。因此，我们熟悉的常微分方程的求解只适用于少数的某些定解问题，运用行波法（达朗贝尔法）就能解决这个难题；但是，行波法对三维情况也很难求解，故而引人球面平均法将三维情况降至一维以便于运用行波法求解。除此之外，分离变量法也适用于大量的各种各样定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题[1-3]。
本文利用行波法和分离变量法两种方法研究了三维含时波动方程在球坐标系下的初值问题并进行求解。

1行波法求解三维含时波动方程
由于行波法对三维含时波动方程很难直接求解，故本章希望采用某种办法将三维问题转化为一维问题.为此引入球面平均法降维[4].
如三维含时波动方程：
（0.1）
（0.2）
(0.3)
在球坐标系下的算符的表达式为
(0.4)
1.1球面平均法降维
用表示以为中心，r为半径的球面，表示函数在球面上的平均值，则

单位球面上的立体角元，则是只含有r,t的二元函数，下面均用代替，且时，，既，将（0.1）式、(0.2)式、(0.3)式在球面上取平均值得:
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
由于为r和t的函数，所以在球坐标系下，由(0.4)式可得
(1.1.4 )
将(1.14)式代入(1.1.1)式有
既 (1.1.5)
令，将其代入(1.1.2)、（1.1.3）、（1.1.5）式后有
(1.1.6)
式（1.1.6）就是用球面平均法降维后所得的形式.

1.2 行波法求解

到目前为止，（1.1.6）式已完全属于一维r的含时齐次波动方程，此时利用行波法求解是非常方便的，其特征线方程为

解之得
令 (1.2.1)
则

代入(1.1.6)式中的有
（1.2.2）
上式对求积分得
继续对求积分得
将z代入（1.1.6）式后得
（1.2.3）
又将（1.2.3）式代入（1.1.6）式中的，有
（1.2.4）
（1.2.5）
将(1.2.5)变形后得

代入（1.2.4）得

当r=0时，由（1.1.6）式有

则当，既时

当，既时
代入（1.2.3）式得

因此（1.1.6）式的解为
又因为，，则

代入初始条件得

则可以写成

(1.2.6)
也可以将其写为

（1.2.7）
将（1.2.6）和（1.2.7）式叫做三维含时波动方程的泊松公式，从这两式可以看出解在处，于时刻t的值由以为球心，为半径的球面上的初始扰动所确定.故称球面为点解值的决定区域，这是因为在球面上的初始扰动，经过时间t刚好都传播到了点处，换一种说法，在一点出的初始扰动，经过时间t刚好传播在球面上，这表示波以速度a传播[4].

2分离变量法求解三维含时波动方程

分离变量法是将偏微分方程分解为几个常微分方程（有些关于空间的常微分方程带有附件条件构成本征值问题）之积的形式。分离变量法适用于大量的各种各样的定解问题，本章主要针对n维空间的齐次问题（齐次方程和齐次边界问题）[5-7]。
例如：三维空间的齐次问题

2.1 分离t,r, ,并求T
对波动方程（0.1）式分离时间变量t和空间变量r,令 （2.1.1）
将其代入（1.1.1）式得

变形得

两边分别是空间的函数和时间t的函数，则是不会相等的，若要相等，只有两边都等于相同的常数C.令C=-,且为实数，由后面的解答可以知道是本征值或者是两个本征值相加的值.
于是有
于是得到两个微分方程
（2.1.2）
（2.1.3）
而方程的解为
（2.1.4）
且方程（2.1.2）式称为亥姆霍兹方程.
将（0.4）式代入（2.1.2）式有 （2.1.5）
继续分离变量，令，代入(2.1.5)式，并在等式两边同时乘以并移项得

左边是r的函数，右边是与的函数，则左右要相等，只有左边和右边同等于同一个常数D，令，则有
于是得两个方程
（2.1.6）
（2.1.7）
由（2.1.4）式可知，直接分离时间变量和空间变量便可得到的函数表达式.

2.2球函数方程的求解(,)

方程（2.1.6）变形得球函数方程，既
（2.2.1）
分离变量、，令,将其代入球函数方程（2.2.1）式有

两边同时乘以并移项有

两边分别是和的函数，则也不可能左右相等，只有左右都等于一个相同的常数E
则

又得两个微分方程
（2.2.2）
（2.2.3）
常微分方程（2.2.2）满足自然的周期条件，一个确定的极角可以加减2的整数倍，既，则方程（2.2.2）和上述条件构成本征值问题[6-8]，本征值是
（2.2.4）
将（2.2.4）式代入（2.2.2）式有

解之得
（2.2.5）
将（2.2.4）式代入（2.2.3）式有
（2.2.6）
令，相当于，则有

于是（2.2.6）可变为

既
（2.2.7）
当m=0时，上式变为
（2.2.8）
（2.2.7）和（2.2.8）分别叫作l阶连带勒让得方程和l阶勒让得方程
对l阶勒让得方程（2.2.7）运用级数解法
在=0的领域上求解l阶勒让得方程（2.2.8），先将其变形得
（2.2.9）
可见它的系数，都是有限值，二者在=0一定是解析的。所以，=0点一定是方程的常点。由常点领域上解的定理，且其解的泰勒形式为

则

将上面的这些式子全部代入2.16,合并同幂项后各项的系数如下表.

常数项
X项
项
...
项
...

...

...

...

...

...

...

...

...
令同幂项的系数和为零，找出系数的递推公式

既
(2.2.10)
如此，l阶勒让得方程的解可以写为
（2.2.11）
将代入后得
（2.2.12）
对l阶连带勒让得方程（2.2.7）的求解
运用级数解法由于比较复杂，故作变换则有

其中、分别表示f对x求二阶导、一阶导，将以上三式代入（2.2.7）可把（2.2.7）变为
（2.2.13）
（2.2.13）运用级数法来解会简单得多，这里不用此方法，只需要将勒让得方程（2.2.7）对x求导m次，可得
其中，分别表示对x求次、次导，于是
（2.2.14）
可见该式既为（2.2.13）式，所以（2.2.13）的解就是勒让得方程的解（这里用表示，以便进行区别）的m阶导数，既
（2.2.15）

2.3贝赛尔方程（2.1.7）的求解(r)
对于贝赛尔方程（2.2.7）

当k=0时，其变为欧拉型方程
（2.3.1）
欧拉型方程（2.3.1）的解为
（2.3.2）
当，可将自变量和函数作变换，，则（2.3.1）变为
（2.3.3）
在的点为方程（2.3.3）的正则奇点，对于判定方程的根，，两根相减是正整数[9-10]。则由v阶贝塞尔方程的阶的形式得（2.3.3）的解为
（2.3.4）
(2.3.5)
将（2.3.5）代入（2.3.3）后可得A=0，故（2.3.5）式变为
(2.3.6)
令，可将(2.3.6)式表示为
(2.3.7)
则(2.3.3)的通解为
(2.3.8)
将，代入（2.3.4）和(2.3.7)式得

(2.3.9)
(2.3.10)
再由(2.3.8)式可得
(2.3.11)

综上，可得波动方程的通解可由完全表示出来。

3小结
由于用我们所熟悉的求解常微分方程的方法对三维含时波动方程很难求解，所以本文主要研究了三维含时波动方程的两种求解方法。
1， 运用行波法（既达朗贝尔法）求解三维含时波动方程。首先，由于直接利用行波法对三维情况很难求解，于是采用球面平均法将波动方程从三维情况降至一维情况 。其次，运用行波法直接求得三维含时波动方程的解。
2， 由于分离变量法适用于大量各种各样的定解问题，本文第二章阐述了分离变量法求解三维含时波动方程的方法。首先，分离时间变量和空间变量，便可直接得到的函数表达式、球函数方程和贝塞尔方程，然后又对球函数方程和贝塞尔方程分别进行求解。
尽管本文运用了两种方法求解了三维含时波动方程，对于此类方程的求解给出了一定的参考价值；但是，关于其解的物理意义有待进行研究，还需要进一步的工作，本文只是对行波法直接求得的解的物理意思做简单的解释。

参考文献
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[9] 王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论.北京：北京大学出版社，2000.
[10] 吴赣昌.高等数学.北京：中国人民大学出版社，2010.

致谢

在这篇论文完成之际，我要对从选题到写作一直指导我研究工作的高慧昀老师表示最诚挚的谢意！在我论文写作中遇到的相关难题，是在高老师的精心指导、关心和支持下，我才得以完成的。当我有问题时，没有顾及你有多忙就询问高老师，可高老师总是很耐心地向我指导。高老师不仅给了我很大的鼓励和支持，各方面的提高都与高老师对我所倾注的新血和严格要求是息息相关的；感激之情无以言表，对此，我只能用努力的工作和学习来报答你了。最后，祝您身体健康、工作顺利！
此外，我还要感谢学院里我的各科任课老师，是他们渊博的知识开拓了我的视野，丰富了我的知识！感谢所有默默为我们营造良好学习环境的各位领导和非任课老师；感谢各位帮助过我的同学和朋友，感谢鼎力支持我的家人，正是这些方面的帮助，才让我拥有了这样一个充实而快乐的大学生活。

朱启龙
2013年3月27日
15