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正多边形面积的一种计算方法
蔡雪芹
（河西学院 甘肃 张掖 734000）

摘要：
在机械制造和工程建筑中经常会涉及到求正多边形面积的问题，本文给出了一个通用的求正多边形面积的计算方法。用逐步推导的方法得出正多边形面积计算方法。用数学归纳总结的方法，证明了本文所阐述的结论的正确性。正多边形的面积计算公式对于解决某些工程建筑和机械制造有很好的价值，例如铺路，制作螺帽等。
关键词：
正多边形 正多边形中心 正多边形面积 外接圆
一、正多边形概念
正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形[1]。正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心[2]，任何一个正多边形都可作一个外接圆。每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度÷边数。
二、正多边形面积计算公式的推导
1.正三角形面积推导
正三角形和其外接圆如下：
a

图1 正三角形和其外接圆

从上图可以看出，正三角形中心和每个顶点的连线将正三角形分成了三个相等的等腰三角形，因此，我们只需要求出一个小三角形的面积，就可以知道正三角形的面积。正三角形的边长为a，中心角为，小三角形的高为所以正三角形的面积为：
S三角形　＝　×a××3　＝　 （1）
2.正五边形面积推导
正五边形及其外接圆如下图：

图2 正三角形和其外接圆
从上图可以看出，正五边形中心和每个顶点的连线将正五边形分成了五个相等的等腰三角形，因此，我们只需要求出一个小三角形的面积，就可以知道正五边形的面积。正五边形的边长为a，正五边形中心角为，小三角形的高为,所以正五边形的面积为：
S正五边形 = ×a××5= （2）
3.正六边形面积推导
正六边形及其外接圆如下图：

图3 正三角形和其外接圆
从上图可以看出，正六边形中心和每个顶点的连线将正六边形分成了六个相等的等腰三角形，因此，我们只需要求出一个小三角形的面积，就可以知道正六边形的面积。正六边形的边长为a，正六边形中心角为，小三角形的高为，正六边形的面积为：
S正六边形 = ×a××6 = （3）
4.正多边形面积推导
根据正三角形，正五边形，正六边形的面积计算公式（1），（2），（3），可以很容易的得到正多边形的面积计算公式：
S正多边形 = （4） 针对正多边形的面积计算公式（5）可以做出验证，，讲n=3，n=5，n=6逐一带入（1），（2），（3），都与之前的结果相符，圆可以看成正无数边形，那么圆的面积公式S=πr2 与这个公式是否统一呢？将正多边形划分为按中心换分为多个小三角形，小三角形的高记为h,那么a=2 tan h，将其带入我们所求得的正四边形的面积得到S正多边形 =n tanh2，将这个公式与S圆 ＝πr2 相比，当正n边形的n变为无限大时，n tan 无限接近与π，不过n tan 不能化简。所以从表示小三角形的腰来求面积，求得小三角形的腰为，将其记为L，所以a = 2 sin L。带入正多边形面积得S正多边形 = n sin cos L2 ， 将这个公式与S圆 ＝πr2 相比，当正n边形的n变为无限大时，n sin cos 无限接近与π，当n tan 与n sin cos 无限接近时，既有tan ≈sin cos ，又 = tan α，所以cos2 近似等于1，即n 无穷大[3]。说明了所得结论的正确性。
三、 正多边形面积计算公式的应用
小小的螺丝帽在我们的日常生活和生产中有河大的作用，常见的有六角螺帽和四角螺帽，制作同样厚度和宽度（指平行边之间的距离），且小孔直径相同的这两种螺帽，谁用的料少？这个问题就要用到正多边形的面积计算公式来解决，通过计算，可以很容易的得到六角形螺帽的用料少。在建筑工程中，用正多边形铺路要考虑怎样用料少，减少花费，这一系列的问题也要用的上述的正多边形的面积来求解。所以具体的求正多边形的面积给建筑等方面有很大的作用，也将推动机械制造和工程建筑业的进步。
参考文献：
[1]  课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.新课标数学九年级[M].北京:人民教育出版社,2010-5
[2] 正多边形[Z/OL].
[3] 正多边形[Z/OL].