二次函数应用——面积最值问题.doc

课 题
二次函数应用——面积最值问题
授课人
三河十中 李秀云
教学目标
1．知识与技能：巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会求几何图形面积最值问题。
2．过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点
从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数的图像和性质求面积的最值问题。
教学难点
1．正确构建数学模型。
2．对函数图像的顶点、端点与最值关系的理解。
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
一． 温

故

知

新

二、探

究

新

知

三．分

层

评

价

四． 课

堂

小

结
问题热身：
1．二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图像顶点坐标，对称轴和最值。
2．（1）求二次函数y=x2-4x+3的最值。
（2）求函数y= x2-4x+3的最值。（3≤x≤5）
3．抛物线在什么位置取最值？

1．在创设情境中发现问题
【做一做】请你设计一个周长为40cm的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比一比，你发现了什么?

2．在解决问题中找到方法。
【想一想】小明爸爸想用20米的篱笆围成一块矩形绿地，当长和宽各是多少米时，才能使绿地的面积最大？

3．在巩固应用中提高技能。【试一试】为改善校园环境，我校要在一边靠墙（墙长18米）的空地上修建一个矩形花圃，（如图）花圃一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，若花圃BC边长Xm，面积为Sm2？
A
B
C
D

（1）求S与x之间的函数解析式，并确定x的取值范围。(2)当x为何值时，花圃的面积最大？

1．【比一比】
如图点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
2．（你是最棒
的）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P在点A出发，沿AB边以1cm∕秒的速度移动；同时，点Q从点B出发，向点C以2cm∕秒的速度移动。如果P、Q两点分别到达B、C两点就停止运动。回答下列问题：
（1）运动开始第几秒时，三角形PBQ的面积等于8cm2?
A
B
C
D
Q
P
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。（3）t为何值时s最小？求出s最小值。

出示复习问题，引导学生思考：抛物线在什么位置取最值?

1．出示活动内容。
2．引导学生总结发现：（1）该问题中有哪些变量？它们之间有怎样的关系？（2）你如何用数学方式去表示这种关系？（3）你觉得怎样做才能使矩形的面积最大呢？如何解决最值问题呢?

引导学生：
1．找到题中的变量。
2．把其中的一个设为x，另一个设为y，其他变量用含x的代数式表示。
3．找等量关系，建立函数模型
4．确定自变量的取值范围。
5．观察图像最值点，解决问题。

先让学生先独立解决，当出现错解时，提醒学生借助函数图像辅助观察，理解最值的实际意义，体会端点与顶点的不同作用。

设计两组练习，学生可以选作，使不同层次的学生都能体会成功的喜悦。
巡视指导，适时个别点拨。

出示问题，适时点拨。

通过本节课的学习，你有什么收获?

学生回忆旧知，解决问题。

1．分组活动，然后以小组为单位，全班交流矩形的面积，及各组的发现。
2．通过活动，在教师引导下思考解决问题的办法。

在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的思路和方法。

独立思考并解决问题，若有疑问，可组内先交流。

自由选择，独立完成。

独立思考，并尝试解决。

归纳利用函数知识解决几何图形面积最值问题的方法及注意问题。
让学生回忆二次函数的图像和顶点坐标与最值。
练习2的(2)目的是让学生体会到当自变量取值受限制时，最值往往在顶点和端点之间选择。

学生通过自己设计矩形，发现题中的变量和常量，矩形的长、宽改变，面积也随之改变。最值又与二次函数有关，进而联想到用二次函数知识去解决。

把“做一做”中的40厘米改为20米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会数学来源于生活，培养学生用数学的意识

让学生加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，尤其是对定义域的意义有更加深刻的理解。既培养了学生思维的严密性，又为今后灵活运用知识解决问题奠定了基础。

让学生体验成功，激发他们向更高层次挑战。

链接中考，动态几何问题，同时又应用本节新知，对于优等生来说，有(1)、（2）的铺垫，应该能自己解决。

加强教学反思，帮助学生养成系统梳理知识的习惯。
板书设计

二次函数应用——面积最值问题
做一做 试一试

（板演） （学生板演）

小结：

教学反思