二次函数应用——面积最值问题.doc

课 题
二次函数应用——面积最值问题
授课人
三河十中 李秀云
教学目标
1．知识与技能：巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会求几何图形面积最值问题。
2．过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点
从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的图像和性质求面积的最值问题。
教学难点
1．正确构建数学模型。
2．对函数图像的顶点、端点与最值关系的理解。
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
一． 温

故

知

新

二、探

究

新

知

三．分

层

评

价

四． 课

堂

小

结
问题热身：
1．二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图像顶点坐标，对称轴和最值。
2．（1）求二次函数y=x2-4x+3的最值。
（2）求函数y= x2-4x+3的最值。（3≤x≤5）
3．抛物线在什么位置取最值？

1．在创设情境中发现问题
【做一做】请你设计一个周长为40cm的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比一比，你发现了什么?

2．在解决问题中找到方法。
【想一想】小明爸爸想用20米的篱笆围成一块矩形绿地，当长和宽各是多少米时，才能使绿地的面积最大？

3．在巩固应用中提高技能。【试一试】为改善校园环境，我校要在一边靠墙（墙长18米）的空地上修建一个矩形花圃，（如图）花圃一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，若花圃BC边长Xm，面积为Sm2？
A
B
C
D

（1）求S与x之间的函数解析式，并确定x的取值范围。(2)当x为何值时，花圃的面积最大？

1．【比一比】
如图点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
2．（你是最棒
的）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P在点A出发，沿AB边以1cm∕秒的速度移动；同时，点Q从点B出发，向点C以2cm∕秒的速度移动。如果P、Q两点分别到达B、C两点就停止运动。回答下列问题：
（1）运动开始第几秒时，三角形PBQ的面积等于8cm2?
A
B
C
D
Q
P
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。（3）t为何值时s最小？求出s最小值。

出示复习问题，引导学生思考：抛物线在什么位置取最值?

1．出示活动内容。
2．引导学生总结发现：（1）该问题中有哪些变量？它们之间有怎样的关系？（2）你如何用数学方式去表示这种关系？（3）你觉得怎样做才能使矩形的面积最大呢？如何解决最值问题呢?

引导学生：
1．找到题中的变量。
2．把其中的一个设为x，另一个设为y，其他变量用含x的代数式表示。
3．找等量关系，建立函数模型
4．确定自变量的取值范围。
5．观察图像最值点，解决问题。

先让学生先独立解决，当出现错解时，提醒学生借助函数图像辅助观察，理解最值的实际意义，体会端点与顶点的不同作用。

设计两组练习，学生可以选作，使不同层次的学生都能体会成功的喜悦。
巡视指导，适时个别点拨。

出示问题，适时点拨。

通过本节课的学习，你有什么收获?

学生回忆旧知，解决问题。

1．分组活动然后以小组为单位，全班交流矩形的面积，及各组的发现。
2．通过活动，在教师引导下思考解决问题的办法。

在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的思路和方法。

独立思考并解决问题，若有疑问，可组内先交流。

自由选择，独立完成。

独立思考，并尝试解决。

归纳利用函数知识解决几何图形面积最值问题的方法及注意问题。
让学生回忆二次函数的图像和顶点坐标与最值。
练习2的(2)目的是让学生体会到当自变量取值受限制时，最值往往在顶点和端点之间选择。

学生通过自己设计矩形，发现题中的变量和常量，矩形的长、宽改变，面积也随之改变。最值又与二次函数有关，进而联想到用二次函数知识去解决。

把“做一做”中的40厘米改为20米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会数学来源于生活，培养学生用数学的意识

让学生加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，尤其是对定义域的意义有更加深刻的理解。既培养了学生思维的严密性，又为今后灵活运用知识解决问题奠定了基础。

让学生体验成功，激发他们向更高层次挑战。

链接中考，动态几何问题，同时又应用本节新知，对于优等生来说，有(1)、（2）的铺垫，应该能自己解决。

加强教学反思，帮助学生养成系统梳理知识的习惯。
板书设计

二次函数应用——面积最值问题
做一做 试一试

（板演） （学生板演）

小结：

教学反思