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数学分析论文
课题 ：定积分及其简单应用漫笔
学生姓名：欧 习 昌
学 号： 110701010039
系 部：数学与计算机科学学院
专 业：数学与应用数学
年 级：2011数本1班
指导教师：

目录
摘要 1
关键字1
引言 1
第一部分 定积分的基础知识
1 定积分的概念
1.1定积分的定义
1.2定积分的几何意义
2 定积分存在的条件
2.1定积分存在的必要条件
2.2定积分存在的充要条件
2.3可积函数类
3定积分的性质
3.1 基本性质
3.2 积分中值定理
4 定积分的计算方法
4.1 定积分计算的基本公式
4.2定积分的换元公式
4.3 定积分的部分积分公式
4.4 杂例积分
第二部分 定积分的简单应用
1 定积分在平面几何的应用·
1.1微元法·
1.2用定积分求平面图形的面积·
1.3极坐标下平面图形的面积·
2 应用定积分求旋转体的体积·
2.1平行截面积已知的立体体积.·
2.1.1旋转体体积·
3 定积分在物理上的应用·
3.1质心·
3.2变力做功·
3.3电学上的应用·
4.定积分在经济中的应用·
总结·
参考文献·

定积分及其简单应用漫笔
摘要：该篇论文着重讨论积分学的另一个重要的基本问题——定积分。先从定积分的基础知识：积分的概念，积分的充要条件，积分性质，积分计算方法讨论；再来讨论定积分的简单应用。
关键词：定积分 积分中值 积分换元 几何物理应用
引言 定积分是人们在解决实际问题过程中产生，逐渐发展完善起来的，不论在理论还是在实际应用上，都起到十分重要的意义，并且揭示定积分与不定积分之间的关系。同时，定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用。
第一部分 定积分的基础知识
1 定积分的概念
1.1定积分的定义
定义 设函数在区间上有定义，任取分点
把区间任意分割成个小区间，第个小区间的长度为，记.在每个小区间上任取一点作和式，当时，若极限存在，则称函数在上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即
.
其中，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间.
1、2定积分的几何意义
1
设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的
曲边梯形的面积记为.由定积分的定义，知

（1） 当时，
（2） 当时，
（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线
为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时
定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有

其中分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.

2 定积分存在的条件
2、1 定积分的必要条件
定理1 若函数在区间上可积，则在上有界。
2、2 定积分充要条件
设函数在有界，在插入分点
2

把分成个小区间，记

作和式

分别成为对于分割的达布上和与达布下和，它们具有以下性质。
性质1 如果在原有的分点上加入新的分点，则上和不增，下和不减。
性质2 对于一切分法，上和集合{S}有下界m(b-a), 下和集合{S}有上界M(b-a).
性质3 任一个下和S总不超过任一个上和S,即使是对应于不同分法的上和与下和。
定理2（定积分存在的第一充要条件）
函数在上可积的充分必要条件是或
定义 记，称之为在上的幅度，则有

定理3 （定积分存在的第二充要条件）
函数在上可积的充分必要条件是对任意的两个正数及，可找到，使当任一分法满足时，对应于幅度的那些区间的长度之和。
2、3 定积分函数类

3

（1） 若函数为上的连续函数，则在上可积。
（2） 若是区间上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则在上可积。
（3） 若是区间上的单调函数，则在上可积。
以黎曼函数为例

在不可积，但。
3 定积分的性质
由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，为了计算的方便，可以推出定积分具有下述性质，以下所涉及函数讨论的区间上都是可积的.
性质1
性质2 .
注：可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.
性质3（积分的可加性）.
注 ：由于的不确定性，知不论是在之内，还是在之外，这一性质均成立.
性质4 .
性质5（积分的保序性）.
性质6（积分估值定理）如果函数在区间上有最大值和最小值,则

4
性质7 (积分中值定理) 如果函数在区间上连续,则在内至少有一点,使得
.
性质8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设在对称区间上连续,则有
①如果为奇函数,则；
②如果为偶函数,则.
3 定积分值求解法

定积分是特定形式的极限，如果直接利用定义计算定积分是非常繁杂的，有时甚至无法计算.以下将介绍定积分计算的有力的几种方法工具。

3、1变上限定积分
定义 设函数在区间上连续，对于任意，在区间上也连续，所以函数在上也可积.因此是定义在上的函数.记为
，.
称叫做变上限定积分,又称为变上限积分函数.
函数具有如下重要性质.
性质1 如果函数在区间上连续，则在上可导，且.
由性质1知，如果函数在区间上连续，则函数就是
5
在区间上的一个原函数.
性质2 （原函数存在定理） 如果在区间上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为：.
这为下一步研究微积分基本公式奠定基础.
例5.2.1 计算.
解 ==.

3.2微积分的基本公式
定理1 如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么
.
为方便，通常把简记为或者，所以公式可改写为

上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.
定理1揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.
例5.2.7 求.
解 根据定积分性质，得
=
===.
例5.2.6 求.
6
解 ==
==.
3.3 定积分的换元积分法
定理5.4 设函数在区间上连续，并且满足下列条件：
（1），且，；
（2）在区间上单调且有连续的导数；
（3）当从变到时，从单调地变到.
则有

上述公式称为定积分的换元积分公式.
例5.3.2 求.
解法一
设，则，当时，；当时，，于是
====.
解法二
===.
解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变.

2.分部积分法
定理5 设函数和在区间上有连续的导数，则有
7
.
上述公式称为定积分的分部积分公式.选取的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.
例5.3.6 求.
解 ==
===.
4、 杂例积分
例5.2.8 求极限
解 根据定积分定义,得

第二部分 定积分简单的应用
由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.
1、1定积分应用的微元法
为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：

y
a o b x
图5.8
(1)将区间分成个小区间，相应得到个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为；
(2)计算的近似值，即（其中）；
(3)求和得的近似值，即；
(4) 对和取极限得.

8
1.2定积分求平面几何的面积
1.直角坐标系下求面积
(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.
(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.
例5.4.2 求曲线与所围图形的面积.

解 画出所围的图形（如图5.11）.
由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为

.
2.极坐标系下求面积
设极角为积分变量，它的变化区间是，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为，中心角为的圆扇形的面积，从而得面积微元为

9
于是，所求曲边扇形的面积为 .

x
o
图5.13
O 2a x

图5.14

例5.4.4 计算心形线所围图形的面积（如图5.14）.
解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积是极轴上方部分图形面积的两倍.对于极轴上方部分图形，取为积分变量，
，由上述公式得：

.
3．求体积
(1)旋转体的体积
旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.
设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.15）.
取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为
，于是，所求旋转体体积为

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o x

y
d
y+dy
y
y
图5.16
c
o a x x+dx b x
y
图5.15

类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为
.
例5.4.5 求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.
解 (1)绕轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量,,由公式所求椭球体的体积为

.
当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.
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(2)已知平行截面面积求体积
o a x x+dx b x
图5.19
如（图5.19）所示，取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作
为底，为高的柱片，从而得
到体积元素.
于是该物体的体积为：
例5.4.6 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.（如图5.20）
解 取这平面与圆柱体的底面交线为轴
-R o x R x
y
A (x)
图5.20
建立如图5.20的直角坐标系，则底面圆的
方程为.立体中过点且垂直于
轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分
别为，即.
因而截面面积为
.
故所求立体体积为
.
3、定积分在物理学上的应用
(1)变力作功
由物理学知道,物体在常力的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移时,力对物体所作的功是.
即功的微元为
，
因此,从到这一段位移上变力所作的功为
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.
例5.4.7 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即(为比例系数).已知弹簧拉长时,需力,要使弹簧伸长,计算外力所做的功.
解 由题设,时,.代入,得.从而变力为
,由上述公式所求的功为
.
(2)液体静压力
在液面下深度为处的压强为,其中是液体的密度,是重力加速度.如果有一面积为的薄板水平地置于深度为处,那么薄板一侧所受的液体压力
.
即所求的压力微元为:
于是，整个平板一侧所受压力为
.
例5.4.8 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.
解 根据题设条件.建立如图5.23所示的
坐标系，的方程为.取为
积分变量,,在上任一小区
间的压力微元为
，
从而所求的压力为

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3.3电学上的应用
在电学我们知道电流在单位时间所做的功称为电流的功率，即，即功微元在一个周期 内消耗的功为 因此交流电的平均功率的计算公式是：

4.定积分在经济学中应用
(1)已知边际成本，求总成本.
有，其中是固定成本，一般不为零.
(2)已知边际收益，求总成本.
有.其中被称为自然条件，意指当销售量为0时，自然收益为0.
例 某工厂生产某产品（百台）的边际成本为=2（万元/百台）设固定成本为0，边际收益为(万元/百台).求：
（1）生产量为多少时，总利润L最大？最大总利润是多少？
（2）在利润最大的生产量的基础上又生产了50台，总利润减少多少？
解 （1）因，

所以利润函数，则，
令，得唯一驻点，且有.
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故，即产量为2.5百台时，有最大利润，最大利润为
万元.
（2）在2.5百台的基础上又生产了50台，即生产3百台，此时利润为
万元.
即利润减少了0.25万元.
总结
我已经参阅了定积分的基础知识与若干应用；主要介绍了把定积分这个工具怎样应用实际问题的方法，也就是求出复杂图形的面积，种种立体的体积，，交流电流所做的功，求物体重心；虽然该论文未全面地叙述定积分的应用但是基本上能为读者提供了定积分应用的优越性。
参考文献
[1] 《数学分析教程》/上 高孝忠 著
[2] 《高应用等数学》 吴纯 谭莉 主编 机械工业出版社
[3] 《数学分析名师导学》.上册/《大学数学名师导学丛书》编写组编；北京：中国水利水电出版社。
[4] 《微积分》郭运瑞 主编 高等教育出版社

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