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逐点比较法的概念基本原理及特点
  早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步伐，适  用于开环系统。
1.插补原理及特点
原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。
      逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。
特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
逐点比较法直线插补
（1）偏差函数构造

对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye

若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为

若Fi= 0，表示加工点位于直线上；
若Fi> 0，表示加工点位于直线上方；
若Fi< 0，表示加工点位于直线下方。
（2）偏差函数字的递推计算
采用偏差函数的递推式（迭代式）
既由前一点计算后一点

Fi =Yi Xe -XiYe
若Fi>=0，规定向 +X 方向走一步
      Xi+1 = Xi +1
      Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi –Ye

若Fi<0，规定 +Y 方向走一步，则有
      Yi+1 = Yi +1
      Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi =Fi +Xe

（3）终点判别
直线插补的终点判别可采用三种方法。
1）判断插补或进给的总步数：；
2）分别判断各坐标轴的进给步数；
3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。  
（4）逐点比较法直线插补举例
  对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。

逐点比较法圆弧插补
3.逐点比较法圆弧插补
（1）偏差函数

任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为

若Fi=0，表示加工点位于圆上；
若Fi>0，表示加工点位于圆外；
若Fi<0，表示加工点位于圆内
（2）偏差函数的递推计算
1） 逆圆插补
  若F≥0，规定向-X方向
          走一步

 若Fi<0，规定向+Y方向
          走一步
2） 顺圆插补
  若Fi≥0，规定向-Y方向
          走一步
  若Fi<0，规定向+y方向
          走一步
（3）终点判别

1）         判断插补或进给的总步数：

 2）  分别判断各坐标轴的进给步数；

（4）逐点比较法圆弧插补举例
 对于第一象限圆弧AB，
起点A（4，0），终点B（0，4）

4.逐点比较法的速度分析

式中：L —直线长度； 
   V —刀具进给速度；
   N —插补循环数；
   f  —插补脉冲的频率。

所以：

刀具进给速度与插补时钟频率f 和与X轴夹角α有关  
5.逐点比较法的象限处理
（1）分别处理法
四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4个象限的逆时针圆弧插补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式

（2）坐标变换法
用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限顺圆插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象限顺圆和第二、四象限逆圆插补的偏差计算。  

逐点比较法圆弧插补原理
逐点比较法的基本原理是，在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向进给（始终只有一个方向）。
一般地，逐点比较法插补过程有四个处理节拍，如图４－１：
（１）偏差判别。判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差状况；
（２）坐标进给。根据偏差状况，控制相应坐标轴进给一步，使加工点向被加工轮廓靠拢；
（３）重新计算偏差。刀具进给一步后，坐标点位置发生了变化，应按偏差计算公式计算新位置的偏差值；
（４）终点判别。若已经插补到终点，则返回监控，否则重复以上过程。

图4-1　处理节拍  　
圆弧插补
图4-4为第一象限逆圆，现分析其插补规律。
刀尖点位置不外乎３种情况：轮廓线外面（点Ａ），轮廓线上（Ｂ点），轮廓线里面（点Ｃ）。显然，在点Ａ处，为使刀尖点向轮廓圆弧靠拢，应－Ｘ向走一步；Ｃ点处，应＋Ｙ向走一步；至于Ｂ点，看来两个方向均可以，但考虑汇编编程时的方便，现规定往－Ｘ向走一步。
Ａ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｘ2＋Y2＞Ｒ2 　           Ｘ2＋Y2－R2＞0
Ｂ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｘ2＋Y2＝Ｒ2                Ｘ2＋Y2－R2＝0
Ｃ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｘ2＋Y2＜R2                  Ｘ2＋Y2－R2＜0               
原始的偏差计算公式为：Ｆ＝Ｘ2＋Y2－R2（Ｘ，Ｙ为当前插补点动态坐标）。

图4-4　第一象限逆圆插补规律   图4-5　逐点比较法第一象限逆圆插补软件框图
显然，Ｆ＜0时，须＋Y向走一步；Ｆ≥0时，须－Ｘ向走一步。为方便汇编编程和提高计算速度，对偏差Ｆ的计算公式加以简化：
插补点位于Ａ、Ｂ点时，走完下一步（－Ｘ）：动态坐标变为（Ｘ＝Ｘ－１，Ｙ＝Ｙ），新偏差变为Ｆ＝（Ｘ－１）2＋Y2－R2＝Ｆ－２Ｘ＋１。
它比公式Ｆ＝Ｘ2＋Y2－R2计算要方便很多。
插补点位于Ｃ点时，走完下一步（＋Ｙ）：动态坐标变为（Ｘ＝Ｘ，Ｙ＝Ｙ＋１），新偏差变为Ｆ＝Ｘ2＋(Y+1)2－R2=Ｆ＋２Ｙ＋１。
因此，
走完－Ｘ后：偏差计算公式为Ｆ＝Ｆ－２Ｘ＋１，动态坐标修正为Ｘ＝Ｘ－１；
走完＋Ｙ后：偏差计算公式为Ｆ＝Ｆ＋２Ｙ＋１，动态坐标修正为Ｙ＝Ｙ＋１。
图４－5为逐点比较法第一象限逆圆插补软件框图。
逐点比较法圆弧插补汇编语言程序(MCS-8031)
根据该插补软件框图(参见
ＲＰ：ＭＯＶ　ＳＰ，＃６０Ｈ          
　　ＭＯＶ　４ＡＨ，＃００Ｈ  Ｆ单元清零
　　ＭＯＶ　４９Ｈ，＃００Ｈ
　　ＭＯＶ　４８Ｈ，＃０１Ｈ　Ｘ电动机初始化
　　ＭＯＶ　４７Ｈ，＃０２Ｈ　Ｙ电动机初始化
　　ＭＯＶ　ＤＰＴＲ，＃００３０Ｈ
　　ＭＯＶ　Ａ，＃０３Ｈ　　　ＸＹ电动机上电
　　ＭＯＶＸ　@ＤＰＴＲ，Ａ
　　ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　　计算终判值
　　ＭＯＶ　Ａ，５２Ｈ　　　　低位Ｘ、Ｘe相减，得a
　　ＳＵＢＢ　Ａ，４ＥＨ
　　ＭＯＶ　５４Ｈ，Ａ　　　　保存结果于终判值单元低位字节
　　ＭＯＶ　Ａ，５１Ｈ　　　　高位Ｘ、Ｘe相减，得b
　　ＳＵＢＢ　Ａ，４ＤＨ 
　　ＭＯＶ　５３Ｈ，Ａ   　　 保存结果于终判值单元高位字节
　　ＣＬＲ　Ｃ            　　低位Ye、Y相减，得c
　　ＭＯＶ　Ａ，４ＣＨ　　
　　ＳＵＢＢ　Ａ，５０Ｈ　
　　ＭＯＶ　２０Ｈ，Ｃ　　　　暂存Ye、Y低位相减产生的借位位
　　ＡＤＤ　Ａ，５４Ｈ　　　　计算d=a+c，d为低位终判值
　　ＭＯＶ　５４Ｈ，Ａ　　　　保存d于终判值单元低位字节
ＭＯＶ　２１Ｈ，Ｃ　　　　暂存d=a+c产生的进位位
ＭＯＶ　Ａ，４ＢＨ　　
ＭＯＶ　Ｃ，２０Ｈ　　　　恢复Ye、Y低位相减产生的借位位
ＳＵＢＢ　Ａ，４ＦＨ　　　高位Ye、Y相减，得e
ＭＯＶ　Ｃ，２１Ｈ    　　恢复d=a+c产生的进位位
ＡＤＤＣ　Ａ，５３Ｈ　　　计算f=b+e，f为高位终判值
ＭＯＶ　５３Ｈ，Ａ　　　　保存f于终判值单元高位字节
　　　　ＲＰ２：ＡＣＡＬＬ　ＤＬ０　　延时子程序
ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ　　　　取Ｆ高位字节　　　　　　　
ＪＢ　ＡＣＣ．７，ＲＰ６　高位＝1，Ｆ＜0，去ＲＰ６
ＡＣＡＬＬ　ＸＭＭ　　　　高位＝０，Ｆ＞0，Ｘ反转一步
ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　　计算新偏差Ｆ＝Ｆ－２Ｘ＋１
ＭＯＶ　Ａ，４ＡＨ　　　　计算g＝Ｆ－Ｘ低位
ＳＵＢＢ　Ａ，５２Ｈ
ＸＣＨ　Ａ，Ｂ　　　　　　g存入Ｂ寄存器
ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ　　　　计算h＝Ｆ－Ｘ高位
ＳＵＢＢ　Ａ，５１Ｈ
ＸＣＨ　Ａ，Ｂ            低位存Ａ，高位存Ｂ。ＢＡ内容为Ｆ－Ｘ
ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　　计算i＝g－Ｘ＝Ｆ－２Ｘ低位
ＳＵＢＢ　Ａ，５２Ｈ　　　　　　
ＸＣＨ　Ａ，Ｂ　　　　　　Ｂ内容为Ｆ－２Ｘ低位，Ａ内容为Ｆ－Ｘ高位
ＳＵＢＢ　Ａ，５１Ｈ　　　Ａ内容为Ｆ－２Ｘ高位
ＸＣＨ　Ａ，Ｂ　　　　　　ＢＡ内容为Ｆ－２Ｘ
ＡＤＤ　Ａ，＃０１Ｈ　　　计算Ｆ－２Ｘ＋１
ＭＯＶ　４ＡＨ，Ａ　　　　４Ａ内容为Ｆ－２Ｘ＋１低位
ＸＣＨ　Ａ，Ｂ　　　　　　Ｂ内容为Ｆ－２Ｘ＋１低位，Ａ内容为Ｆ－２Ｘ高位
ＡＤＤＣ　Ａ，＃００Ｈ　　考虑Ｆ－２Ｘ＋１的进位
ＭＯＶ　４９Ｈ，Ａ　　　　４９Ｈ的内容为Ｆ－２Ｘ＋１高位
ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　　计算Ｘ＝Ｘ－１
ＭＯＶ　Ａ，５２Ｈ        低位
ＳＵＢＢ　Ａ，＃０１Ｈ
ＭＯＶ　５２Ｈ，Ａ
ＭＯＶ　Ａ，５１Ｈ        高位
ＳＵＢＢ　Ａ，＃００Ｈ
ＭＯＶ　５１Ｈ，Ａ
ＲＰ４：ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　终判值减１
　　　ＭＯＶ　Ａ，５４Ｈ
　　　ＳＵＢＢ　Ａ，＃０１Ｈ
　　　ＭＯＶ　５４Ｈ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，５３Ｈ
　　　ＳＵＢＢ　Ａ，＃００Ｈ
　　　ＭＯＶ　５３Ｈ，Ａ
　　　ＯＲＬ　Ａ，５４Ｈ
　　　ＪＮＺ　ＲＰ２　　　　　　插补没结束，转至ＲＰ２
　　　ＬＪＭＰ　００００Ｈ　　
ＲＰ６：ＡＣＡＬＬ　ＹＭＰ　　　Ｙ电动机正转
　　　ＭＯＶ　Ｒ６，＃０２Ｈ  　此处“２”，为“Ｆ＋２Ｙ＋１”的“２”
ＲＰ７：ＭＯＶ　Ａ，４ＡＨ　　　　　　Ｆ＋２Ｙ＋１
　　　ＡＤＤ　Ａ，５０Ｈ
　　　ＭＯＶ　４ＡＨ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ　　　　　　　
　　　ＡＤＤＣ　Ａ，４ＦＨ
　　　ＭＯＶ　４９Ｈ，Ａ
　　　ＤＪＮＺ　Ｒ６，ＲＰ７　　　　　
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＡＨ　　　　　　　
　　　ＡＤＤ　Ａ，＃０１Ｈ　　　　　　
　　　ＭＯＶ　４ＡＨ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ
　　　ＡＤＤＣ　Ａ，＃００Ｈ
　　　ＭＯＶ　Ａ，５０Ｈ
　　　ＡＤＤ　Ａ，＃０１Ｈ
　　　ＭＯＶ　５０Ｈ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＦＨ
　　　ＡＤＤＣ　Ａ，＃００Ｈ
　　　ＭＯＶ　４ＦＨ，Ａ
　　　ＡＪＭＰ　ＲＰ４
说明：１）数据存放格式同前；
　　２）各变量地址分配如下：４７Ｈ－４ＥＨ，存放数据方式同直线，４ＦＨ５０Ｈ－Ｙ，５１Ｈ５２Ｈ－Ｘ，５３Ｈ５４Ｈ－终判值
逐点比较法插补原理
逐点比较法的基本原理是，在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向进给（始终只有一个方向）。
一般地，逐点比较法插补过程有四个处理节拍，如图４－１：
（１）偏差判别。判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差状况；
（２）坐标进给。根据偏差状况，控制相应坐标轴进给一步，使加工点向被加工轮廓靠拢；
（３）重新计算偏差。刀具进给一步后，坐标点位置发生了变化，应按偏差计算公式计算新位置的偏差值；
（４）终点判别。若已经插补到终点，则返回监控，否则重复以上过程。

图4-1　处理节拍  　　　 图4-2　第一象限直线插补规律
１．直线插补
图4-2为第一象限直线，其终点坐标为（Ｘe，Ｙe），现分析其插补规律。
刀尖点位置不外乎３种情况：轮廓线上方（点Ａ），轮廓线上（Ｂ点），轮廓线下方（点Ｃ）。显然，在点Ａ处，为使刀尖点向轮廓直线靠拢，应＋Ｘ向走一步；Ｃ点处，应＋Ｙ向走一步；至于Ｂ点，看来两个方向均可以，但考虑汇编编程时的方便，现规定往＋Ｘ向走一步。
Ａ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｙ／Ｘ>Ｘe／Ｙe              ＸeＹ－ＸＹe > 0
Ｂ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｙ／Ｘ＝Ｘe／Ｙe             ＸeＹ－ＸＹe ＝ 0
Ｃ（Ｘ，Ｙ）点处有：Ｙ／Ｘ<Ｘe／Ｙe              ＸeＹ－ＸＹe < 0
Ｆ＝ＸeＹ－ＸＹe为原始的偏差计算公式（Ｘ，Ｙ为当前插补点动态坐标），Ｆ称为偏差，每走一步到达新位置点，就要计算相应这个Ｆ值。
显然，Ｆ≥0时，须＋Ｘ向走一步；Ｆ＜0时，须＋Ｙ向走一步。为方便汇编编程和提高计算速度，现对偏差Ｆ的计算公式加以简化：
插补点位于Ａ、Ｂ点时，走完下一步（＋Ｘ）：动态坐标变为（Ｘ＝Ｘ＋１，Ｙ＝Ｙ），新偏差变为Ｆ＝ＸeＹ－（Ｘ＋１）Ｙe＝ＸeＹ－ＸＹe－Ｙe＝Ｆ－Ｙe。这个公式比Ｆ＝ＸeＹ－ＸＹe计算要方便。

图4-3　逐点比较法第一象限直线插补软件框图
插补点位于Ｃ点时，走完下一步（＋Ｙ）：动态坐标变为（Ｘ＝Ｘ，Ｙ＝Ｙ＋１），新偏差变为Ｆ＝Ｘe（Ｙ＋１）－ＸＹe＝ＸeＹ－ＸＹe＋Ｘe＝Ｆ＋Ｘe。
因此，
走完＋Ｘ后：偏差计算公式为Ｆ＝Ｆ－Ｙe；
走完＋Ｙ后：偏差计算公式为Ｆ＝Ｆ＋Ｘe。
图4-3为逐点比较法第一象限直线插补软件框图。

逐点比较法直线插补汇编语言程序(MCS-8031)
根据该插补软件框图(参见
ＬＰ：ＭＯＶ　ＳＰ，＃６０Ｈ　　　定义堆栈指针
　　　ＭＯＶ　４ＡＨ，＃００Ｈ　　偏差单元清零
　　　ＭＯＶ　４９Ｈ，＃００Ｈ
　　　ＭＯＶ　４８Ｈ，＃０１Ｈ　　初始化ＸＹ电动机
　　　ＭＯＶ　４７Ｈ，＃０２Ｈ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＥＨ　　　　　计算终点判别，Xe+Ye之低位
　　　ＡＤＤ　Ａ，４ＣＨ
　　　ＭＯＶ　５０Ｈ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＤＨ　　　　　Xe+Ye之高位
　　　ＡＤＤＣ　Ａ，４ＢＨ　　　　低位相加，可能产生进位
　　　ＭＯＶ　４ＦＨ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，＃０３Ｈ　　　　ＸＹ电动机上电
　　　ＭＯＶ　ＤＰＴＲ，＃００３０Ｈ
　　　ＭＯＶＸ　＠ＤＰＴＲ，Ａ
ＬＰ２：ＡＣＡＬＬ　ＤＬ０　　　　延时子程序
　　　ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ　　　　　取偏差Ｆ的高８位
　　　ＪＢ　ＡＣＣ．７，ＬＰ４　　偏差Ｆ< 0，去ＬＰ４
　　　ＡＣＡＬＬ　ＸＭＰ　　　　　Ｆ＞＝０，调Ｘ电动机正转子程序
　　　ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　　　计算新偏差Ｆ值，Ｆ＝Ｆ－Ｙe
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＡＨ
　　　ＳＵＢＢ　Ａ，４ＣＨ　　　　可向高位字节借位
　　　ＭＯＶ　４ＡＨ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ
ＳＵＢＢ　Ａ，４ＢＨ
　　　ＭＯＶ　４９Ｈ，Ａ
ＬＰ３：ＣＬＲ　Ｃ　　　　　　　　终判值减１
　　　ＭＯＶ　Ａ，５０Ｈ
　　　ＳＵＢＢ　Ａ，＃０１Ｈ      可向高位字节借位
　　　ＭＯＶ　５０Ｈ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＦＨ
　　　ＳＵＢＢ　Ａ，＃００Ｈ      考虑低位字节借位
　　　ＭＯＶ　４ＦＨ，Ａ　　　　　终判值判零
　　　ＯＲＬ　Ａ，５０Ｈ　　　　　　
　　　ＪＮＺ　ＬＰ２　　          终判值不为零，去ＬＰ２，否则插补结束
　　　ＬＪＭＰ　００００Ｈ
ＬＰ４：ＡＣＡＬＬ　ＹＭＰ　　　　调Ｙ电动机正转子程序
　　　ＭＯＶ　Ａ，４ＡＨ　　　　　计算新偏差Ｆ值，Ｆ＝Ｆ＋Ｘe
　　　ＡＤＤ　Ａ，４ＥＨ
　　　ＭＯＶ　４ＡＨ，Ａ
　　　ＭＯＶ　Ａ，４９Ｈ
　　　ＡＤＤＣ　Ａ，４ＤＨ
　　　ＭＯＶ　４９Ｈ，Ａ
　　　ＳＪＭＰ　ＬＰ３
XMP：MOV A，48H            取X电动机当前状态字
　　　ＣＬＲ　Ｃ             移位法
　　　ＲＲＣ　Ａ
　　　ＲＲＣ　Ａ
　　　ＲＲＣ　Ａ
ＸＭＰ２：ＣＰＬ　Ａ
　　　ＡＮＬ　Ａ，＃４９Ｈ　屏蔽无关位
　　　ＭＯＶ　４８Ｈ，Ａ　　保存Ｘ电动机状态字，作为下次转动的基准
　　　ＯＲＬ　Ａ，４７Ｈ　　保存Ｙ电动机原状态不变
ＸＭＰ４：ＭＯＶ　ＤＰＴＲ，＃００３０Ｈ
　　　ＭＯＶＸ　@ＤＰＴＲ，Ａ
　　　ＲＥＴ
ＸＭＭ：ＭＯＶ　Ａ，４８Ｈ
　　　ＣＬＲ
　　　ＲＬＣ　Ａ
　　　ＲＬＣ　Ａ
　　　ＲＬＣ　Ａ
　　　ＳＪＭＰ　ＸＭＰ２
ＹＭＰ：ＭＯＶ　Ａ，４７Ｈ
　　　ＣＬＲ　Ｃ
　　　ＲＲＣ　Ａ
　　　ＲＲＣ　Ａ
　　　ＲＲＣ　Ａ
ＹＭＰ２：ＣＰＬ　Ａ
　　　ＡＮＬ　Ａ，＃９２Ｈ
　　　ＭＯＶ　４７Ｈ，Ａ
　　　ＯＲＬ　Ａ，４８Ｈ
　　　ＳＪＭＰ　ＸＭＰ４
ＹＭＭ：ＭＯＶ　Ａ，４７Ｈ
　　　ＣＬＲ　Ｃ
　　　ＲＬＣ　Ａ
　　　ＲＬＣ　Ａ
　　　ＲＬＣ　Ａ
　　　ＳＪＭＰ　ＹＭＰ２
说明：１）黑体字模块为软件环形分配器；
　２）各变量地址分配如下：４ＦＨ５０Ｈ－终判值，４ＤＨ４ＥＨ－Ｘe，４ＢＨ４ＣＨ－Ｙe，４９Ｈ４ＡＨ－偏差值Ｆ，４７Ｈ－Ｙ电动机状态字，４８Ｈ－Ｘ电动机状态字；以大地址格式(最低字节地址单元存放最高位数据)存放各种数据；
3）口地址0030H与XY三相步进电动机相线关系如下：