均匀带电球面内的电势相等.doc

太原师范学院（吕梁学院办学点）2012届毕业论文
引 言
均匀带电球面内的电势，一般的论证方法是场强积分法。即先确定E分布，然后选零势点和便于计算的积分路径，选取零势点的原则是使场中电势分布有确定值，最后由电势定义计算[1]。然而有些情况却并不能给出场中电势分布的确定值，所以我们可以试想用不同的方法，多角度的计算均匀带电球面的电势，并证明其相等。下面就重点介绍其中的常见的计算和证明方法。

第1章 利用点电荷产生的电势公式证明
设带电球面的的半径为R,带电荷量为q，如图1-1所示，

图1-1 用点电荷产生的电势公式计算电势
由题意[2]知电荷面密度为

在球内任一点处产生的电势

于是带电球面内任一点的电势为

同上，在球的下半面取一带电圆环，则有：

通过对以上公式积分得：

第2章 利用均匀圆环在中心轴线上产生的电势公式证明
如右图2-1所示，在球心内建立直角坐标系o-xy，在上半球出作一均匀带电圆环，如图，在球内任取一点p，p离球心距离为D，球面边缘到p点的距离为r，球半径为R，半径R与轴线夹角为，均匀带电球面的面密度为。
在圆环处所产生的电荷为：

图2-1 利用均匀圆环在中心轴线上产生的电势公式计算电势
在p点处产生的电势为：
;

可得:

同上，在球的下半面取一带电圆环，则有：

联立方程得：
通过对以上公式积分得：

第3章 利用电场线性质证明[3]
如图3-1所示, 我们在半径为R 的圆上分别放置3, 6, 12,⋯ 个电量相同的点电荷, 画出电力线分布的大致情况。可以看出, 随着电荷数目的增加, 环面内的场强越来越弱。不难想象, 当电荷的数目趋向无穷时即形成线电荷分布。这时环内的场强为0, 因此, 环内的电势应为一常量即

图3-1 半径R放置不同点电荷形成电场线
因为电场线起于正电荷，终止于负电荷，假若球面带正电，由于球面内部不带电，而无穷远处电势为零，相当于存在负电荷，所以电场线设在无穷远处，不会存在于球面内部，所以内部电场为零。因此, 环内的电势应为一常量即。
假若球面带负电，由于电场线终止于负电荷，球面内部不带电，所有的电场线全部终止于球面，球面内部也没有电场线，也即内部电场为零。环内的电势应为一常量即。[4]

第4章 利用电动力学的理论证明
由题意[5,6]可知，

；
又
对于，则有，所以
对于，则有，所以，
又由方程可得：

又

则有，

因为有：所以有：

因此，；

第5章 利用均匀带电球面产生的电场强度公式证明
设带点球面的半径为R，总电荷量为q，如图5-1，已知均匀带电球面在空间激发的场强沿半径方向，其大小为[7]

沿半径积分，则p点的电势为

图5-1 利用均匀带电球面产生的电场强度公式计算

当r>R时，
当r<R时，由于球内外场强的函数关系不同，积分必须分段进行，即

第6章 利用立体角概念证明
设均匀带电球壳的半径为R,场点P与球心O的距离r(P点在球壳内时,r<R ,在球壳外时,r>R),如图6-1所示(P点在球壳内情形)以通过O点和P点的直径为轴线,把球面分成许多圆环带,在图中所示圆球半径与轴线夹角为处,环带宽度为,线电荷密度, 环带的半径为.由均匀带电圆环轴线上一点的场强公式,环半径为a 时, 所产生的电势为
[8]

图6-1 利用立体角概念计算电势
令

故由积分可得带电球壳在P点处所产生的电势为

=

结 语
一般来说，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是的电势叠加原理。对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。通过我们前面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。

谢 辞
到现在，我的论文基本成稿，回想这段时间，感慨万分！从论文选题到搜集资料，从写初稿到最后定稿，期间经历了喜悦、烦躁和痛苦，随着论文的最终定稿，我的心情也平静了许多。
首先，我要感谢我的母校，它给了我学习和成长的机会，“崇真、求实、博学、创新”让我学会了追求和钻研，让我领略了做学问的真谛，正是在它的激励下，四年间，我刻苦学习，博览群书，孜孜以求。
其次，我要感谢，非常感谢我的指导老师贺庆泽老师。
最后，我要感谢我的大学同学。每当我在彷徨、犹豫时，他们都能扶我一把，帮我顺利度过难关。因为有他们的陪伴和支持，我的大学充实而精彩，感谢命运能让我们在此相遇，共同度过四载春秋，成为一生知己！
感谢之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正。
衷心的谢谢各位老师，你们辛苦啦！

参考文献
[1] 赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].第二版.北京：高等教育出版社，1985.p93
[2] 梁灿彬.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1980.p114
[3] 白 静.均匀带电圆环的电场分布[J].辽宁工程技术大学学报,2005.p2
[4] 徐世良. 数学物理方法解题分析[M]. 南京: 江苏科学技术出版社, 1983.p46
[5] 程守洙. 普通物理学[M]. 北京: 人民教育出版社，1983.p87
[6] 张之翔.电磁学千题[M].北京:科学出版社,2002.p29
[7] 赵近芳.大学物理学[M].北京:北京邮电大学出版社,2002.p43
[8] 向义和.大学物理导论[M].北京:清华大学出版社,1999.p52

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