数学专业学年论文.doc

学号 12509013011

学年论文

（2012级本科）

题 目: 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用
学 院： 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学
作者姓名： 柴丽娜
指导教师： 李劲 职称： 教授
完成日期： 2014 年 12 月 20 日

二○一四年十二月

泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用

柴丽娜 指导教师：李劲
（河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号, 甘肃张掖 734000）

摘 要 二项分布、Poisson分布与指数分布是概率统计的基础,这3个分布存在密切的关系.本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例.
关键字 泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数
中图分类号 O211

1 引言
许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等重要的概率分布,给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方差,但是很少讨论出这些分布之间的关系.在学习概率统计等时,常常认为这些重要概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系. 本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例.

2 预备知识
2.1 相关定义
定义（二项分布）
在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为p（0<p<1）,记X为n次试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,2,…,n.且对每一个k,0≤k≤n,事件｛X=k｝即为“在n次试验中事件A恰好发生k次”,根据伯努利概型,有
P｛X=k｝=,k=0,1,2,…,n （1）
一般地,如果一个随机变量X的概率分布由（1）给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,并记作,且记
.
定义（泊松（poisson）分布）
如果一个随机变量X的概率分布为
（2）
其中为参数,则称X服从参数为的泊松分布,记作.
定义 (正态分布)
一个连续性随机变量X,如果其密度函数为
（3）
其中,,为常数,则称X服从参数为和的正态分布,记作.此时称X为正态变量.
特别地,若,,则称X服从标准正态分布,其概率密度函数为

定义(特征函数)
若随机变量X的分布函数为F(x),则称
（4）
为X的特征函数.如果F（x）有密度f(x),则就是f(x)的Fourier变换

2.2相关定理
定理特征函数的一个重要定理（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定.
证明 设A是F(x)的一切连续点的集合,对任意的,由逆转公式有

所以,对于一切,的值唯一的由其特征函数所决定.
若,利用分布函数的右连续性,选一列单调下降的趋于x的的连续点,则有

于是,对于一切的,的值亦唯一的由其特征函数所决定.
2.3相关结论
结论1 二项分布B（n,p）：其概率分布为

其特征函数为

结论2 泊松分布：设,则其概率分布为

其特征函数为

结论3 正态分布：其密度函数为

其特征函数为

3 主要结论及证明（三大分布之间的关系）
3.1 二项分布与泊松分布的关系（二项分布的poisson逼近）
定理1 二项分布X：b(n,p),如果n很大,而P很小,设,n为任意的正整数,,则对于任意给定的一个非负整数k,有
.
证明 由

当固定,

故有
所以当n很大时,p很小时有下列近似公式

3.2 二项分布和正态分布之间的关系
定理 设随机变量,则对于任意x,有

由上式可以得出当n充分大时,二项分布可以用正态分布来近似,即二项分布的正态逼近.
例 和在n充分大时计算非常困难.
由于近似服从N（0,1）或等价地近似服从,于是可以近似地用正态分布来计算上述概率,即

只要查一下标准正态分布表就可以得到的相当精确的值.
3.3 泊松分布与正态分布之间的关系
二项分布可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似.所以泊松分布和正态分布在一定条件下也有近似关系,下面说明泊松分布的正态分布.
定理 设,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数是近似相等的.
证明 根据特征函数的唯一性定理可以得出分布函数和恒等的充分必要条件是他们的特征函数和恒等.
已知正态分布的特征函数是

泊松分布的特征函数是

对于任意的t, 的幂级数展开为
,
忽略以后的各项,则有
,
于是

根据唯一性定理可知,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数近似相等.

4 初步应用
例1 某大城市有一个繁忙的交通岗 ,若每天有100000人通过 ,每人出事故的概率为 0. 0001,求该天事故的人数 X不超过 2人的概率.
解法一：由题意可以知道,由二项分布可以得

解法二：用泊松分布近似二项分布.
即将数据代入

可以得到

解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布.
即将数据代入

可以得到

这里直接查标准正态分布的分布函数表求得,其误差为0.00224151,这比用泊松分布产生的误差要大.
例2 同类型仪器 300台,各仪器的工作相互独立,且发生故障的概率为0.01,通常一台仪器的故障可有一个人来排除.问：
（1）至少配备多少维修工人,才能保证当仪器发生故障又不能及时排除的概率小于 0.01？
（2）若一个人包干 20台仪器,求仪器发生故障又不能及时排除的概率.
解：设 300 台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数为X, 则 X~B(300,0.01).
设 X 表示发生故障的仪器台数,假若至少要配备x个工人,则按题意有P(X＞x)＜0.01,即

此时用泊松定理则可以容易计算.
(1)有
,
,
查询泊松分布表即可以得到x=8.
(2) 记 X 为 20 台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数,则 X~B(20,0.01).

致谢 感谢李劲老师对本论文的指导.

参 考 文 献
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