高中数学一对一讲义——集合.doc

晨光高中数学一对一讲义——《集合》
熊老师
一、本章复习建议：
解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里.
二、知识回顾：
基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用
集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合间的交、并、补运算.
元素与集合、集合与集合的关系；
集合的文氏图、数轴法表示的应用.

主要性质和运算律
包含关系：
等价关系：
集合的运算律：(注意结合“文氏图”)
交换律：
结合律:
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩ðUA=φ A∪ðUA=U ðUU=φ ðUφ=U ðU(ðUA)=A
反演律：ðU(A∩B)= (ðUA)∪(ðUB) ðU(A∪B)= (ðUA)∩(ðUB)
有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）

(3) card(ðUA)= card(U)- card(A)
（4）设有限集合A, card(A)=n,则
(ⅰ)A的子集个数为； (ⅱ)A的真子集个数为；
(ⅲ)A的非空子集个数为；(ⅳ)A的非空真子集个数为.
（5）设有限集合A、B、C， card(A)=n，card(B)=m,m<n,则
(ⅰ) 若,则C的个数为；
(ⅱ) 若,则C的个数为；
(ⅲ) 若,则C的个数为；
(ⅳ) 若,则C的个数为.
不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；
4．若，，则；若，，则。如
对于实数中，给出下列命题：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧，则。
其中正确的命题是______
不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
（1）设，比较的大小
（2）设，，，试比较的大小
（3）比较1+与的大小
利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如
（1）若，则的最小值是______
（2）正数满足，则的最小值为______
(3)常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如
如果正数、满足，则的取值范围是_________
证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：

简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如
（1） 解不等式。 （2）不等式的解集是____ （3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______
（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是______.
分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
（1） 解不等式
（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式
（4）两边平方：如
若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。
含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如
（1）若，则的取值范围是__________（2）解不等式
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为__________
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
如（1）设实数满足，当时，的取值范围是______
（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____
（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____
（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____
（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.
2). 能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如
已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围____
3). 恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
三、考点典型分析
【1】集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要. 遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。
集合的辨别:注意数集与点集的区别

例1： 已知，，则 .

评注：虽然集合、元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们之间可进行运算，集合元素的一般符号用或都可以.
例2：已知，，则 .

解析：集合A中的元素为点（x,y）,而集合B中的元素为，表示一个数. 它们之间可进行不能运算，所以φ
例3：（1）已知A={(x，y)|x+y=1，x∈R}，B={(x，y)|2x-y=2，x∈R}， 则A∩B=______；
（2）已知A={y|y=x2-1，x∈R}，B={y|y=7-x2，x∈R}， 则A∩B=________．

【2】判断元素与集合、集合与集合关系题
注意符号“Δ、“Ï”与“Í”、“”各自的用法．
“Δ与“Ï”只能用于元素与集合之间；符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；而“Í”与“”是用在两个集合之间．符号“”用在两集合间表示包含关系如
1Î{1，2}；3Ï{1，2}；{1}Í{1，2}；{a}{a，b}等等．

判断策略：
1、具体化：对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，使之具体化，然后从中寻长解题方法．
　　例4设集合，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2、图示法：数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义，如在进行有些集合的运算时，借助数轴示意图表示集合与集合的关系，既易于理解，又能提高解题效率；又如对于集合的交、并、补等运算，用Venn图描述，比单纯用数学语言要形象直观．
例5已知M={x|x>1}，N={x|x>a}且MÍN，则（ 　 ）
（A）a≤1 　（B）a<1 　（C）a≥1 　（D）a>1
【3】有关集合运算题:设全集为U，已知集合A、B则
且,即求公共元素构成的集合
或，即两集合中的元素并在一起，相同元素只写一次
且.即全集中的元素去掉A中的元素。
注意：有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
例6：集≤，.
(1)求及；(2)求及.

例7：,求实数的值.

例8已知全集U = {x | x取不大于20的质数}，A、B是U的两个子集，且A(CB)={3，5}，(CA)B ={7，19}，(CA)(CB) ={2，17}，求集合A、B．

元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．
【4】已知集合关系，求字母参数的范围
例9、知集合，，且，求实数的值．

例10：,若,求实数的取值范围.

评注：1. 注意端点值的舍取,一个难点和易错点，我们看到取等号时，集合是相等的，此时满足.若把条件改为呢？显然就取不到等号了.
　2.将转化为，以数轴直观地表达出了两集合的包含关系．
例11：已知集合A＝{∣≥４，或＜－５}，Ｂ＝｛∣＋１≤≤＋３｝，
若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求得取值范围．

评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
例12、设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，求实数m的取值范围．

例13：已知A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A∪B=A，求实数a组成的集合C．

注意“Æ”的特殊性．“Æ”是不含任何元素的集合．但它在集合大家庭中的地位却不可小视， Æ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
1、 Æ只有唯一的一个子集（即它本身），而无真子集；
2、 任何一个集合与Æ作交集运算都等于Æ；任何一个集合A与Æ作并集运算都等于A
.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？
例14：知集合 A = { m，，1}，集合 B = {m，m + n，0}，若A = B ，求实数m、n的值．

基础训练
1．集合的子集个数是 （ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
2．如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 （ ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定
3．设集合，,其中，则下列关系中正确的是（ ）
A．M B． C． D．
4．设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}满足AB，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．满足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则∪= （ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}
7．集合A={a2，a＋1，-1}，B={2a－1，| a－2 |， 3a2＋4}，A∩B={-1}，则a的值是（ ）
A．－1 B．0 或1 C．2 D．0
8．已知集合M={(x，y)|4x＋y=6}，P={(x，y)|3x＋2y=7}，则M∩P等于 （ ）
A．(1，2) B．{1}∪{2} C．{1，2} D．{(1，2)}
9．设集合A={x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B={x|x∈Z且|x|≤5 }，则A∪B中元素的个数为 （ ）
A．11 B．10 C．16 D．15
10．已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则 （ ）
A．I＝A∪B B．I＝∪B C．I＝A∪ D．I＝∪
11．设集合M=，则 （ ）
A．M =N B． C． D．∩
12．集合A={x|x=2n＋1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为 （ ）
A．AB B．A B C．A=B D．A≠B
19、若A、B、C为三个集合，，则一定有
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
20.设集合，，则
A． B． C． D．
二、填空题：
23．设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|=3}，则A= .
24．集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=_____ ___．
25．设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则T/S的值为 .
26．设A={x|x2＋x－6=0}，B={x|mx＋1=0}，且A∪B=A，则m的取值范围是 .
三、解答题
31．已知集合A=，，且，求实数的取值范围。

33．已知集合A=，B=，A=B，求x，y的值。

34．已知集使A=，B=， A∩B=φ，求实数a的取值范围.