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巧借模型解问题
湖北赤壁市第一中学 饶季华 437300 13972816579
“碰撞” 在物理学中指两个作相对运动的粒子或物体，接触并迅速改变其运动状态的现象。由于碰撞过程十分短暂，碰撞物体间的冲力远比周围物体给它们的力要大，后者的作用可以忽略 ，这两物体组成的系统可视为孤立系统，动量和能量守恒，但机械能不一定守恒。在这个短暂的过程中，物体通过的位移可以忽略不计。
　　（1）碰撞一般分为压缩阶段和恢复阶段两个过程：在压缩阶段中物体的动能转化为其他形式的能量，而在恢复阶段中其他形式的能量转化为动能。
　　（2）碰撞从能量转移的方式可以分为：弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非完全弹性碰撞。
如果两球的弹性都很好，碰撞时因变形而储存的势能，在分离时能完全转换为动能，机械能没有损失，称弹性碰撞；如果是塑性球间的碰撞，其形变完全不能恢复，碰撞后两球以相同速度运动，很大部分的机械能通过内摩擦转化为内能，称完全非弹性碰撞；介于两者之间的即两球分离时只部分地恢复原状的，称非完全弹性碰撞。
下面以一维动碰静为例分析碰撞问题的三种类型
1、弹性碰撞(碰撞结束时形变完全恢复)：
动量为的小球，与静止的质量为的小球发生弹性正碰，有：
（1）系统动量守恒，初、末动能相等

（2）碰撞结束时，主动球（）与被动球（）的速度分别为

（3）判断碰撞后的速度方向：
当时，，两球沿初速方向运动；
当时，，两球交换速度，主动球停下，被动球以开始运动；
当时，，主动球反弹，被动球沿方向运动。
（4）被动球获得最大速度、最大动量、最大动能的条件：
当时，最大为
当时，最大为
当时，最大为
2、完全非弹性碰撞(碰撞结束时形变完全保留)：
动量为的小球，与静止的质量为的小球发生完全非弹性碰撞，有：
（1） 系统动量守恒，动能有损失

（2）碰撞结束时，两球共同速度为

（3）碰撞结束时，系统损失的动能为

3、非完全弹性碰撞(碰撞结束时形变部分保留)：
动量为的小球，与静止的质量为的小球发生非完全弹性正碰，有：
系统动量守恒，动能有损失

中学物理有些相互作用过程，如果把它理解为放大了作用时间，放大了物体位移的碰撞，就可以借用碰撞模型来处理。如：
例1、如图1所示，轻质弹簧右端与一质量为M的滑块拴接，静止在光滑水平面上，另一质量为m的滑块以初速度v0沿轴线冲向弹簧，若此后弹簧形变始终在弹性限度内。问：弹簧的最大弹性势能是多少？M的最大速度是多少？
例2、如图2所示，一个光滑的四分之一圆弧轨道，其质量为M，最低点与水平面相切，静止在光滑水平面上，另一质量为m的小球以初速度v0沿水平面冲上轨道，问：此后小球能上升的最大高度是多少？M的最大速度是多少？
例3、如图3所示，静止在光滑水平面上，已经充电的平行板电容器的极板间距离为d，在板上有一小孔，电容器固定在绝缘底座上，总质量为M，现有一个质量为m的带正电铅丸对准小孔水平向左运动（重力不计）。铅丸进入电容器后，距左边最小距离为d/2，求此时电容器已移过的距离。
图1
图2
图3

例4、如图4所示，一质量为M的长木板静止在光滑水平面上，另一质量为m的铁块以初速度v0沿水平方向滑上长木板的上表面，已知铁块与木板上表面间的动摩擦因素为μ，若要保证铁块不从长木板上掉下来，长木板至少要多长？若铁块与长木板上表面间的动摩擦因素改为μ/2，则铁块的末速度多大？
例5、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图5所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
图5

图4

上述五个问题虽然情景各不相同，但都可以用碰撞模型来处理。类比如下表：
问题
对象
内力
其他能量形式
过程与规律
完全非弹性碰撞
(末速度相同，
动能损失最大)
弹性碰撞
(动能无损失)
非完全弹性碰撞
(动能有损失)
例1
M、m、弹簧
弹力
弹性势能
开始压缩
→弹簧最短
（弹性势能最大）
开始压缩弹簧
→恢复原长
开始压缩
→其它中间状态
（有弹性势能）
例2
M、m、地球
弹力
重力
重力势能
冲上轨道
→小球最高
（重力势能最大）
冲上轨道
→退出轨道
冲上轨道
→其它中间状态
（有重力势能）
例3
M、m、
电场力
电势能
开始进入
→进入最深
（电势能最大）
开始进入
→退出电场
开始进入
→其它中间状态
（有电势能）
例4
M、m、
摩擦力
内能
滑上木板
→相对静止
（Q热 = f s相=E损）

滑上木块
→超出长木板
（有内能）
例5
ab、cd
安培力
电能

开始相对滑动
→相对静止
（Q热=E电=E损）

开始相对滑动
→ab棒的速度变为v0的3/4
（有电能）
需要指出的是：例2中系统只是水平动量守恒；例4中铁块超出木板的过程与非完全弹性碰撞虽然遵循同样的规律，要采用同样的二元二次方程组求解，但它们的末速度分别对应方程不同的两个根，具有不同的物理意义，要根据实际情况作出取舍。
此类相互作用问题有不同的表现形式，只要我们认真分析，抓住本质，构建碰撞模型，就容易处理了。

2011/5/28
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