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《工程力学与机械设计基础》教案
【学 时】 4
【基本要求】
1．理解力的概念，刚体的概念。
2．掌握静力学公理。
3．掌握各种常见的约束的性质。
4．对简单的物体系统能熟练地取出分离体并画出受力图。
【重点】　静力学公理，约束反力，受力图。
【难点】　约束、受力图。
【作业】
§1–1 基本概念
一、力的概念
力：力是物体间相互的机械作用，这种作用的结果是使物体的机械运动状态发生变化或使物体的形状发生变化。
力的三要素：大小、方向、作用点。
根据作用点的可把力分成集中力和分布力。
力对物体的效应：运动效应（外效应），变形效应（内效应）
力系：作用于物体上的若干个力。
力系分类：
按力的作用线分布：平面力系和空间力系；
按力的作用线关系：汇交力系、平行力系和任意力系。
若两力系对同一物体作用效果相同——等效力系；
一个复杂力系用一个简单力系等效替换的过程——力系的简化。
若一个力系可用一个力等效替换，则该力叫合力；力系中的各力叫分力。
理想化的物理模型

二、质点与刚体：
质点——有一定的质量，但其形状和大小可不考虑的物体
刚体——在任何外力作用下，其形状和大小永不变化的物体
三、平衡：
物体相对于惯性坐标系处于静止或匀速直线运动。
平衡力系：使物体处于平衡状态的力系。此时力系所满足的条件称平衡条件。
静力学所研究的基本问题：
①力系的简化；②力系的平衡条件及其应用。
§1–2 静力学公理
一、力的平行四边形公理
作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力与原来两力共作用点，并等于两力的矢量和；即合力矢由以原来两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。——力系简化的基础
二、二力平衡公理
作用在刚体上的两个力使刚体平衡的充分必要条件是：两力大小相等、方向相反且作用在同一直线上。
此公理提供了一种最简单的平衡力系。对于刚体此条件是充要条件，但对变形体只是必要条件而不是充分条件。

[要点]1、两力作用在同一刚体上；2、两力能使刚体平衡。
举例：物体在地面上受重力及地板支承力。
只受两个力作用而平衡的构件，叫二力构件。
三、加减平衡力系公理
在作用于刚体的任意力系上添加或减去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。——力系简化的理论依据。

推论： 力的可传性原理 作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线移动而不改变它对刚体的作用。

【注意】只适用于刚体，绳索不适用。
作用于刚体上的力的三要素为：大小、方向、作用线。
作用于刚体上的力是：滑动矢量。
三力平衡汇交定理 当刚体在三个力作用下处于平衡，当其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必处于同一平面内，且第三个力的作用线必通过汇交点。
【注意】三力汇交不一定平衡
四、作用与反作用定律
两物体间的力总是同时存在，大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。——受力分析必需遵循的原则。
要点：1、一切力都成对出现；2、两者分别作用在两个物体上。
【注意】与二力平衡的区别
五、刚化原理 变形体受已知力系作用而平衡，若将该物体变为刚体（刚化），则平衡状态不受影响。——刚体力学与变形体力学的联系。
§1–3 约束、约束反力及物体的受力分析
一、约束和约束反力：
自由体：运动不受任何限制的物体。
约束体：运动受到某种限制的物体。
约束：障碍物体某些位移的限制条件，有几何约束和位移约束两类，位移约束有单边约束和双边约束之分。
约束反力（反力）：约束作用于被约束物体上的力，一般情况下，约束力是未知力。如何确定约束力的大小是静力学研究过程中的核心问题。
主动力与被动力：能主动引起物体运动趋势的力称为主动力；否则为被动力。
二、常见的约束类型及其反力的决定
（一）、柔索约束

由柔性的绳索、链条、皮带等所形成的约束。
1、约束性质：只能受拉而不能受压，即只能限制物体沿绳索伸长方向的运动（限制离开约束）。
2、约束反力：沿着柔性约束本身方向，背离物体，作用在连结点。
[注意]：（1）、不计自重；
（2）、对球形物体，单独悬挂，平衡时通过球心（否则不能平衡）。

（二）、光滑面约束

1、约束性质：不能受拉只能受压。只能限制物体在接触区沿约束被压入方向的运动。——约束的接触区又叫做“支承面”。
2、约束反力：设支承面摩擦力忽略不计，称为光滑面约束。
光滑接触面的约束反力必过接触点沿接触面的法线指向物体。
（三）、固定铰链支座约束：

1、约束性质：限制杆件在平面内的任何移动，但不限制杆件绕铰链中心转动。
2、约束反力：是销轴圆柱面上某一点给杆件的反力R，沿圆弧接触面公法线指向杆件（过中心）。因接触点位置不同而使R方向不定，通常用分力的形式Rx、Ry表示。
（四）、可动铰链支座约束：

1、约束性质：只限制杆件沿支承面的垂直方向的运动，不限制沿支承面平行的方向的运动，当然也不限制绕中心转动。
2、约束反力：垂直支承面，通过铰链中心。至于指向，可向“上”，也可向“下”。

§1–4 受力分析
分离体——把研究对象解除约束，从周围物体中分离出来，画出简图。
受力图——将分离体所受的主动力和约束反力以力矢表示在分离体上所得到的图形。
基本步骤
1．选研究对象，取分离体。分析哪个（多个）物体，则取其为研究对象，解除其约束。
2．标出该隔离体上所受主动力。
3．标出约束反力。
约束反力要按约束的性质画，要注意二力平衡条件和三力平衡汇交定理的应用。注意内力一定不要在受力图上出现。
注意：（1）受力图只画研究对象的简图和所受的全部力；
（2）每画一力都要有依据，不多不漏；
（3）不要画错力的方向，反力要和约束性质相符，物体间的相互约束力要符合作用与反作用公理。

例1作图示轧路机轧轮的受力图。

例2如图所示结构，画AD、BC的受力图。

第二章 平面力系
【学 时】 18（其中习题课4）
【基本要求】
1．理解力和力偶的基本概念及性质[2]。
2．能熟练地计算在直角坐标上的投影和平面问题中力对点的矩[1]。
3．掌握单个物体和简单物体系统的平衡问题[1]。
4．理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征[2]。
5．摩擦角和自锁的概念[3]。
6．能求解考虑滑动摩擦时单个物体的平衡问题[3]。
【重点】 平面力系的平衡方程，单个物体的平衡问题。
【难点】 物体系统的平衡问题。考虑摩擦时的单个物体的平衡问题

§2–1平面汇交力系简化与平衡
一、平面汇交力系合成的几何法：
1、力的多边形法求合力：

（1）、力多边形各分力作图次序不同，不影响求得合力的结果；
（2）、几何法作图时，必须按比例、按各力的方向；所得结果也按原比例和所得方向；
（3）、力多边形矢序规则：各分力矢必须首尾相接，并绕同一方向；而合力则与各分力相反转向。
二、平面汇交力系平衡的几何条件：
1、平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。即：

这时，其力多边形的特点是：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。力多边形自行封闭。
2、平衡条件的应用：
当已知一个物体在平面汇交力系作用下处于平衡，就可以应用平衡条件，求解其中未知量。
三、平面汇交力系合成的解析法
解析法合成就是用投影的方法求出合力的大小和方向
1、力在平面直角坐标系上的投影

若已知力F与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为a和b，则力F在坐标轴上的投影分别为

如果已知力F在三个坐标轴上的投影Fx和Fy，也可以反过来求出力F的大小和方向，即

力的投影与力的分量的区别：
1)力的投影是标量，而力的分量是矢量；
2)对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。

2、合力投影定理
合力在某一轴上的投影，等于力系各分力在同一轴上投影的代数和。

这样就把矢量合成问题，转化为代数和问题。
3、平面汇交力系合成的解析法
如果取一对互相垂直的坐标轴作为投影轴，根据合力在两个投影轴上的投影，就可以算出合力的大小和方向。
合力大小：
合力方向：
1）由∑Fx及∑Fy的正负号，决定合力所在的象限；
2）FR与坐标轴的夹角，由下式决定：

注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。

（2）平面汇交力系的平衡条件
汇交力系平衡方程的解析式：

平面汇交力系的平衡方程有两个独立式子，用它可求解未知量不多于两个的平面汇交力系的平衡问题。

§2–2力矩的概念和计算
在一般情况下，力对物体的作用既可能产生移动（平动）效应，也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量。
一、力矩的定义：
1、力矩的概念——力作用在物体上使物体产生绕某点O转动作用。
2、力矩二要素：
（1）、力的大小与O到力的作用线距离的乘积Fh；
（2）、力使物体绕O点转动的方向（逆时针取正号）。
3、O点称为“矩心”，O点到力作用线的距离称为“力臂”。

4、力对点之矩的表达式：

△
5、力对点之矩的单位： 牛顿·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。
6、力矩在下列两种情况下等于零：
（1）、力的大小等于零；（2）、力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
二、平面力系的合力矩定理
平面力系的合力对其作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。即

三、平面问题中力对点之矩的解析表达式：

由图可见，力对坐标原点的矩：

上式称为力矩的解析表达式。

§2–3平面力偶系简化与平衡
一、力偶：
[实例]：司机作用在方向盘上的一对力；攻丝时双手对板手的一对力。
它们对物体产生转动的效果。
不在同一作用线的两个大小相等、方向相反的平行力，称为力偶。两平行力所在的平面叫做力偶的作用面；两力间的距离叫做力偶臂。两力均称为偶力。

二、力偶矩：
一个力偶在任何情况下都不能与一个力等效，当然也不可能被一个力平衡，所以力偶对物体的作用只能产生转动效应，而决不会产生移动效应。
力偶对物体的转动作用，用力偶矩表示。
设有力偶作用在物体上，求力偶对其作用面上任意点O之矩：
∑mO(F)=F(x+h)-F/x=F.h
1、力偶对于其作用面内任意一点的矩恒等于其一个偶力的大小乘以力偶臂而于矩心的位置无关。
2、力偶矩用符号m表示。
3、力偶矩的符号规定：逆时针转为“正”；顺时针转为“负”。
三、平面力偶的等效定理（互等定理）：
等效力偶——作用在物体上的力偶，如果用另一力偶来代替而不改变它对物体的作用，这两个力偶称为等效力偶。
定理：两个在同平面内的力偶，如果其力偶矩（包括大小、转向）相等，则两力偶彼此等效（可以互相替代）。
证明：

注意到：T与T/的方向线是任意选定的，若方向不同，其偶力的大小不同，两力距离h随之不同，但力偶矩相等。
又注意到：两偶力的作用点可以任意移动。
故变换之后的力偶（T，T/）的位置可有无数个，偶力的大小可有随意变化，相应的力偶臂也可有不同数值——只是保留了力偶矩等值。
说明：每个力偶的作用，完全决定于力偶矩的代数量，而与力偶在作用平面内的位置，与偶力的大小，力偶臂的长度等单独因素无关。
[推论]：由力偶的上述特性，可以得出一系列重要推论：
1、力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的作用。
2、力偶可以变形。在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以同时改变力偶力的大小及力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。

【归纳】：力偶的特性：
1、力偶无合力，不能用一个力来代替，也就不能用一个力来平衡。
2、力偶对其作用面内任意一点之矩，等于一个常数（自身力偶矩）；
3、力偶可以在其作用面内任意移转；
4、力偶可以变形。
四、平面力偶系简化与平衡
1、平面力偶系简化
作用在物体上同一平面内的许多力偶称为平面力偶系。
平面力偶系简化结果是一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的矩的代数和。即

2、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平面的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

§2–4 平面一般力系向一点简化
一、 力线平移定理

作用在物体上的力F可以从它的作用点平移到任一指定点，但必须同时附加一力偶，此附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点的矩。即

式中d为附加力偶的臂。
二、平面一般力系的简化（合成）：
1、平面一般力系的简化

引：用依次合成求各力的合成比较麻烦。——一种简单而普遍的方法——力系向一点简化。
对于汇交力系——
主矢：
(3. 4）
R的大小和方向可用解析法计算，取坐标系Oxy如图2-3所示，则有

于是
(3.5)

对于附加力偶系——
主矩：
结论：平面一般力系向平面上任意点简化后可以得一个力和一个力偶。这个力叫主矢量，主矢量等于原力系各力的矢量和，作用在简化中心；这个力偶的矩叫力系对简化中心的主矩，主矩等于原力系对简化中心的力矩的代数和。
显然（注意）：
主矢量的大小和方向与简化中心的位置无关；
主矩的大小和转向则随简化中心的位置不同而不同。所以，说到主矩时，必须指明是对哪一点的。
2、固定端约束

三、平面一般力系的平衡方程：
平面一般力系的平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即

将以上平衡条件用解析式表示，就得到下列三种形式的平衡方程
（－）基本式

（二）二矩式

其中A、B两点连线不能与x轴垂直。
说明：（1）、当力系各力满足任一个力矩方程，则不可能简化为力偶，但可能还有合力。
（2）、当再满足另一个力矩方程时，则合力只可能通过A、B点。
（3）、当满足Rx=∑Fx=0时，只要X轴不垂直于AB，则R不可能存在。

（三）三矩式

其中A、B、C三点不能共线。
说明：（1）、当力系满足一个力矩方程时，无主矩，但可能有合力；
（2）、满足第二个力矩方程时，合力无可能不同时过A、B点；
（3）、再满足第三个力矩方程时，这个R也不存在。于是力系平衡。

这样，平面一般力系共有三组不同形式的平衡方程，每一组都只包含三个独立的方程。因此，任何受平面一般力系作用的物体，可以也只能列出三个独立的平衡方程。求解三个未知量，任何第四个方程都不是独立的。至于在解题中应选用哪一种形式的平衡方程，则完全决定于计算的方便。
例：00 N•M，P1=600N，P2=100N,几何尺寸如图所示。试求支座A、B的反力。
解

（1）取梁AB为研究对象
（2）画受力图
（3）选取投影坐标轴和矩心。
（4）列平衡方程求解。
•
XA为负值，表示其实际方向与假设指向相反。

四、平面平行力系的平衡方程：
1、平面平行力系——各力作用线在同一平面内且相互平行的力系称为平面平行力系。
2、平面平行力系的平衡方程：
显然平面平行力系是平面一般力系的特殊情形，所以当它平衡时，也应满足平面一般力系的平衡条件。如选Oy轴与力系中各力平行，则∑X=0就成了恒等式而失去作用，所以平面平行力系的独立平衡方程为

平面平行力系的平衡方程亦可表示为二力矩形式，即

其中AB连线不能与各力平行。
五、物体系统平衡问题的解法
由两个或两个以上的物体组成的系统称为物体系统。在物体系统中，各物体之间以一定的方式彼此相联接，整个系统又以适当的方式与其他物体相联接。
和单个物体相比，物体系统的约束（或联接）方式和受力情况都比较复杂，而且这类问题不仅要求出系统所受的外力（如支座反力）；同时还要求出系统内各物体之间相互作用的内力。因此求解物体系统的平衡问题，除了要熟练地掌握单个物体平衡问题的基本方法以外，还应注意以下几点：
1．选取合适的研究对象
研究对象的选取比较灵活，有时是系统整体，有时是系统的一部分，有时是其中的某个物体，研究对象选得合适，常常是解题顺利而简捷的关键。选取研究对象要从已知力和未知力两个方面来分析，一般的途径是：
（1）先取系统整体为研究对象，通过建立平衡方程，解出部分未知力以后，再取系统中某一部分或整个物体为研究对象，解出全部未知力。
（2）先取包含已知力并容易解出未知力的物体为研究对象，而后依次选取其它物体为对象，解出全部未知力。
2．正确进行受力分析，画出研究对象的受力图。
（1）对物体系统进行受力分析时，要注意区分内力和外力。内力是指研究对象内部之间的相互作用力。由于内力总是成对出现的，彼此大小相等、方向相反，作用线相重合；并且它们在任何轴上投影之和以及对任何点的矩的和都分别等于零。所以在研究对象的受力图上，内力无需画出。至于研究对象以外的物体对研究对象的作用力，称为外力。在受力图上外力必须一个不漏地予以考虑。
必须注意的是，内力和外力的划分并不是绝对的，而是对一定的研究对象而言的。例如某个力对整个系统来说是内力，但对某个局部它就成为外力了。
2．由于系统中各物体之间相互联系和约束，因此从系统中取出某一物体为研究对象时，要注意它和周围物体之间的相互作用，弄清每个力是“谁”对“谁”的作用，要符合作用力和反作用力的规律。
3．静力学中只研究静定系统的平衡问题
对于一个由n个物体组成的系统，若其中每个物体受平面一般力系作用，则对该物体最多可列出三个独立平衡方程，而整个系统则总共可列出3n个独立平衡方程（若系统中有些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用，则总共列出的独立平衡方程也将相应地减少）。如果系统中未知力的数目等于或小于能列出的独立平衡方程的数目，则该系统是静定的，否则就是静不定的，在静力学中只研究静定系统的平衡问题。因此在解物体系统的平衡问题时，可先判断一下系统是否静定，从而确定是否能用静力学方法求解。
例：梁AC用三根链杆支承，所受荷载如图所示。设梁的自重不计，
试求每根链杆所受的力。

•解:(1)取梁AB为研究对象。
• (2)画受力图。
• (3)选取投影轴和矩心。
• (4)列平衡方程求解。

计算结果正值与假设方向相同，负值与假设方向相反。

§2–5 考虑摩擦时的平衡问题
一、滑动摩擦力
两个相互接触的物体，如果有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面间就产生彼此阻碍滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。
1、静滑动摩擦力F
当两个相互接触的物体之间只有相对滑动的趋势，而尚未发生相对滑动时产生的摩擦力F，称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势的方向相反，其大小在

的范围内变化，具体数值由物体的平衡条件确定。
2、最大静摩擦力
当物体处于将要滑动而尚未滑动的临界平衡状态时，摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，或极限摩擦力。
根据库仑静摩擦定律，静摩擦力的最大值与物体对支撑面的正压力（即法向反力）的大小N成正比，即，

式中比例常数f称为静摩擦系数，它的大小与两接触物体的材料以及接触表面的情况（粗糙度、干温度、温度等）有关，各种材料在不同表面情况下的静摩擦系数是由实验测定的。
3、动滑动摩擦力F’
当两个相互接触的物体作相对滑动时，在接触面问产生的阻碍相对滑动的力F’，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
根据动摩擦定律
（1）动摩擦力的方向与两接触物体间相对速度的方向相反。
（2）动摩擦力F’的大小与两接触物体间的正压力（即法向反力）的大小N成正比，即

式中f’是动摩擦系数。它与两接触物体的材料及表面情况有关。
（3）动摩擦系数f’略小于静摩擦系数f，f’由实验测定。
二、摩擦角和自锁条件

1、摩擦角
当有摩擦时，支承面对物体的约来反力包括法向反力N和摩擦力F，该两力的合力R 称为支承面对物体的全反力，如图(3-l)a所示。全反力R与接触面法线之间的夹角为

当摩擦力F达到最大值时，角也达到最大值（图3-1b），于是有下列关系式

称为摩擦角。上式表明：摩擦角的正切等于静摩擦系数。
2、自锁条件
当物体处于静止时，静摩擦力总是小于或等于最大摩擦力，即。因而全反力R与接触面法线问的夹角也总是小于或等于摩擦角，即

上式说明摩擦角还表示物体平衡时全反力的作用线位置应有的范围，即只要全反力R的作用线在摩擦角以内，物体将保持静止而不会滑动。
如果把作用在物体上的主动力 G和 P合成为一个合力Q，Q与接触面法线间的夹角为，如图4-1c所示。显然，当物体平衡时，Q与R应等值、反向、共线，于是有

由（b）、（c）两式知，当物体平衡时，应满足下列条件

这就是说，作用于物体上主动力的合力Q，不论其大小如何，只要其作用线与接触面的夹角小于摩擦角，物体总能保持静止而不会滑动。这种现象称为自锁。而这种与主动力大小无关，只与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。
三、考虑摩擦时物体平衡问题的解法
考虑摩擦时物体的平衡问题和其他平衡问题一样，作用于物体上的力系，包括摩擦力在内，仍须满足平衡条件，在具体解题时应注意以下几点；
l．画受力图时，要弄清在哪些地方存在摩擦力，并根据物体相对运动的趋势确定摩擦力的方向。
2．按照题意明确物体是处于平衡的临界状态还是平衡的一般状态。若处于平衡的临界状态，这对摩擦力为最大静摩擦力，其大小为；若处于平衡的一般状态，则摩擦力的大小在范围内变化，具体数值只能由平衡条件来确定。
3．由于静磨擦力的大小可在0到这一范围内变化，因而物体上的主动力或物体的平衡位置也相应地有一个变化范围，称为平衡范围。为了避免求解不等式的麻烦，这个平衡范围可以通过分析物体的临界平衡状态来确定，为此，在列出平衡方程以后，还要补充列出的关系式。
4．对于有摩擦的三力平衡问题，根据摩擦角的概念和三力平衡汇交定理，用几何法求解较为简便。

第四章 材料力学绪论
【学 时】2
【基本要求】
1．掌握构件的强度、刚度和稳定性问题的概念[1]。
2．了解杆件基本变形形式的受力和变形特点[3]。
【重点】材料力学的任务和研究对象。
【难点】可变形固体的基本假设。
§4-1 材料力学任务
1、构件
2、构件分类
对构件的三项基本要求
具有足够的强度——构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。 例如储气罐不应爆破。
（破坏 —— 断裂或变形过量不能恢复）
具有足够的刚度——构件在外载作用下，抵抗可恢复变形的能力。

例如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。
满足稳定性要求——构件在某种外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。例如柱子不能弯等。

材料力学的任务
为保证机械的正常工作，材料应当满足下列要求：
1）研究材料的力学性能
2）研究构件的强度、刚度和稳定性等
3）合理解决安全与经济之间的矛盾
构件的强度、刚度和稳定性均与所用材料的力学性能有关，因此在实验研究基础上，进行和理论分析是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。

§4-2 可变形固体的性质及其基本假设
一、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具）

二、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。

三、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。）
四、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。

§4-3 杆件变形的四种基本形式：

1、轴向拉伸（压缩）
2、剪切
3、扭转
4、弯曲

第五章 轴向拉伸和压缩
【学 时】10（其中习题课2）
基本要求：【基本要求】
1．理解内力和应力的概念[2]。
2．掌握轴力的计算和轴力图的绘制[1]。
3．掌握拉（压）杆横截面的应力 [1]。
4．掌握轴向拉伸和压缩时的变形计算 [2]。
5．掌握低碳钢和铸铁和的拉（压）试验 [1]。
6．理解容许应力、安全系数的概念[2]。
7．了解应力集中的概念[3]。
8．掌握拉（压）超静定问题的解法[1]。
9．掌握剪切和挤压的实用计算[1]。
【重点】内力、轴力、截面法。应力、应变、虎克定律及拉（压）强度条件，应掌握它们的概念，且熟悉掌握轴力的计算，轴力图的绘制及拉（压）强度条件的应用，低碳钢的应力——应变曲线图及特征点。
【难点】拉压超静定问题。剪切面和挤压面面积的计算。
§5–1 轴向拉压的概念及实例
【工程实例】曲柄连杆机构中连杆
受力特点：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。
§5-2、轴向拉伸和压缩时的内力
一、内力：
1、内力的概念——由于外力作用而引起的内力的改变量，称为“附加内力”，简称内力。
2、求内力的方法——截面法：

① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。

3、轴力——由于轴向拉压引起的内力与杆的轴线一致，称为轴向内力，简称轴力。
符号约定：拉伸引起的轴力为正值，指向背离横截面；压缩引起的轴力为负值，指向向着横截面。
二、轴力图：
轴力图——为了直观地表示整个杆件各截面轴力的变化情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标按选定的比例表示对应截面轴力的正负及大小。这种表示轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图。
例1：一直杆受外力作用如图所示，求此杆各段的轴力，并作轴力图：

解：根据外力的变化情况，各段内轴力各不相同，应分段计算：
（1）、AB段：用截面1-1假想将杆截开，取左段研究，设截面上的轴力为正方向，受力如图所示。列平衡方程式：
∑FX=0：N1-6=0
∴N1=6（拉力）；
（2）、BC段，取2-2截面左段研究，N2设为正向，受力如图所示，列平衡方程式：
∑FX=0：N2+10-6=0
∴N2= - 4（压力）；
（3）、CD段，取3-3截面右段研究，N3设为正，受力如图所示，列平衡方程式：
∑FX=0：4-N3=0
∴N3=4（拉力）。
画轴力图的总结：
当自左向右画轴力图时，遇向左的轴向外力向上突变，遇向右的轴向外力向下突变。

§5-3、拉压杆的应力
一、应力的概念：
1、引入应力的原因：
两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布集度有关。当粗细二杆轴力相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些。
2、应力——内力的密集程度（或单位面积上的内力）。
二、轴向拉压杆横截面上的应力：
1、平面假设：
杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设，简称平面假设。
2、应力计算：
（1）、拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的：
原因：设想杆件由无数根纵向纤维所组成，根据平面截面假设可以推断出两平面之间所有纵向纤维的伸长相同。又由材料是均匀连续的，可以推知，横截面上的轴力是均匀分布的，由此可得，拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的，其方向与轴力一致。
（2）、计算公式：
横截面上的应力的方向垂直于横截面，称为“正应力”并以“s ”表示。

s 的符号规定与轴力相同，当轴力为正时，s 为拉应力，取正号；当轴力为负时，s 为压应力，取负号。
（3）、单位：
[力]/[长度]2，国际单位为Pa(1Pa=1N/m2)。常用的还有Kpa、Mpa、Gpa，其中1Kpa=103Pa，1Mpa=106Pa，1Gpa=109Pa。
例1：一阶梯杆如图所示，AB段横截面面积为A1=100mm2，BC段横截面面积为A1=180mm2，试求各段杆横截面上的正应力。

解：（1）、计算各段内轴力：由截面法，求出各段杆的轴力为：
AB段：N1=8KN（拉力）；
BC段：N2= - 15KN（压力）。
（2）、确定应力：根据公式，各段杆的正应力为：
AB段：s 1=N1/A1=8X103/100X10-6Pa=80Mpa（拉应力）；
BC段：s 2=N2/A2= - 15X103/180X10-6Pa= - 83.3Mpa（压应力）。
§5-4、拉压杆的变形
纵向变形——直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生轴向伸长或缩短，这种变形叫做纵向变形。
横向变形——直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生横向尺寸的缩小或增大，这种变形叫做横向变形。
一、纵向变形和虎克定律：

1、纵向变形（绝对变形）：
△L=L1 – L。
拉伸时，△L>0，压缩时△L<0。且△L与杆的原长有关。
2、相对变形（纵向线应变）：
用ε表示：

ε在轴向拉伸时为正值，称为拉应变；在压缩时为负值，称为压应变。
3、虎克定律：

式中E为材料的弹性模量，单位为Pa，不同的材料，E的数值不同，由上式可知，对N、l相同的杆件，EA越大则变形△L越小，所以EA称为杆件的抗拉刚度。
将s =N/A，ε=△L/L代入上式得：
s =Eε。
上式表明在弹性范围内，杆件任一点的正应力与线应变成正比。
二、横向变形：

若以ε/表示横向应变，则有：

同一种材料，在弹性变形范围内，横向应变ε/和纵向应变ε之间有如下关系：

μ称为横向变形系数或泊松比。由于μ取绝对值，而ε与ε/总是符号相反，故
ε/= -με。
例2：一钢制阶梯杆如图所示，已知轴向外力P1=50KN，P2=20KN，各段杆长为l1=150mm，l2=l3=120mm，横截面面积A1=A2=600mm，A3=300mm，钢的弹性模量E=200Gpa，试求各段杆的纵向变形和线应变。

解：（1）、作轴力图：
N1= - 30KN，N2=N3=20KN。
（2）、计算各段杆的纵向变形：
；
；
。
；
；
；
（3）、求各段杆的线应变：

§5-5、材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能
材料力学性能是指材料受外力作用时在强度和变形方面表现的各种特性。如弹性模量E、泊松比μ以及极限应力等。
材料的力学性能是通过实验得到的。介绍工程中广泛使用的两种金属材料：低碳钢和铸铁在常温、静载（缓慢加载）下受轴向拉伸和压缩时的力学性能。
一、材料拉伸时的力学性能：
1、低碳钢的拉伸试验：
标准试件：圆形面试件或矩形截面试件。
标距l0：试件的有效工作总长度称为标距。对圆形试件：l0=10d或l0=5d；对矩形截面试件：l0=11.3或l0=5.65。
试验：将低碳钢制成的标准件安装在试验机上，开动机器缓慢加载，直至试件拉断为止。试验机的自动绘图装置会将试验过程中的载荷P和对应的伸长量绘成曲线图，称为拉伸图。
为了消除试件原始几何尺寸的影响，常用应力作为纵坐标，应变作为横坐标，得到材料拉伸时的应力——应变曲线图。

将低碳钢的应力——应变曲线分成四个阶段：
（1）、弹性阶段：
（2）、屈服阶段：
（3）、强化阶段：
（4）、缩颈阶段：
试件拉断后，弹性变形消失了，只剩下残余变形，残余变形标志着材料的塑性。工程中常用伸长率δ和断面收缩率ψ作为材料的二个塑性指标：
%
%
一般把δ>5%的材料称为塑性材料，把δ<5%的材料称为脆性材料，低碳钢的伸长率δ=20%~30%，是塑性材料。
2、铸铁的拉伸试验：
铸铁是脆性材料，其拉伸应力——应变曲线如图所示，图中无明显的直线部分，但应力较小时接近直线，可近似认为服从虎克定律。工程上有时以曲线的某一割线的斜率作为弹性模量。
铸铁拉伸时无屈服现象和缩颈现象，断裂是突然发生的，强度极限是衡量铸铁强度的唯一指标。

二、材料在压缩时的力学性能：
1、低碳钢的压缩试验：
2、铸铁的压缩试验：
§5-6、许用应力和安全系数
一、许用应力：
许用应力——在强度计算中，把材料的极限应力除以一个大于1的系数n（称为安全系数），作为构件工作时所允许的最大应力，称为材料的许用应力，以[σ]表示。
二、安全系数：
1、安全系数的确定：
（1）、考虑载荷变化，构件加工精度不够，计算不准确，工作环境的变化；
（2）、考虑材料的性能差异及材质的均匀性。
2、安全系数的选取：
（1）、原则：安全又经济。
（2）、安全系数的选取：
§5-7、轴向拉伸和压缩的强度计算
一、轴向拉伸和压缩时强度条件：
为了保证构件在外力作用下安全可靠地工作，必须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力，即：
。
1、强度校核：直接应用公式，若杆件满足强度条件，就能安全工作，否则，因强度不够而不安全。
2、设计截面：
将公式改成：，即可确定杆件所需的横截面面积。
3、确定许用载荷：
可先由静力平衡方程求出杆件的内力与外力之间的关系，再代入：
N≤A[σ]，就可确定出杆件或结构所能承受的最大许可载荷。
二、举例：
1、某厂车间自行研制的一台悬臂吊车，其结构尺寸如图所示，电动葫芦能沿横杆AB移动。已知电动葫芦和吊重共计20KN，以Q表示，拉杆BC用A3圆钢，其直径d=20mm，许用应力[σ]=120Mpa。
问：（1）、校核该拉杆的强度。
（2）、若该杆的强度不足，可提出怎样的解决办法？
解：（1）、取B点为研究对象，画出其受力图。
由∑Fy=0：RBCsinα-Q=0。
解得：RBC=Q/sinα。
在△ABC中，sinα=AC/BC=1.5/3.35，代入上式得：RBC=44.66KN。
∴Nmax=RBC=44.66KN。
校核BC杆的强度：
σ=Nmax/ABC=4X44.66X103/πd2=4X44.66X103/πX202=142Mpa>[σ]=120Mpa。
∴BC杆的抗拉强度不足。
（2）、可提出如下办法来满足BC杆的强度要求：
①：选用较好的材料，如可选用45号钢，其抗拉的许用应力[σ]=220Mpa。
②：增大BC杆的直径，从而增大BC杆的横截面面积。
∵A≥Nmax/[σ]，A=πd2/4。∴πd2/4≥Nmax/[σ],
∴，取整圆d=22mm。
③：当该吊杆结构已设计好，工作的载荷在可减轻的情况下，可提出第三种办法：减轻吊重。
∵Nmax≤[σ]ABC=120Xπd2/4=120XπX202/4=37699（N），
Nmax=RBC=Qmax/sinα→Qmax=RBC sinα=37699X1.5/3.35=16889N。
2、一钢木结构如图所示。AB为木杆，其截面面积，许用应力[σ]1=7Mpa；BC杆