三角形的内角和及其应用.doc

课题：三角形的内角
赵 先 军
教学目标：
1、知道三角形内角和定理及其证明过程.
2、了解初步的辅助线添加方法.
3、会运用三角形内角和定理求与三角形有关的角的度数.
4．通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力.
5．在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展同学们的合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.
 学情分析：
 在此之前，学生对平行线的性质和判定已基本掌握，但对于命题的证明和辅助线的添加还是第一次接触，因此对学生而言具有一定的难度。
 另外，学生对探究性学习并不陌生，但探究学习的过程往往比较盲目。因此，组织学习素材，让学生形成合理猜想，进行有方向的探究也是教学中关注的问题。
教学重点：三角形内角和定理的推导及应用.
教学难点：三角形内角和定理的推导、验证过程.
课时安排：第一课时
教学设计：
一．实验猜想，提出问题
在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°.你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
1.运用度量的方法.得出的三个内角的和都是180°吗？为什么?
2.通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
3.你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
二．证明猜想，形成定理
在图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明 “三角形内角和等于180°”的思路吗？
已知：△ABC．
求证：∠A +∠B + ∠C = 180°
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC．
∵　 l ∥BC
∴　∠2 = ∠4
∠3 = ∠5（两直线平行，内错角相等）
∵　∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）
∴　∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）
通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？

已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
证明：延长BC，过点C作CE ∥ AB
∵ CE ∥ AB
∴ ∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠2+∠1+∠BCA=1800﹙ ？ ﹚
∴∠B+∠A+∠BCA=1800﹙ ？ ﹚
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.

三．学会应用：
例1：如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠B=54°,∠C=76°。

(1)求∠ADB和∠ADC的度数.
(2)若DE⊥AC,求∠EDC的度数.
例2：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
【分析】直接写出下列各度数
A

D
北
.
C
B
东
E
北
∠DAC= ， ∠DAB= ，∠EBC= ， ∠CAB= .
引导学生用不同方法解出此题。

四．小结
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180.
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种.
3、探索到一个数学规律，最终还须证明.
4、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角.

五．检测：
1.在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，则∠ C= ＿＿＿.
2.在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = ＿＿＿.
3.在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C = ＿＿＿.
4.在△ABC中,∠A=75°,∠ B-∠ C=15°，则∠ C= ＿＿.
5.已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.
六．延展
1、（1）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（2）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（3）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .
2、如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C'处,试探求∠1,∠2与
∠C的数量关系.

3、如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．