高中数学：2.2.3待定系数法学案新人教B版必修.doc

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2.2.3 待定系数法 学案

【预习达标】
1．用待定系数法解题时，关键步骤是什么？
2．二次函数的解析式有哪些形式？
【课前达标】
1．基本知识填空：
(1)、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一般 形式，其中______________________，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过
____________求___________来确定_____________的方法，叫待定系数法。
（ 2 ）、 正 比 例 函 数 的 一 般 形 式 为 _____________________, 一 次 函 数 的 一 般 形 式 为 ___________________________，二次函数的一般形式为__________________________.
2．正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为________________
3．二次函数的图象的顶点坐标为（1，2） ，且过（0，0）点，则函数解析式为_____________
参考答案：
2． y = 4x

3． y = -2( x -1)2 + 2

【典例解析】

例 1．已知 f (x) 是一次函数，且 f [(x)] = 4x + 3 ，求 f (x) 。

例 2．已知二次函数的图象过点（1，4）,且与 x 轴的交点为（-1，0）和（3，0） ，求函数的
解析式。

例 3． 已知 a ，b 为常数， f (x) = x2 + 4x + 3, f (ax + b) = x2 +10x + 24, 则 5a - b = ______； 若

参考答案：
例 1．解：设 f (x) = kx + b(k ¹ 0) ，\ f [ f (x)] = k (kx + b) + b

即 k 2 x + kb + b = 4x + 3

\ í k = 4 ，解得 ì ì2


k = 2 ìk = -2

kb + b = 3
íb = 1 或 íb = -3

î î î
评析：已知函数是一次函数，故设出一般形式，再求相应的系数

例 2． 解法一：设函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ，将三个点的坐标代入，得

ì 4 = a+b+c

íï 0 = a-b+c
，解得 a = -1, b = 3, c = 3

îï0 = 9a + 3b + c

解法二 ：设函数的解析式为 y = a(x + 1)(x - 3) ，将（1，4）代入 a = -1

评析：已知二次函数与 x 轴的交点 (x1, 0), (x2 ,0) ,可设函数解析式为 y = a(x - x1 )( x - x2 )

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ìa = 1 ìa = -1

例 3． í
或í
，所以 5a - b = 2

îb = 3 îb = -7
【达标测试】
一、 选择题

1、已知 2x 2 + x - 3 = (x - 1)(ax + b) ，则 a, b 的值分别为

（A）2，3（B）3，2 （C）-2，3 （D） -3，2u


（


）

2、已知二次函数 f (x) = -x 2 + 2(m - 1)x + 2m - m 2 ，如果它的图象关于 y 轴对称，则 m 的

值为 （ ）
（A）1 （B）0 （C）2 （D） -1
二、填空题:

3、直线 y = x + 2 与抛物线 y = x 2 + 2x 的交点坐标为_______________________.

4、若抛物线 y = x 2 + 6x + c 的顶点在 x 轴上，那么 c 的值为_________________.

三、解答题：

5、已知二次函数满足 f (3x + 1) = 9x 2 - 6x + 5 ，求 f (x)

6、设 f (x) 为定义在实数集上的偶函数，当 x £ -1时，图象为经过点（-2，0） ，斜率为 1 的

射线，又 -1 < x < 1时图象是顶点为（0，2） ，且过点（-1，1）的一段抛物线，求函数的表
达式。
参考答案：
1． A； 2． A； 3． 9；

5．
令3x +1 = t,\ x = t -1,\ f (t) = 9( t -1)2 - 6 • t -1 + 5 = t2 - 4t + 8

3

所以。 f (x) = x2 - 4x + 8
3
3

6．设 f (x) = x + b(x £ -1) ，将（-2，0）代入可求 b = 2 ，故 f (x) = x + 2

因为函数为偶函数，故当 x ³ 1时， f (x) = -x + 2

当 -1 < x < 1时，设 f (x) = ax 2 + 2 ，将点（-1，1）代入可求 a = -1

ì x + 2(x £ -1)
ï
所以 f (x) = í- x 2 + 2(-1 < x < 1) 。

îï - x + 2(x ³ 1)

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