高斯平面直角坐标系与大地坐标系.doc

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§7.3
高斯平面直角坐标系与大地坐标系

7.3.1
高斯投影坐标正算公式

（1
）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标 (L, B)，求该点在高斯投影平面上的直

角坐标 (x, y)，即 (L, B)Þ (x, y) 的坐标变换。

（2 ）投影变换必须满足的条件
l 中央子午线投影后为直线；
l 中央子午线投影后长度不变；
l 投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3 ）投影过程

在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 , 它们的大地坐标分别为（ L, B ）及

（ l, B ） ，式中 l 为椭球面上 P 点的经度与中央子午线 (L0 ) 的经度差： l = L - L0 , P 点在

中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为 P1¢(x, y) 和 P2¢(x,- y) 。
（4 ）计算公式
当要求转换精度精确至 0.OOlm 时，用下式计算：
7.3.2 高斯投影坐标反算公式

（1 ）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标 (x, y)，求该点在椭球面上的大

地坐标 (L, B)，即 (x, y)Þ (L, B) 的坐标变换。

（2 ）投影变换必须满足的条件
l x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；
l x 轴上的长度投影保持不变；
l 投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3 ）投影过程

根据 x 计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度 B f ，接着按 B f 计算（ B f - B ）及经差

l ，最后得到 B = B f - (B f - B) 、 L = L0 + l 。
（4 ）计算公式
当要求转换精度至 0.01¢¢ 时，可简化为下式：
7.3.3 高斯投影相邻带的坐标换算
（1 ）产生换带的原因
高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中 央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在
工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 3o 带、1.5o 带或任意
带，而国家控制点通常只有 6o 带坐标，这时就产生了 6o 带同 3o 带（或1.5o 带、任意带）之间
的相互坐标换算问题，如图所示：
（2 应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算 ）
l 计算过程

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把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐

标 (x, y)I ，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标 (l, B) ，进而得到 L = LI0 + l ；

然后再由大地坐标 (B,l) ，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标 (x, y)II 。

在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线 LII 来计算经差 l ，亦即此时 l = L - LII0 。 0
l 算例

在 中 央 子 午 线 LI0 = 1 2 3o 的 Ⅰ 带 中 ， 有 某 一 点 的 平 面 直 角 坐 标 x1 = 5 7 2 8 3 7.7 2 6m ， 4

y1 = +210198.193m ，现要求计算该点在中央子午线 LII = 129o 的第Ⅱ带的平面直角坐标。 0
l 计算步骤

①．根 据 x1 ,y1 利 用 高 斯 反 算 公 计 算 换 算 B1 ,L1 ， 得 到 B1 = 51o38¢43.9024¢¢ ，

L1 = 126o02¢13.1362¢¢ 。

②．采 用 已 求 得 的 B1 ,L1 ， 并 顾 及 到 第 Ⅱ 带 的 中 央 子 午 线 LII0 = 129o ， 求 得

l = -2o57¢46.864¢¢ ，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标 xII ,yII
③．为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算
7.3.4 子午线收敛角公式
（1 ）子午线收敛角的概念
如图所示， p¢ 、 p¢N ¢ 及 p¢Q¢ 分别为椭球面 p 点、 过 p 点的子午线 pN 及平行圈 pQ 在高斯平面上的描
写。由图可知，所谓点 p¢ 子午线收敛角就是 p¢N ¢ 在 p¢ 上的切线 p¢n¢ 与 p¢t¢ 坐标北之间的夹角，用 g 表示。
在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于 投影具有正形性质，因此它们的描写线 p¢N ¢ 及 p¢Q¢ 也
必正交， 由图可见， 平面子午线收敛角也就是等于 p¢Q¢
在 p¢ 点上的切线 p¢q¢ 同平面坐标系横轴 y 的倾角。

（2 由大地坐标 (L, B) 计算平面子午线收敛角 g 公式 ）

（3 ）由平面坐标 (x, y) 计算平面子午线收敛角 g 的公式

上式计算精度可达 1" 果要达到 0.001" ，可用下式计算：
。如 计算精度
（4 实用公式 ）
l 已知大地坐标 (L, B) 计算子午线收敛角 g

l 已知平面坐标 (x, y) 计算子午线收敛角

l

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