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椭圆两种定义及其应用

【温故知新】
1．椭圆的定义：

平面内到两定点 F1 ， F2 的距离和为 常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两
个定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点的距离叫做焦距 ．

x2 + y2 = 1(a > b > 0)

2.由椭圆 2 a
b2
可知椭圆的几何性质：

（1）范围： - a £ x £ a,-b £ y £ b

（2）对称性：关于 x 轴、y 轴对称，关于原点对称
（3）顶点： (-a,0),(a,0),(-b,0),(0, b)

a

（4）离心率： e =

【新知探究】
1．椭圆定义的应用：
c

F1 ， F2 是椭圆 x + y = 1的左右焦点， P 为椭圆上一点，且 ÐF1PF2 = 60o ，

例 1．如图，

求 DPF1F2 的面积．
2
4
2
3


P
y

【小结】焦点三角形面积公式

x2 + y2 = 1(a > b > 0)

F1 o

F2
x

点 P(x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 a
b
2
上 一 动 点 ， F1 ， F2 为其左右焦点，设

ÐF1PF2 = q ，则 SDF PF = b2 tanq 。
1 2 2

x2 + y2 = 1(a > b > 0)

例 2．已知 P 为椭圆 2 a
b2
上 一 点 ， F1 ， F2 是 其 左 右 焦 点 ， 且

ÐPF1F2 = 120 o ， ÐPF1F2 = 30o ，求椭圆的离心率．

2．椭圆第二定义：

例 3． 点

M (x, y) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l ：x = 25 的距离的比是常数 4 ， 求点 M

的轨迹．


1页
4


o


y


M

F
5


x

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【小结】椭圆第二定义：

x = a 的距离的比是常数 a （a>c>0） 2

平面内与定点 F （c，0）的距离和它到定直线 l ：
c
c

的点的轨迹是一个椭圆，其中定点 F 叫椭圆的焦点，定直线 l 叫椭圆相应于焦点 F 的准线，
c
常数 a 叫椭圆的离心率．

x2 + y2 = 1(a > b > 0) a2

在椭圆 2 a
b2
中，相应于焦点 F / (-c,0) 的准线 l / ： x = -
c。

同时，我们还可以得到椭圆的焦半径公式：

x2 + y2 = 1(a > b > 0)

若 P(x0 , y0 ) 是 椭 圆
a2 b2
上 一 点 ， 则 | PF1 |=
a + ex0
；

| PF2 |= a - ex0 ．

3．两种定义的综合应用：

例 4．已知点 P 为椭圆

圆内一定点．求：


x2 + y2 = 1
25 16


的上任意一点， F1 、 F2 分别为左右焦点； A(1,2) 是椭

5 | PF |

（1）| PA | + | PF1 | 的最大值；
（2）| PA| +
3
1
的最小值及点 P 的坐标．

P 是椭圆 x + y = 1上一点，若 P 到椭圆右准线的距离是 17 ，则 P 到
2 2

例 5． 1）已知 （
100 36
2

左焦点的距离为_____________．
（2）设 AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相切
【巩固练习】

1．椭圆


x2 + y2 =1 的准线方程是（


）

9
25

A． x = ± 25 B． y = ± 16 C． x = ± 16 D． y = ± 25
4 5 5 4
2
2．到定点 (2,0) 的距离与到定直线 x = 8 的距离之比为 2 的动点的轨迹方程是（ ）

A．


x2 + y2 = 1
16 12


B．


x2 + y2 = 1
12 16

C． x2 + 2 y2 + 8x - 56 = 0 D． 3x2 + 2 y2 - 8x + 68 = 0

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x2 + y2 = 1(a > b > 0)

3．椭圆 2 a
b2
的中心及两个焦点将 x 轴夹在两准线间的线段四等分，则椭

圆的离心率为（ ）

2 1 3 3

A．
2
B．
2
C．
2
D．
3

4．已知椭圆


x2 + y2 = 1 内有一点 P(1,-1) ， F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 M ，使

4 3

| MP | +2 | MF | 取得最小值，则点 M 的坐标为（ ）

3

A． (
2 6 ,-1)
3
B． (±
2 6 ,-1)
3
C． (1,- )
2
D． ( -
2 6 ,-1)
3

A(2 2, y) 是椭圆 x + y = 1 上的点， F 是其右焦点，则| AF |=
2 2

5．已知点
16 12

6． ．椭圆


x2 + y2 =1
25 16


5
上的点 M 到左准线的距离是 ，求 M 到左焦点的距离为
2


；

到右焦点的距离为 ．

P 在椭圆 x + y = 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横
2 2

7．点

坐标是
25 9

．

x2 + y2 = 1(a > b > 0)

8．已知 P 是椭圆 2 a
b2
上一点， F1 ， F2 为两焦点，且 F1P ^ F2P ，若 P

到两准线的距离分别为 6 和 12，求此椭圆方程．

9．已知 A ， B 为椭圆 x2 + 25 y2 = 1上的两点， F2 是椭圆的右焦点．若 | AF2 | + | BF2 |

a
2
9a
2

= 8 a ， AB 的中点到椭圆左准线的距离是 3 ，试确定椭圆的方程．
5 2

3页