高二第九讲带电粒子在磁场中运动高考题型归类解析一教师版.doc

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第九讲 带电粒子在磁场中运动高考题型归类解析（一） （教师版）

1、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速
圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用 垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从
而解答物理问题。

例 1（04 天津）钍核 230 Th 发生衰变生成镭核 226 Ra 并放出一个粒子。设该粒子的质量为 m 、电荷量
90 88

为 q， 它进入电势差为 U 的带窄缝的平行平板电极 S1 和 S2 间电场时， 速度为 v0 ，经电场加速后， ox
其 沿

方向进入磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场， ox 垂直平板电极 S2 ，当粒子从 p 点离
开磁场时，其速度方向与 ox 方位的夹角q = 60° ，如图所示，整个装置处于真空中。

钍核衰变方程： 230 Th ® 42 He + 226 Ra

90
88

（1）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径 R； 2）求粒子在磁场中运动所用时间 t 。 （

（1）设粒子离开电场时速度为 v ，对加速过程有 qU = 1 mv2 - 1 mv02


②

粒子在磁场中有


qvB = m v


2


③
2
2

R

由②、③得 R =


m 2qU + v2


④

qB
m
0

（2）粒子做圆周运动的回旋周期 T = 2pR = 2pm ⑤

粒子在磁场中运动时间 t =
v
qB

1T
6
⑥
由⑤、⑥得 t =
pm
3qB ⑦

2、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题。
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；
带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导 线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或
者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由 r = mv 看 m、v、q、B 中某个
qB
量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。

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例 2（06 年全国 2）如图所示，在 x＜0 与 x＞0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀
强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且 B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向
射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？

解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内
B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量
和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为和 r2，有


B1
y


B2

r1＝
mv
qB1 ¼¼①

r2＝
mv
qB2 ¼¼②
v


O


x

分析粒子运动的轨迹。如图所示，在 xy 平面内，粒子先沿半径为 r1
的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距离为 2 r1 的 A 点，接着沿半径为 2 r2
的半圆 D1 运动至 y 轴的 O1 点，O1O 距离
d＝2（r2－r1）¼¼③
此后，粒子每经历一次"回旋" （即从 y 轴出发沿半径 r1 的半圆和半径
为 r2 的半圆回到原点下方 y 轴） ，粒子 y 坐标就减小 d。
设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点。若 OOn 即 nd 满足 nd＝2r1
④
则粒子再经过半圆 Cn+1 就能够经过原点，式中 n＝1，2，3，¼¼为回旋

次数。
由③④式解得
r1 = n
rn n +1

⑤由①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件

B2 = n
B1 n +1
n＝1，2，3，¼¼⑥

3、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空
间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字。
例 3（07 全国 1） 平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴 、两
和 y 轴，交点 O 为原点，如图所示。在 y > 0，0 < x < a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在 y >
0，x > a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感 应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质量为 m、带电 量为 q（q >0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和
水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一
最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0 < x < a 的区域
中运动的时间与在 x > a 的区域中运动的时间之比为 2:5，在磁 场中运动的总时间为 7T/12，其中 T 为该粒子在磁感应强度为 B
的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围

（不计重力的影响） 。

解：粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为 ： r =


mv qB


①

速度小的粒子将在 x<a 的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在 y 轴上，半径的范围从 0 到 a，
屏上发亮的范围从 0 到 2a。
轨道半径大于 a 的粒子开始进入右侧磁场，考虑 r=a 的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与 x 轴在 D
点相切（虚线） OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。 ，
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为 C 和 C¢ ，C 在 y 轴上，有对称
性可知 C¢ 在 x=2a 直线上。
设 t1 为粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间，t2 为在 x>a 的区域中运动的时间，由题意可知
t1 = 2

t2
5
t1 + t2 = 7T 由 此 解 得 ： t1 = T ¼ ¼ ②

t2 = 5T ¼¼ ③
12
12
6

由②③式和对称性可得 ÐOCM = 60 ÐMC¢N = 60 ⑤

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ÐMC¢P = 360 ´ 5 = 150 ¼¼ ⑥
12
所以 ÐNC¢P = 150 - 60 = 90 ¼¼ ⑦

即弧长 AP 为 1/4 圆周。因此，圆心 C¢ 在 x 轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为 R，有直角 DCOC ¢ 可得 2R sin 60 = 2a


R = 2 3a
3


⑧

由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标

x = 2 ç1 + 3 ÷ a ⑨

æ
ö

4、带电粒子在有界磁场中的极值问题
ç
è
3÷
ø

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径
的极值。
例 4 有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处，如图所示相同的速率
v0 向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为 m，电量为 e。
欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B 的匀强磁场后，都能平行于
x 轴沿+x 方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积 s。
解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 R＝mv0/Be 是确定的，设
磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一
象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O1，它就是磁场的
上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以 R 为半径的
圆弧 O1O2On。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场，故由几何知识
有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆 O2 而言，要使电子能平行于 x 轴向右 飞出磁场，过 O2 作弦的垂线 O2A，则电子必将从点 A 飞出，相当于将此轨迹的圆心 O2 沿 y 方向平移了半 径 R 即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O1O2On 沿 y 方向向上平移了半径 R
后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧 OAP 示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP
所围。利用正方形 OO1PC 的面积减去扇形 OO1P 的面积即为 OBPC 的面积；即 R2-pR2/4。根据几何关系有
最小磁场区域的面积为 S＝2（R2-pR2/4）＝（p/2 -1）（mv0/Be）2。
5、带电粒子在复合场中运动问题

复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和
磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问 题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的
变化是电场力或重力做功的结果。
例 5（07 四川）如图所示，在坐标系 Oxy 的第一象限中存在沿


A
y
E

C

y 轴正方形的匀强电场， 场强大小为 E。 其它象限中存在匀强磁场， 在
磁场方向垂直于纸面向里。A 是 y 轴上的一点，它到座标原点 O 的
距离为 h；C 是 x 轴上的一点，到 O 点的距离为 l ，一质量为 m、 电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电 场区域，继而通过 C 点进入大磁场区域，并再次通过 A 点。此时速
度方向与 y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：
（1）粒子经过 C 点时速度的大小合方向；
（2）磁感应强度的大小 B。
（1）以 a 表示粒子在电场作用下的加速度，有
O
y

qE = ma ①
加速度沿 y 轴负方向。设粒子从 A 点进入电场时的初速度为 v0，由 A 点运

动到 C 点经历的时间为 t，则有、
h = 1 at 2
2
②

l = v0 t ③

由②③式得

v0 = l a
2h


④

设粒子从点进入磁场时的速度为 v，v 垂直于 x 轴的分量
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