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第十章 微分方程
作业 20 微分方程基本概念
1．写出下列条件所确定的微分方程：
（1）曲线在点 M (x, y) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 MQ 被 y 轴平分；
解：法线方程为Y - y = -
1 (X - x ) ，法线与 x 轴的交点Y = 0, Þ X = x + y¢y
y¢
由已知 0 =
x + X = x + x + y¢y Þ y¢y + 2x = 0
2 2
（2）曲线上任意点 M (x, y) 处的切线与线段 OM 垂直；
解：切线的斜率为
y
y¢ ，线段 OM 的斜率为 k = y
x
由已知 y¢ × = -1, Þ yy¢ = -x
x
（3）曲线上任意点 M (x, y) 处的切线，以及 M 点与原点的连线，和 x 轴所围成的
三角形的面积为常数 a2 ．
解：切线方程为Y - y = y¢(X - x)， M 点与原点的连线为Y =
yX
x
切线与
x 轴即直线Y = 0 的交点，Y = 0, Þ X = x - y
y¢
由已知
1 y ×æ x - y ö = a2,Þ xy - y2 = ±2a2,(xy ± 2a2 )y¢ = y2
2ç
è
y¢ ÷
ø
y¢
2.．求曲线簇 xy = C1ex + C2e-x (C1, C2为任意常数 ) 所满足的微分方程．
解：由已知，两边对自变量 x 求导 y + xy¢ = C1ex - C2e-x
两边再对自变量 x 求导 2 y¢ + xy¢¢ = C1ex + C2e-x Þ 2 y¢ + xy¢¢ = xy
3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为 m ，
且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件．
解：由已知， m
dv = mg - kv, v (0) = 0
dt
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作业 21 可分离变量的微分方程
1．解微分方程 y - xy¢ = a( y 2 + y¢) ．
dy
解：微分方程即 y - ay2 = (x + a)
dx
分离变量
dy = dx
y - ay2 x + a
两边积分
ò dx = ò (ady ) = òæç 1 - 1 ö÷d (ay)
x+a
ay 1- ay
è
ay ay -1
ø
从而 ln (x + a ) = ln
ay + ln c = ln acy Þ x + a = acy
ay -1 ay -1 ay -1
2. 求解初值问题： (1 + e-x ) y¢ tan y +1 = 0, y = p．
x =0
解：微分方程即 (1+ e-x ) tan y
dy = -1
dx
分离变量
sin ydy = - dx
cos y
1 + e- x
两边积分 -ò
d cos y = -ò dx = -ò exdx = -ò d (1+ ex )
cos y 1 + e- x 1 + ex 1 + ex
从而 - ln cos y = - ln 1+ ex - ln c Þ cos y = c 1+ ex
( ) ( )
由y = p ， cos p = c (1+ e0 )= 2c Þ c = - 1 ,cos y = - 1 (1+ ex )
x =0 2 2
3 ． 当 Dx ® 0 时 ， a 是 比 Dx 高阶的无穷小量，函数 y(x) 在任意点处的增量
Dy = yDx +a ，且 y(0) = p ，求 y(1) ．
1+ x2
解：由已知
Dy = y
dy = lim Dy = y
分离变量
Dx 1+ x2 ，从而 dx Dx®0 Dx 1+ x2
dy = dx
y 1 + x2
两边积分
ò dy =ò dx
Þ ln y = arctan x + ln c Þ y = cearctan x
y
1+ x
2
由y = p ，p = cearctan 0 = c Þ c = p , y = pearctan x
x =0
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4．解微分方程 xy¢ = y ln y ．
解：微分方程即 x
dy = y ln y
dx
分离变量
两边积分
dy = dx
y ln y x
ò dy =ò d ln y = ò dx Þ ln ln y = ln x + ln c Þ ln y = cx, y = e
cx
y ln y
ln y
x
5．一曲线通过点（2，3） ，它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这
曲线方程．
解：由已知 y (2) = 3,Y - y = y¢(X - x)
当
X = 0,Y = y - xy¢, Y + 0 = y Þ y - xy¢ = 2 y, x dy = - y
分离变量
dy = - dx
2
dx
y
x
两边积分
ò dy = - ò dx Þ ln y = -ln x + ln c Þ y = c
y x x
由y = 3， 3 = c ,Þ c = 6, y = 6
x=2 2 x
6． 设有连接 O(0,0)和A(1,1) 的一段向上凸的曲线弧 OA ,对于 OA 上任一点 P(x, y) ，
曲线弧 OP 与直线段 OP 所围成的面积为 x2 ，求曲线弧 OA 的方程．
解：设曲线为 y = f (x)
由已知
ò y(t)dt - 1 xy = x , y(0)= 0, y(1)=1Þ y - y + xy¢ = 2x x
2
0
2
2
微分方程即 xy¢ - y = -2x, xy¢ - y = æ y ö¢ = - 2
x2
çx÷ èø
x
从而
y = -ò 2dx, y = -x (2ln x - c) = x (c - 2ln x)
由y
x
x=1
x
= 1，1 = c - 2ln1,Þ c = 1, y = x (1- 2ln x)，
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